专题02 对数和对数函数（十大题型）（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题02 对数和对数函数（十大题型） 【题型1：对数的计算】 【题型2：指对综合计算】 【题型3：对数函数的定义域问题】 【题型4：对数函数的定点问题】 【题型5：对数函数的图像判断问题】 【题型6：己知对数函数的图像求参】 【题型7：对数函数的值域问题】 【题型8：已知对数函数的值域求参】 【题型9：对数函数综合】 【题型10：幂指对比大小(重点题型)】 【题型1：对数的计算】 1．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算性质，进行运算，即可求解； （2）根据题意，利用指数幂的运算性质和对数的运算性质，进行运算，即可求解. 【详解】解：（1）由对数的运算性质，可得； （2）由指数幂与对数的运算性质，可得： 原式. 2．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解； 方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 3．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)8； (2)0. 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式的互化关系计算. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）. （2）. 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得出所求代数式的值. 【详解】（1） . （2）. 5．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用对数的运算性质化简求值即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 6．（24-25高一上·天津宁河·期中） 求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)7 (2)1 【分析】根据对数的运算性质分别计算即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（1）计算：； （2）若，用表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数运算法则及对数运算性质计算可得结果. （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1） . （2）由题意得，，即， ∴. 【题型2：指对综合计算】 1．（24-25高一下·广东湛江·开学考试）计算下列各题. (1)； (2). 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）用指对数的运算性质化简求值； （2）利用指数的运算性质化简求值； 【详解】（1） . （2） . 2．（24-25高一上·浙江台州·期中）化简求值 (1)； (2) 【答案】(1)12 (2)2 【分析】（1）根据指数的运算法则与性质求解； （2）根据对数的运算法则与性质得解. 【详解】（1） ； （2） 3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)11 (2)8 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可； （2）根据指数幂的运算和对数运算法则和换底公式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 4．（24-25高一上·湖北·期末）求值： (1)； (2) . 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解， （2）根据对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式 （2）原式. 5.（24-25高一上·广东潮州·期末）计算下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1)108 (2)1 【分析】（1）利用指数幂的运算求解； （2）利用对数的运算求解. 【详解】（1）； （2）. 6．（24-25高一上·江西吉安·期末）计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 7．（24-25高一上·广东茂名·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）根据对数运算律计算求值； （2）应用根式及分数指数幂的运算律计算求值. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【题型3：对数函数的定义域问题】 1．（24-25高一下·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的真数大于0，即可得到正确答案. 【详解】根据对数的真数大于0，可知定义域为， 故选：A 2．（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的解析式，即可解得的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 4．（24-25高一上·天津武清·期末）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式和对数函数的定义域要求求解即可. 【详解】要使函数有意义，需要满足，解得且， 所以的定义域为， 故选：D. 5．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解. 【详解】由已知， 则， 解得或， 即函数的定义域为， 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式有意义列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 【题型4：对数函数的定点问题】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 【题型5：对数函数的图像判断问题】 1．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 3．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 5．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 6．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 7．（24-25高一上·四川绵阳·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 9．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 【题型6：己知对数函数的图像求参】 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，根据对数函数的图象可知，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由对数函数的性质，得，解得， 则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，即，化简得， 则，解得. 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【分析】根据对数函数的图象确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时， ，所以． 故答案为：④ 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据底数大于1的对数函数的性质，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型7：对数函数的值域问题】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 2．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 3．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 【题型8：已知对数函数的值域求参】 1．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 2．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 3．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 4．（24-25高一上·重庆江北·期末）若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，需使真数在上取遍一切正数，由解不等式即得. 【详解】由题意，需使取遍一切正数， 故需使，解得或. 故选：C. 【题型9：对数函数综合】 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得答案； （2）即函数值域包含所有的正数，据此可得答案. 【详解】（1）因的定义域为，则， 则或； （2）因的值域为，则的值域包含所有正数. 则. 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【详解】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 4．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知是奇函数． (1)求的值及的定义域； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，从而可得，即可求其定义域； （2）根据对数型复合函数求其单调性在上单调递增，，然后利用单调性即可求解. 【详解】（1）因为是奇函数，所以恒成立， 所以，即， 所以，即，因为，所以， ，，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数， 因在上单调递增，为增函数， 由复合函数定义可得在上单调递增， 因为， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 6．（24-25高一上·山西大同·期末）已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)0 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组求解即可； （2）根据偶函数的定义证明即可； （3）根据对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为． （2）为偶函数，证明如下： 因为函数的定义域为，关于原点对称， 又 ， 所以函数为偶函数． （3） ． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【详解】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 8．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得a的方程，解方程即可得解； （2）由函数的单调性得不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 因为，所以， （2）因为，不等式， 所以， 即①， 因为在上单调递减， 所以①等价于， 由②得，解得， 由③得，解得， 取交集得不等式的解集是. 9．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】(1)2 (2)（i）；偶函数（ii） 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； （2）（i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 【题型10：幂指对比大小(重点题型)】 1．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性、对数运算法则及幂运算计算即可得. 【详解】，，， 故. 故选：B. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 3．（25-26高三上·贵州·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性可得三者的大小关系. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以， 故选：D 4．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数，对数的运算法则，化简并比较大小即可. 【详解】由，即. 故选：C 5．（24-25高三上·北京·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解. 【详解】由，，即， ，故. 故选：A. 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）设 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】因为 所以， 故选：A 2．多选题（25-26高一上·全国·单元测试）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【分析】利用反函数性质判断A，利用函数的单调性求解参数范围发现矛盾判断B，结合代入法判断对称性求解C，D即可. 【详解】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数， 则其图象关于直线对称，故A正确； 对于B，对于，由对数函数性质得， 对于，当时，函数变为，当时，函数变为， 由图象可得在上单调递增，在上单调递减， 得到，解得，产生矛盾，故B错误， 对于C，令，， 由换底公式得， 设点在上，则在上， 可得与关于轴对称，故C正确， 对于D，如图，作出的图象，    由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称， 而，设点在上，则在上， 得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确． 故选：ACD 3．（22-23高一上·浙江温州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数排除D，根据排除C，根据当时，排除B即可求解. 【详解】由题意要使得函数有意义，则，且， 这表明函数定义域关于原点对称， 且，从而函数是奇函数，故排除D， 由，排除C， 当时，，排除B. 故选：A. 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知函数，且． (1)求的值并证明在定义域内单调递减； (2)解不等式：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由结合对数式与指数式的互化可求得实数的值，然后利用函数单调性的定义可证得函数在上为减函数； （2）由（1）可知，函数是定义在上的减函数，根据结合函数的定义域与单调性可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】（1）因为，且，即， 即，解得， 所以，， 下面用定义证明在上单调递减， 、，且， 则 又，所以， 则，所以， 即，， 所以在上单调递减． （2）由题知是定义在上的减函数， 由，可得，则有，解得， 因此，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·广西河池·期末）已知函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)设，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）由已知求得，代入即可得； （2）函数为奇函数，利用奇函数的定义即可证明. （3）由题意可得，进而得的最大值可能是或，作差法可得，结合题意可得，令，进而求解可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的图象过点 所以，解得 所以函数的解析式为. （2）判断：函数为奇函数. 理由如下：由（1）知，， . 由，解得函数的定义域为 定义域关于原点对称 函数为奇函数. （3）因为且，所以且， 因为， 所以的最大值可能是或， 因为 所以， 所以对于任意，都有成立， 只需，即， 设，易知在上单调递增，且， ，即，所以， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：对于函数不等式恒成立问题，常常通过构造函数，通过求得函数的最值解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 对数和对数函数（十大题型） 【题型1：对数的计算】 【题型2：指对综合计算】 【题型3：对数函数的定义域问题】 【题型4：对数函数的定点问题】 【题型5：对数函数的图像判断问题】 【题型6：己知对数函数的图像求参】 【题型7：对数函数的值域问题】 【题型8：已知对数函数的值域求参】 【题型9：对数函数综合】 【题型10：幂指对比大小(重点题型)】 【题型1：对数的计算】 1．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 2．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）计算下列各式： (1)； (2). 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）计算： (1) (2) 5．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）求值： (1)； (2)； (3)． 6．（24-25高一上·天津宁河·期中） 求下列各式的值 (1) (2) 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（1）计算：； （2）若，用表示． 【题型2：指对综合计算】 1．（24-25高一下·广东湛江·开学考试）计算下列各题. (1)； (2). 2．（24-25高一上·浙江台州·期中）化简求值 (1)； (2) 3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）求下列各式的值： (1)； (2) 4．（24-25高一上·湖北·期末）求值： (1)； (2) . 5.（24-25高一上·广东潮州·期末）计算下列各式的值. (1)； (2). 6．（24-25高一上·江西吉安·期末）计算下列各式： (1) (2) 7．（24-25高一上·广东茂名·期末）计算： (1) (2) 【题型3：对数函数的定义域问题】 1．（24-25高一下·浙江·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津武清·期末）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 6．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数的定义域为 . 【题型4：对数函数的定点问题】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 【题型5：对数函数的图像判断问题】 1．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．  D．   3．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B．C．D． 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 5．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25高一上·四川绵阳·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 9．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型6：己知对数函数的图像求参】 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 【题型7：对数函数的值域问题】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【题型8：已知对数函数的值域求参】 1．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆江北·期末）若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型9：对数函数综合】 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 4．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知是奇函数． (1)求的值及的定义域； (2)求不等式的解集． 6．（24-25高一上·山西大同·期末）已知． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明； (3)求的值． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 8．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，解不等式. 9．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【题型10：幂指对比大小(重点题型)】 1．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）设 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．多选题（25-26高一上·全国·单元测试）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23高一上·浙江温州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知函数，且． (1)求的值并证明在定义域内单调递减； (2)解不等式：． 5．（24-25高一上·广西河池·期末）已知函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)设，若对于任意，都有，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $