精品解析：上海市华东政法大学附属松江高级中学2025-2026学年高三上学期期中质量检测数学试卷

华实高中2025学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 （2025.10） （完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：孙梦灵 何慧君 审核：徐素琳） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若，则______． 2. 已知复数满足，则______________. 3. 已知幂函数的图象过点，则______． 4. 已知等比数列的前项和为，且，，则______． 5. 函数的单调减区间为______． 6. 已知向量，，若，则______． 7. 函数在区间上的值域是______． 8. 函数（，且）偶函数，且，则______． 9. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 10. 不等式对任意都成立，则实数a取值范围______． 11. 一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为______．（结果精确到） 12. 已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13. 设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）. A 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法确定 14. 若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 16. 已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（ ） A. p、q均假命题 B. 是真命题，是假命题 C. p、q均是真命题 D. 是假命题，是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 在棱锥中，，，O是棱AC的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的大小． 19. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，，求a； （2）若，求的面积的最大值． 20. 记为数列前n项和，已知． （1）若，求的值； （2）证明：数列是等差数列； （3）若，，成等比数列，求的最小值． 21. 已知函数的定义域是D，对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且，求实数m的取值范围； （3）若，，如果对任意，且，都有，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华实高中2025学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 （2025.10） （完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：孙梦灵 何慧君 审核：徐素琳） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知复数满足，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的性质进行计算. 【详解】由. 故答案为： 3. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用待定系数法求出的解析式，进而求出. 【详解】设，则，得， ，故. 故答案为：. 4. 已知等比数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故 故答案为： . 5. 函数的单调减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 又，令，则，解得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 6. 已知向量，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求，再利用向量模的坐标公式求解即可.. 【详解】由题，可得，由，得， ，则. 故答案为：2. 7. 函数在区间上的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用正弦函数的性质即得函数值域． 【详解】当时，， ，即的值域为． 故答案为：． 8. 函数（，且）是偶函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而代入求解即可. 【详解】因为是偶函数，则， 可得，所以， 则或，即或（舍去）， 则，而， 则，又，所以. 故答案为：. 9. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求出结果即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 所以. 故答案为：. 10. 不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】设，将问题转化为对任意的恒成立，分离参数得对任意的恒成立，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设， 则原不等式转化为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 又因为， 所以， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 11. 一个机器零件形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为______．（结果精确到） 【答案】4.1 【解析】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为，的中点为，则，由题意易知， 则，，，， ， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：. 12. 已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论的正负情况，得出点P的轨迹，再求模长即可. 【详解】当时，点P分别在以为直径的圆上，而这三个圆不会交于同一点，故此时不存在P； 所以不妨设， 则点P分别在以为直径的圆上、圆外、圆内，即如图所示加粗的部分圆弧，不包含端点. 设正三角形ABC的重心为G，则,故， 设中点为E，中点为D，则， ， 由于正三角形ABC边长为2，则可求得， 则，， 则，故， 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13. 设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）. A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系. 【详解】 如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交. 故选：A. 14. 若复数为方程的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实系数多项式方程的共轭根定理，复数根成共轭对出现，据此即可解答． 【详解】解：∵方程的一个根是复数， ∴该方程的另一个根是其共轭复数， 故选：B． 15. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数图象计算即可得. 【详解】， 当时，， 令，则， 则有，解得， 故t的取值范围为. 故选：A. 16. 已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（ ） A. p、q均是假命题 B. 是真命题，是假命题 C. p、q均是真命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式变形，得出的初步范围进行放缩即可判断命题，利用余弦的二倍角公式进行构造，再利用导数进行放缩，即可判断命题. 【详解】由题意，即， 由于，则与同号， 由于，则， 所以， 所以单调递减， 当时，， 当时，，， ， 所以命题真命题； ，， 由于，则可以设， 代入得，则可令， 由，令，则， 设，，则 设，则， 则单调递增，， 则，单调递增，， 所以，当时等号成立， 所以， 所以， 因为， 所以成立，命题真命题. 故选：C. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到关于的方程，结合求解出的值，由此确定出的值，则的值可求； （2）将等式两边同时平方，通过化简先求解出的值，再根据与的关系，采用角的配凑以及诱导公式求解出的值． 【小问1详解】 ∵，∴，即，∴， 又，∴，∴； 【小问2详解】 ∵，∴，化简得， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 18. 在棱锥中，，，O是棱AC的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证线线垂直，得到线面垂直，再由面面垂直的判定定理即可证得； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【小问1详解】 因为，，O是AC的中点． 所以⊥，⊥， 因为平面， 所以平面， 因为平面ABC，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，⊥，⊥， 又，故两两垂直， 因为，， 所以，. 所以,. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又，⊥，平面, 所以平面. 所以平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 19. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，，求a； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，并结合余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 20. 记为数列的前n项和，已知． （1）若，求的值； （2）证明：数列是等差数列； （3）若，，成等比数列，求的最小值． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合和的关系，赋值即可求解； （2）根据和的关系，结合题设化简可得，即可求证； （3）由题意可得，再根据等差数列基本量的计算可求得，进而得到，再根据二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由， 当时，， 则，即，而， 所以. 【小问2详解】 由，则，① 当时，，② ①②，得， 即， 即，所以数列是以1为公差的等差数列. 【小问3详解】 由（2）知，等差数列的公差， 因为，，成等比数列， 所以，则， 即，解得， 所以，函数开口向上，对称轴为, 而，所以或12时，取得最小值. 21. 已知函数的定义域是D，对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且，求实数m的取值范围； （3）若，，如果对任意，且，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，解不等式即可； （2）求出的不等式，根据题意该解集必须为的子集，据此求出参数m的取值范围； （3）根据题意推导出在定义域上单调递增，再结合导数即可求解． 【小问1详解】 ，依题意解不等式，即， 也即且，解得x的取值范围为． 【小问2详解】 ，由题意知不等式的解集为的子集， 可化简为，因式分解得， 当时，不等式变为，解集为，显然，符合条件； 当时，不等式的解集为，但要包含于，需，与矛盾，故此情况无解； 当时，不等式的解集为，要使，需，即； 综上，实数m的取值范围是． 【小问3详解】 由题，对任意的、，且，都有， 若，则，即由，则必有，所以，结合，可知定义域上单调递增， 所以在上恒成立， 而在时，，因此， 所以在上恒成立，即恒成立， 由于时，，因此，所以， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $