14.1平方根（第1课时）教案 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该初中数学教案聚焦“平方根”核心知识点，涵盖概念、性质、表示方法及开平方与平方的互逆关系。通过正方形花圃面积求边长的实际问题导入，衔接有理数平方运算，搭建从已知到未知的学习支架，梳理前后知识脉络。 此教案特色在于“探究式学习”，学生填写表格归纳平方根性质，培养抽象能力（数学眼光），小组讨论总结规律发展推理意识（数学思维），规范根号表示强化数学语言。例题与分层练习巩固知识，提升学生应用意识，助力教师高效教学，夯实实数学习基础。

第十四章 实数 14.1平方根 第1课时   一、教材分析 本节课是冀教版八年级数学上册第十四章《实数》第一节第一课时内容.本节课是在学生学习了有理数的平方运算之后进行的，是对平方运算的逆运算进行探究.平方根概念的建立，不仅为后续学习算术平方根、立方根以及实数的运算奠定基础，也是理解二次根式、一元二次方程等知识的关键，在整个初中数学知识体系中起到承上启下的作用. 教材在给出平方根概念后，设计了“一起探究”活动，引导学生通过观察不同数（正数、0、负数）的平方运算结果，分析归纳出正数有两个互为相反数的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根这些重要性质.接着介绍平方根的符号表示，让学生学会用数学符号准确表达平方根概念.同时，教材还设置“大家谈谈”环节，让学生探讨平方运算与开平方运算的互逆关系，深化学生对这两种运算内在联系的认识，鼓励学生积极发表自己对平方与开平方互逆关系的看法，促进学生思维的碰撞与深化.教材还通过精心设计的例题和练习题，让学生在实际运算中巩固所学知识，逐步提高运用平方根知识解决问题的能力，从简单的求完全平方数的平方根，到解决一些稍微复杂的与平方根相关的数学问题，遵循由浅入深、循序渐进的教学原则.   二、学习目标 1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根. 2.探究平方根的性质，并能灵活运用. 3.了解开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根. 4.体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系．进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.   三、教学重难点 重点：了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；了解开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根. 难点：探究平方根的性质，并能灵活运用.   四、教学过程 · 本章引入 在实际应用中，我们会遇到诸如计算体积为2的正方体的棱长、物体从10 m的高度自由降落的时间等问题. 它们的运算结果超出了我们已经学过的有理数范畴，因此，我们有必要引入新的数——无理数，这样就把数的范围扩充到了实数. 在本章中，我们将类比有理数的学习过程，根据乘方与开方互为逆运算，探索开方运算，学习平方根、立方根、实数、近似数的概念；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，比较实数的大小，求实数的相反数和绝对值. 师生活动：教师通过生活中的实际问题，引入本章要学习的内容. 设计意图：学生带着目的去学习,避免走弯路，提高学习效率. · 情境导入 小明家有面积为100 的正方形花圃，花圃周围要用护栏围起来，则需要护栏多少米？ 要求出护栏的长，需要知道正方形的边长，即找到一个平方等于100的数.平方等于100的会是什么样的一个数呢？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师通过实际问题，引发学生思考. 设计意图：通过身边的实际问题引导学生思考，激发学生的探究欲望，同时，让学生感受到即将学习的新课在解决实际问题中的应用价值，提高了学生的学习兴趣和应用意识. · 探究新知 活动一：探究平方根的定义 1.思考：和−的平方等于多少？10和-10的平方等于多少？ 答：和−的平方等于，10和-10的平方等于100. 2.思考： 答：和−，有10和-10. 3.思考： 答：满足的x有5和-5. 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并认真作答. 师引导学生归纳平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫作a的平方根，也叫作a的二次方根. 例如，的平方根为和−，100的平方根为10和－10，25的平方根为5和-5 . 师强调： 注意：由于≥0，故a≥0，所以我们在求一个数a的平方根时，a≥0是一个隐含条件. 设计意图：通过一些具体实例，让学生对平方根有一定的感性认识，引导学生用数学语言描述平方根的概念，加深对概念的理解. 活动二：探究平方根的性质 1.填写下表： x …… -3 -1 0 1 3 …… …… …… 答案： 2.观察上面填写后的表格，探究： (1)正数的平方根有几个？它们之间有什么关系？ (2)0有平方根吗？如果有，它是什么数？ (3)负数有平方根吗？ 答：(1)因为a与-a(a≠0)的平方是同一个正数，所以正数的平方根有两个，它们互为相反数. (2)因为=0，且任何不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，它就是0本身. (3)因为正数、负数、0的平方都不是负数，所以负数没有平方根. 师生活动：教师利用多媒体出示表格，学生思考后计算，并小组之间进行讨论交流.共同归纳平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 0只有一个平方根，是0本身. 负数没有平方根. 设计意图：通过填写表格，让学生小组讨论探究平方根的性质，培养学生团体合作精神与归纳总结能力. 活动三：探究平方根的表示方法 问题：一个非负数的平方根该如何表示呢？ 师生活动：教师提出问题，学生积极思考，之后教师给出平方根的表示方法. 一个非负数a 的平方根记为± ，读作： 正、负根号a，其中，a称为被开方数. 一个正数a有两个平方根：一个是正数 ，读作“根号a”；一个是负数−，读作“负根号a”. 0的平方根是0. 师强调：由此我们知道：≥0，其中，a≥0 . 设计意图：让学生掌握非负数的平方根的表示方法，同时进一步理解平方根的性质，突破难点. 活动四：探究开平方运算 观察下图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系. 师生活动：教师利用多媒体展示图片，学生仔细观察，教师给出开平方的定义： 我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 教师继续提出问题：观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系. 师生活动：师生继续对问题“说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系”进行探讨，得出结论： 对于正数来说，平方运算与开平方运算互为逆运算. 设计意图：通过观察与讨论，让学生充分理解平方运算与开平方运算的关系，加深对开平方运算的认识. · 应用新知 例1 求下列各数的平方根： (1)81； (2) ； (3) 0.04 . 解： . 师生活动：教师引导学生利用平方根的定义进行计算，学生认真思考+1，举手作答+2. 师小结： 求一个非负数的平方根的方法： ①求一个非负数a的平方根，就是要把平方后等于a的数找出来，从而求出a的所有平方根； ②求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数，这也是常出错的地方. 师强调： 注意：正数的平方根有两个，勿漏“±”号. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握平方根的定义，清楚求一个非负数的平方根的方法. 例2. 下列说法中，正确的是(　　) A．9的平方根是±3，应表示为＝±3 B．±3是9的平方根，应表示为±＝3 C．9开平方能得到9的平方根，即 ＝±3 D．3是9的一个平方根，应表示为＝3 解：D. 师生活动：学生思考后小组讨论，教师巡回指导，选派学生代表回答问题. 师强调： 必须弄清以下符号的意义：±(a≥0)表示非负数a的平方根，(a≥0)表示非负数a的正的平方根．把非负数a开平方，它的平方根可用±表示. 设计意图：通过例2，进一步让学生熟悉平方根的定义及表示方法,突出本节课的重点. 例3. (1)已知3＋a的平方根是±5，求a的值； (2)一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，求a的值和这个正数x的值． 解：(1)∵＝25， ∴25的平方根是±5，即3＋a＝25. ∴a＝22. (2)∵正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－1， ∴-a＋2＋2a－1＝0，解得a＝－1. ∴x＝＝9. 师生活动：学生思考后，小组讨论，各组选派小组代表作答.认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 师小结： (1)题运用平方根的定义中被开方数等于它的平方根的平方列方程； (2)题运用平方根的性质中正数的两个平方根的关系列方程，通过列方程运用方程思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法． 设计意图：本题是对平方根性质的考查，通过小组讨论，培养学生分析问题的能力，增强团队合作意识，突破本节课的难点. · 课堂练习 1.填空. 解： 2.回答下列问题： (1)12是144的平方根吗? (2)169的负的平方根是哪个数? (3)±0.3是0.9的平方根吗? (4)哪个数的平方根只有一个? 解：(1)因为=144，所以12是144的平方根； (2)因为=169，所以169的负的平方根是-13； (3)因为=0.09，所以±0.3不是0.9的平方根； (4)0的平方根只有一个. 3.下列说法正确的是(　 　) A.任何非负数都有两个平方根 B.一个正数的平方根仍然是正数 C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根 解：0只有一个平方根，故A选项错误； 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故B选项错误； 0不是正数，也有平方根，故C选项错误； 负数没有平方根，D选项正确. 故选：D. 4.求下列各数的平方根： (1)16；　(2)0.49；　(3)；　(4)－9. 解：(1)因为，所以16的平方根是±4，即＝±4. (2)因为＝0.49， 所以0.49的平方根是±0.7，即±＝±0.7. (3)因为 ，所以的平方根是 ，即. (4)因为－9＜0，所以－9没有平方根．. 5.如果一个数的两个平方根是a+3，2a-15，那么这个数是多少？ 解：因为一个数正数的两个平方根互为相反数， 所以(a+3)+(2a-15)=0, 解得a=4， 当a=4时，a+3=7，2a-15=-7. 因为=49， 所以这个数是49. 6.小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？ 解：设每块地砖的边长为x米， 由题意得：. ∴x=±=±0.3. 因为每块地砖的边长是正数，所以 x=0.3. 答：每块的地砖的边长是0.3米. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $