2026年中考数学二轮复习 综合与实践 最短路径问题 课件

该初中数学中考复习课件聚焦最短路径问题核心考点，精准对接中考几何最值考查要求，系统梳理一定直线异侧/同侧两定点、两定直线定点等模型，归纳作图、证明、计算等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件以“模型归纳+真题训练”为特色，通过作对称点转化同侧问题、利用线段公理等方法突破考点，培养几何直观与推理能力。精选等边三角形中PC+PE最小值等典型题，助力学生掌握解题技巧，教师可依此开展系统性复习，提升中考冲刺效率。

综合与实践 最短路径问题课时 制作人：毛俊飚 课前准备：课本、练习册、红笔、黑笔、草稿纸 核心素养 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。 2.通过轴对称变换、平移变换等转化，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短 P l A B C D 复习引入 活动1 自主学习 解： 解： 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系： 两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ 解： A B C 复习引入 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“将军饮马问题”. 探究新知 活动2 创设情境 探究新知 活动2 创设情境 将军饮马问题 将军饮马问题最早源于古罗马时代,海伦是亚历山大城精通数学和物理学的学者,一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个令他百思不得其解的问题:…… 海伦运用他的数学知识,略加思考,就给出了将军满意的答复,从此将军饮马问题广泛流传。 将军从军营出发，到一条笔直的河边饮马，然后到帐篷休息，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 活动3 实际问题转化为数学问题 实际问题 A B l 合作交流 问题1:如图，点A、B是直线l异侧两点，点P是直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，AP+PB的和最小？ 作法： 连接AB，与直线l交于点P， 点P即为所求。 依据： 两点之间，线段最短。 A l B P P' 模型一：一定直线，异侧两定点 (一 ) 合作交流 冬季来临，天气变冷，将军心疼自己的汗血宝马，不忍心让马从冰水中渡过，于是将帐篷搬到河同侧B点，又应该如何解决？ 抽象成 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 合作交流 C A B l 数学问题 （2）连接A′B，与直线l相交于点P． 作法 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′； 则点P 即为所求． l P A' 能不能作出B点的对称点B',连接AB'，与l还交于P点吗？ B' B A 模型二：一定直线，同侧两定点 问题2：如图，点A、B是直线l同侧两点，点P是直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，AP+PB的和最小？ 合作交流 【问题3】你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ l A C' C B A' 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合) 连接AC′，BC′，A′C′．由垂直平分线的性质知: AC= , AC′= ∴AC +BC= = AC′+BC′= 在△A′BC′中， A′C′+BC′＞ ∴AC′+BC′＞ 即:AC +BC 最短 A′C A′C′ A'C +BC A′B A′C′+BC′ A′B AC +BC 合作交流 l P A' B A 同侧转化异侧 两定点在同侧 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”化折为直 确定位置 两定点在异侧 A l B P 归纳总结 草地 河流 P 将军从军营A出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到军营，请画出最短路径。 作图问题：在直线OA'OB上求作一点M、N, 使PM+MN+PN最短问题. 合作交流 P′ P′′ ● M N ∟ ∟ 问题4：点P是∠AOB内部一点，在OA上找一点M,在OB上找一点N, 使得△PMN周长最小。 ● 模型三：两定直线，一定点 合作交流 草地 河流 P 将军从军营A出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到军营，请画出最短路径。 作图问题：在直线OA、OB上求作一点M、N, 使PM+PN最短问题. 合作交流 P′ M N ∟ ∟ 问题5：点P是∠AOB内部一点，在OA上找一点M,在OB上找一点N, 使得△PMN周长最小。 ● 模型三：两定直线，一定点 合作交流 ● P Q 将军从军营出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷休息，请画出最短路径。 M N O P Q 抽象成 拓展延伸 草地 河流 问题6：如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.使四边形PAQB的周长最小. M N O Q1 P1 A B P Q 拓展延伸 模型三：两定直线，两定点 M N O P Q 一定直线，异侧两定点 连接AB，与直线l的交于点P，点P即为所求. 一定直线，同侧两定点 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l交于点P,点P即为所求. 两定直线两定点 分别作点P关于OM的对称点P1;作点Q关于ON的对称点Q1,连接P1、Q1与OM,ON,相交于A、B两点，点A、B即为所求 转化 轴对称 应用 归纳总结 问题引入(造桥选址问题) 如图，A和B两地在一条河的两岸，现在在河上建一座桥MN，桥建在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 拓展延伸 问题转化（几何模型）： (两定点一定长） A ● B ● C M ● ● N 思考：路径是哪些线段之和，桥的位置发生改变时路径中哪些线段的长不变？ 方法指引：(1)过点A作AC垂直于河岸a,使AC等于河宽 (或沿与河岸垂直的方向平移点A到C，使AC的长等于河宽）(2)连接BC与河岸的一边b交于点N，(3)过点N作河岸a的垂线交a于点M，MN即为所求。 a b （留给学生足够的时间思考讨论后师生共同完成作图过程） 证明引导： A. B. C N N ′ M ′ ∟ 思路引导:在直线b上另取一点N ′，过点N ′作N ′M ′ ⊥A，垂足为M ′ ，连接A M ′ ，C N ′ N ′B，证明AM+MN+NB ＜ A M ′ + M ′ N ′+ N ′B.（两点之间线段最短） b a 1.如图30-4，要在街道l旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？ 解：如答图30-4，作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B交直线l于 点M，则点M即为所求. 精讲多练 2.如图30-5，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小． 解：如图所示,作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l交于点P，则P点即为所求,此时PA+PB的和最小． A′ P 精讲多练 3.如图，在等边三角形 ABC 中， AD是边BC上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点.若AD=12，则PC+PE的最小值为( ) 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N 在边 BC上，且BN=6，点M，P分别是边 AB， AC上的动点，当PM+PN最小时， BM=5， 则AB的长为( ) 5. P是∠AOB内部的一点，连接OP，已知OP=9cm， ∠AOB=30°，一只小蚂蚁从点P出发爬到边OA上任意一点E，再爬到边 OB 上任意一点F， 然后爬回点P处，则小蚂蚁爬行的路径最短为( ) 谢 谢！ $