精品解析：甘肃省兰州大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

兰州大学附属中学 2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：白有蕾 审题人：曹艳 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2. 已知数列是等比数列，若，则（ ） A. -2 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列下标的性质可得. 【详解】由题可知：. 故选：C 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 5. 已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线垂直的直线的方程. 【详解】依题意，设所求的直线方程为，圆心，则圆的半径为, 因直线被圆所截得的弦长为,则 ，解得，圆心为， 又圆心在直线上，则，即， 所以所求的直线方程为. 故选：A 6. 已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解. 【详解】由于 所以， 要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个， 故选：B 7. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值. 【详解】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 8. 已知实数满足，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得点在圆上，且，再利用目标式的几何意义，结合圆上的点到直线距离的最大值求解. 【详解】设，由，得， 点在以原点为圆心，2为半径的圆上，由， 得，而，则， 取线段中点，则，过分别作直线的垂线， 垂足分别为，则，且， ，，当且仅当共线时取等号， 因此 ，当且仅当共线时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】依次求出数列的前几项，观察可知数列是周期数列，周期是3.根据数列的周期性，即可求出答案. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为， 所以，，， 观察可知，所以数列是周期数列，周期是3， 则，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：ACD. 10. 已知圆 ，直线 ，则（ ） A. 直线 恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C. 直线与圆可能相切 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】本题先根据直线l的方程判断出直线l恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值. 【详解】由直线，得 ， 因为，则满足 ，解得 ， 所以直线恒过定点 ，故选项A正确. 因为当时，直线为:， 则圆心 到直线的距离为 ， 则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离， 所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误. 因为直线过定点 ，又 ， 所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误. 由圆的方程 可得，， 所以圆心为 ，半径为 ， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则 ，解得 ，故选项正确. 故选：AD. 11. 数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列是等比数列 C. 数列的最大项为 D. 数列的前11项和为20481 【答案】BCD 【解析】 【分析】由和，作差得，整理得，即可判断数列为等比,判断B；再求出，通过构造得到数列为等差，求出的通项，进而求出的通项，判断A；令，由，可得最大值，判断C; 利用错位相减求和即可判断D. 【详解】当时，，即，因为，所以， 当时，因为，所以，两式作差得：， 所以，所以数列是首项为， 公比为的等比数列，故B正确； 所以，即，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以，即，故A错误； 又，令， 则， 则， 则当时，取得最大值，C正确； 由，数列的前11项和为， 所以， 所以， 两式相减得：， 即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡对应的横线上. 12. 若直线与平行，则与的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 13. 设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解. 【详解】当时，， 则， ， ，，即， ， 所以， 所以当时，， 当时，，不满足上式， 故， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题. 14. 在下列四个命题中，正确的命题的有__________________. ①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10; ②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则 ； ③若实数满足的取值范围为 ； ④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7. 【答案】②③. 【解析】 【详解】因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，所以 ，所以①错； 因为圆心到直线距离为 ，所以 ，②对； 令 ，所以 ，③对 |MN|的最大值是 , ④错 点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值或值域问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点有关代数式的最值或值域的常见类型及解法．①形如型的最值或值域问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值或值域问题；②形如型的最值或值域问题，可转化为动直线的截距的最值或值域问题；③形如型的最值或值域问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值或值域问题． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）和. 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程. 【小问1详解】 设圆心 依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为， 显然圆心在线段的垂直平分线上，由，解得， 因此圆心的坐标是，圆的半径， 所以圆的方程是． 【小问2详解】 依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即， 于是，解得或， 所以所求切线方程为和. 16. 已知首项为3的数列的前n项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 由题意得，，即， 故，即， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列； （2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，即． 数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 故． 17. 已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出所求点的坐标，利用中点坐标，代入对称轴，结合斜率之间的关系，建立方程组，可得答案； （2）设出所求点的坐标，利用题目中的等式，建立方程，结合圆的方程，可得答案； （3）根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 设，，因为点与点关于直线的对称， 则有线段的中点在直线上， 即，① 又直线直线，且直线的斜率为，则，即，② 联立①②式子解得，故点的坐标； 【小问2详解】 设，由，则， 故，化为. 化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径． 【小问3详解】 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 则，，解得. 故的取值范围为. 18. 已知圆：及其上一点． （1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； （3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. 【小问1详解】 圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. 【小问3详解】 ，所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径. 利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法. 19. 已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）不存在，理由如下： 由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. 【小问1详解】 由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. 【小问2详解】 因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州大学附属中学 2025-2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：白有蕾 审题人：曹艳 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等比数列，若，则（ ） A. -2 B. C. 2 D. 4 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 5. 已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知实数满足，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆 ，直线 ，则（ ） A. 直线 恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C. 直线与圆可能相切 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 11. 数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列是等比数列 C. 数列的最大项为 D. 数列的前11项和为20481 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡对应的横线上. 12. 若直线与平行，则与的距离为_____. 13. 设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式_______. 14. 在下列四个命题中，正确的命题的有__________________. ①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10; ②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则 ； ③若实数满足的取值范围为 ； ④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 已知首项为3的数列的前n项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 17. 已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 18. 已知圆：及其上一点． （1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； （3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 19. 已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $