精品解析：甘肃省武威市凉州区南园学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期八年级数学期中检测试卷 一、单选题 1. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角等于的三角形是等边三角形 B. 三角形的外角和为 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 3. 如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是（   ）． A. B. C. D. 4. 如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 5. 如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形三边为，其中两边满足，是这个三角形的最长边，那么这个三角形的最长边的取值范围是（ ） A. B. 8 C. 6 D. 2 8. 如图，是的中线，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（ ） A. 40° B. 70° C. 40°或70° D. 100°或40° 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线AC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 9 D. 二、填空题 11. 若三角形的三边长分别是15，，，则x的取值范围是__________． 12. 在中，平分于点是的中点，，则的长度是___________． 13. 妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明：___________． 14. 如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是______． 15. 在直角三角形中，，则 的值是_____________ 16. 如图，在直角中，，，，，平分，于，则的周长是______． 17. 在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于_____． 18. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是________． 三、解答题 19. 如图，已知，，，三点共线．如果，，求的长． 20. 如图，与相交于点O，连接，，，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 22. 如图，在中，，，D为的中点，于点E，，求： （1）的度数； （2）的长． 23. 已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 24. 如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 25. 如图，中，垂足为D． （1）求证： （2）若，，，求的长． 26. 如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若，，连接，求的长． 27. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． （1）求证； （2）若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学期中检测试卷 一、单选题 1. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角等于的三角形是等边三角形 B. 三角形的外角和为 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】此题综合考查了等边三角形的判定、全等三角形的性质及判定、三角形外角的性质． 要找出真命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形．故此选项错误； B、三角形的外角和为，故此选项错误； C、等腰三角形的两个底角相等，故此选项正确； D、三个角对应相等的两个三角形相似，但不全等．故此选项错误． 故选：C． 3. 如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是（   ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据是的平分线，，，则，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是的平分线，， ∴， 即点到的距离是． 故选． 4. 如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由图形可知为公共边，则可再加一组对边相等即可． 【详解】解：，，用“”证明， 还需添加的一组边相等，即， 故选：． 5. 如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 直接利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，即． 故选：C． 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 7. 已知三角形三边为，其中两边满足，是这个三角形的最长边，那么这个三角形的最长边的取值范围是（ ） A. B. 8 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，算术平方根和绝对值非负性等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 先由算术平方根和绝对值非负性得到，，再结合三角形三边关系以及为最长边的条件，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵三角形三边为， ∴，即 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 8. 如图，是的中线，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为， ∴， 故选：D． 9. 已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（ ） A. 40° B. 70° C. 40°或70° D. 100°或40° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故选D． 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线AC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于点B与D关于对称，连接，与的交点即为点．此时最小，而是的斜边，利用勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． 即点P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∵在中，，，， ∴． 即的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 二、填空题 11. 若三角形的三边长分别是15，，，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练掌握要使三角形的三边能组成三角形，要满足两边之和大于第三边；根据两边之和大于第三边，列出三个不等式进行计算求解即可； 【详解】解：由题意可知：， 由得：， 由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 12. 在中，平分于点是的中点，，则的长度是___________． 【答案】8或12 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是判定是等腰三角形，推出是的中位线． 延长交延长线于，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出是中点，而是的中点，因此是的中位线，得到，即可求出或． 【详解】解：如图，延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 如图， 同样求得， ∴． 故答案为：8或12． 13. 妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明：___________． 【答案】四边形不具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 14. 如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于．先根据三角形内角和，得到的度数，再根据角平分线的定义，得出，进而根据三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， 中，， 故答案为：． 15. 在直角三角形中，，则 的值是_____________ 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余，分两种情况，列出方程即可分别求得． 【详解】解：根据题意，设，， 当时，，解得， ，， ， ； 当时，， ，解得， ，， ， ， 故m的值是2或4， 故答案为：2或4． 16. 如图，在直角中，，，，，平分，于，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，证明，得到，，进而得到的周长即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 17. 在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于_____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8， ∴点D到斜边AB的距离等于CD ∴D到斜边AB的距离为8． 故答案为∶8． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题． 18. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断①；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断②；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④；没有条件得出，即可判断③；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 三、解答题 19. 如图，已知，，，三点共线．如果，，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质，解题的关键是证明． 根据图形求出的长，再利用全等三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ． 20. 如图，与相交于点O，连接，，，求证：． 【答案】 证明：与相交于点， ， 在和中， ， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由与相交于点，得到，根据即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到， 即为所求， ，，与点，，关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 由网格可知点的坐标是． 22. 如图，在中，，，D为的中点，于点E，，求： （1）的度数； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）连接，由题意易得，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，D为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 23. 已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三边的关系化简绝对值，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键． （1）根据三角形三边关系得出，，然后去绝对值求解即可； （2）根据三角形三边关系及题意得出，然后求周长即可． 【小问1详解】 解：三角形的三边长分别为a，b，c， ，， ． 【小问2详解】 ∵，， ，即． ∵为最长边且为整数， ∴， 三角形的周长为． 24. 如图，电信部门要在公路，之间的区域修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到区域内的两个城镇的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等．发射塔应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】见解析，分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以发射塔在线段AB的垂直平分线上，再利用尺规作线段AB的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以发射塔在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案. 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建发射塔的位置． 【点睛】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键. 25. 如图，中，垂足为D． （1）求证： （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，即， ， 故； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、余角的性质以及三角形的面积公式等知识；熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用三角形面积公式是解题的关键． （1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等来证明角相等； （2）根据三角形面积的两种不同计算方式（以两条直角边为底和高、以斜边为底和斜边上的高为高）建立等式，进而求解斜边上的高的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ． 26. 如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质． （1）过点P作于D，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论； （2）先证明平分，求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出结论． 【小问1详解】 解：过点P作于D，如图所示． ∵和的角平分线相交于点P，且，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． 27. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． （1）求证； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 由（1）得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $