专题15 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题15 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 类型二、几何图形中动角求定值问题 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴专练 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 一、核心解题方法（分两点） 1.方向分类法：明确旋转中心与旋转角，按“顺时针旋转”和“逆时针旋转”分类，分别画出对应图形，梳理边、角关系。 2.落点分类法：根据旋转后关键点的落点位置（如在原图形内部/外部、线段上/延长线）分类，结合图形性质列等式求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.固定不变量：旋转中对应边相等、对应角相等，以此为突破口，搭建已知与未知的联系，简化计算。 2.标注临界位置：先确定旋转的临界情况（如关键点与某线段端点重合），再推导其他可能，避免漏解。 例1．（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南信阳·开学考试）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．    【答案】或/30或15 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论． 【详解】设秒后，与的夹角是， 如图，     ， ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 如图，    ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 综上可知：或，与的夹角是， 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【答案】或或4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是分情况讨论一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．依据题意，根据，，．分四种情况说明一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 【详解】解：设经过的时间为x秒， ∵，，． 在旋转过程中，，， ， 分别令，， 可得，． 可见当时，三条射线停止运动． ①如图，当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得， 此时，不合题意； ②当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得； ③当为、夹角的角平分线时， ∴． ， 解得； ④当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得； 答：经过秒、秒、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线． 故答案为：或或4． 类型二、几何图形中动角求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数表示法：设基准角为α，用含α的式子表示动角及相关角，结合角的和差、角平分线等性质化简，消去α得定值。 2.方程建模法：设运动时间为t，用“速度×t”表示动角变化量，列角的数量关系等式，化简后证明结果与t无关。 二、关键解题技巧（分两点） 1.紧抓“不变关系”：锁定固定角（如平角、直角）和角的倍数/和差关系，以此为桥梁推导定值。 2.画图标注动态：分阶段画出动角不同位置，标注已知角与动角，直观梳理数量关系，避免思维混乱。 例2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系． （1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 【变式2-1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以20度秒的速度顺时针旋转至结束，绕着O点从开始以10度秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着O点从开始以20度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)或或 (3)是；当时，定值为；当时，定值为 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可； （2）分3种情况讨论：当在内部时；当与重合时；当与重合时；分别求解即可； （3）因本题中的角均为大于且小于的角，因而需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ，， ，， ； （2）解：当在内部时， ， ， ； 当与重合时， ， ； 当与重合时， ， ； 综上所述，当时，或或； （3）解：在某时间段内是定值，理由如下： 射线从开始转动至结束时，转动时间为：（秒）， 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置， ①当时，如图1所示， 此时，， 则，为定值； ②当时，如图2所示， 此时，， 则，不为定值； ③当时，如图3所示， 此时，， 则，为定值； ④当时，如图4所示， 此时，， 则，不为定值； 综上可知，①当时，；②当时，． 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 代数表达法：设基准角或运动时间为变量（如α、t），用变量表示所有相关角，结合角的和差、角平分线性质列关系式，化简推导数量关系。 2. 特殊值验证法：取动角不同位置的特殊值（如t=0、t=1），计算各角大小，猜想数量关系（相等、倍数、和差定值），再严谨证明。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 锁定“不变量”：抓住固定角（平角、直角）、角的固定比例等不变量，作为推导关系的核心依据。 2. 动态画图辅助：分阶段画出动角不同位置的图形，标注角的数量关系，直观梳理逻辑，避免漏解或错判。 例3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【变式3-1】（24-25六年级下·山东东营·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 【答案】(1)； (2)；当在的内部时，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平角、余角的定义，角度和差，角平分线的定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用平角、余角的定义可求解； （）由平角定义得，又恰好平分，，然后通过余角定义即可求解； 由题意得，通过，，得出，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 当在的内部时，，理由如下： 由题意得， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)①，理由见详解 ② 【分析】本题考查了动角问题，角平分线的有关计算，角的和差； （1）由角的和差得，即可求解； （2）由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； （3）①由角的和差得，，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； ②由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解． 能熟练利用角平分线及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； （3）解：①， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； ②如图， ， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ． 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1.变量建模法：设运动时间为t，用“角速度×t”表示动角变化量，结合角的和差、角平分线等性质，列关于t的一元一次方程求解。 2.分类讨论法：按动角旋转方向（顺时针/逆时针）、与定角的位置关系（重合前/后、内部/外部）分类，每类列方程计算，避免漏解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.标注“基准角”：确定固定不变的角（如平角、直角）作为基准，明确动角与基准角的数量关联，简化列式。 2.画图定临界：先画出动角与定角重合、垂直等临界位置，确定t的取值范围，再推导其他情况，验证解的合理性。 例4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是 (2)的值是秒 (3)存在，的值是秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）当时，，，即得； （2）根据题意，当第二次达到时，可得，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线与射线第一次夹角为时，可得，当射线与射线第二次夹角为时，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义（如“角的衍生概念”“特殊角关系”），将其转化为角的和差、倍数、角平分线等已知几何语言，搭建解题桥梁。 2.变量建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动角及相关角，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.特殊值验证定义：取t=0、t=1等特殊值代入新定义，快速理解本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：按动角旋转方向（顺/逆时针）、与定角的位置关系（内部/外部）分类，确保覆盖所有可能情况。 例5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 【变式5-1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角” 【分析】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 综上所述，为或； （3）①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 秒； 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）【阅读新知】 如图①，射线在内，图中共有三个角、和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的倍，则称射线是的“巧线”． 【理解运用】 （1）的角平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） 【拓展提升】 如图②，一副三角板（分别含，，和，，）如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒． （2）求为何值时，射线是的“巧线”？ （3）若三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻，使三条射线、、中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是；（2）的值为或或；（3）的值是或或或或或． 【分析】本题主要考查了角的相关概念以及角的动态变化问题，熟练掌握角的和差关系以及“巧线”的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，再结合“巧线”的定义进行判断． （2）先求出的度数，再分情况讨论射线是的“巧线”时的情况，根据角度关系列出方程求解． （3）分析三条射线、、中其中一条是另外两条组成角的“巧线”的各种情况，根据旋转速度和时间表示出相应角度，再根据“巧线”定义列方程求解． 【详解】解：（1）∵角平分线将角分成两个相等的角，即是角平分线所分成的任意一角的倍， ∴的角平分线是这个角的“巧线”， 故答案为：是； （2）∵ 当时， 此时旋转的角度为 ∵旋转速度为每秒 ∴ 当时， 此时旋转的角度为 当时， 此时旋转的角度为 故的值为或或 （3）∵将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了． ∴三角板绕点旋转的速度实际为， ∵， ∴， 分三种情况： ①在内部，是的巧线， ，， ， ， ． 时，， ． ②在内部，是的巧线， ，， ，，， ，，， ，，； ③在内部，是的巧线， ，， ，，（舍去）， ，，（舍去）， ，，； 综上，的值是或或或或或． 一、单选题 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，邻补角，正确表示各个角，理清各个角之间是关系是解题关键．先求出，，可得 ，继而表示出，即可求解； 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，则，，可得，再根据角平分线的定义可得，故①正确；再由，可得②正确；再分别求出和，可得③正确；然后求出和，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴，故①正确； ，是定值，故②正确； ∵， ， ∴，故③正确； ∵， ， ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 4．（24-25七年级上·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 二、填空题 5．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线恰好平分锐角时， ． 【答案】或 【分析】由角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：当N在上方， 平分， ， ， 当N在下方， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 【答案】 45 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）设，根据角的和差关系以及角平分线的定义，推出，，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）设， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么 ②是定值 ③若变小，则变大 ④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 即， 当， 则， 故①正确； ， ， 故②正确； ， 若变小，则变大， 故③正确； ， ， ， 故④正确； 综上所述， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题提出】 （1）如图1，已知是内的两条射线，平分，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图2，已知，射线在内部，且平分． ①判断射线是否平分，并说明理由； ②若射线平分，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①平分．理由见解析；②，理由见解析； 【分析】本题考查了几何中的角度计算，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由题意可知，，即可求解； （2）①由题意可得，根据角平分线的定义，得到，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，得到，进而得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：（1）因为平分， 所以， 因为， 所以， 故答案为： （2）①平分． 理由：因为， 所以， 所以． 因为平分， 所以， 所以平分． ②．（或） 理由：因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 10．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中    (1)若时，______°； (2)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)9 (2)，； (3) 【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案； （2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案； （3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵在的内部，如图，    ∴ ； ∴ ； （3）∵，分别平分和，    ∴，， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴ ． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算是解本题的关键． 11．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 13．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 【答案】（1）（2）①②或（3）或或 【分析】（1）根据平角定义即可求得； （2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案是：； （2）①旋转的速度是每秒， ∴旋转的度数表示为， ②， 当在左侧时：， ∴，解得， d当在右侧时：， ∴，解得， 故答案是：或； （3）当在左侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：； （ⅱ），如图， 由题意得：， 解得：． ②当在右侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ）， 则：，此方程无解，不符合题意； 综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍． 【点睛】本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用． （1）依题意，设则，，由，继而得解； （2）依题意，设，由，建立方程求解即可得解； （3）根据题意，为的“分余线”，分别讨论或这两种情况，从而得到结果． 【详解】（1）依题意，设则，， 由， 解得： ； （2）如图，依题意，设 又分别是和的平分线， ，， 解得： （3）由，设则 ， ， 为的平分线， ， 为的“分余线” 若，则 解得： 若，则 解得： 综上：为或 17．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 18．（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）由定义可直接得到答案； （2）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别讨论，即可求解； （3）根据定义分平分，平分，平分三种情况，根据三角板的运动状态，分别讨论，即可求解； （4）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别画图，结合射线的运动状态，分别列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：若射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧，故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 故答案为：． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； 若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图， ， ， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 故 解得：， 此时， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，射线在的下方， 该情况不存在． 综上：或时，射线是射线和的“和谐线”． （4）解：若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，， 此时，， ∴， 故， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，或时，射线为两条射线和的“和谐线”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 类型二、几何图形中动角求定值问题 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.方向分类法：明确旋转中心与旋转角，按“顺时针旋转”和“逆时针旋转”分类，分别画出对应图形， 梳理边、角关系。 2.落点分类法：根据旋转后关键点的落点位置（如在原图形内部/外部、线段上/延长线）分类，结合图 形性质列等式求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.固定不变量：旋转中对应边相等、对应角相等，以此为突破口，搭建已知与未知的联系，简化计算。 2.标注临界位置：先确定旋转的临界情况（如关键点与某线段端点重合），再推导其他可能，避免漏解。 例1.(2425七年级上·全国·单元测试)某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O,A在 直线MN上，第一步，OA,绕点O顺时针旋转a度(0°<a<30）至OA;第二步，OA,绕点O顺时针旋转 2α度至OA2;第三步，OA,绕点0顺时针旋转3α度至OA,以此类推，在旋转过程中若碰到直线MN则立 即绕点O反方向旋转.当∠A,0A,=35°时，则等于度. 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-1】(24-25七年级下·河南信阳开学考试)如图，已知LA0B=90°，射线0C绕点0从OA位置 开始，以每秒3°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针旋 转，并且当0C与OA成180°角时，0C与0D同时停止旋转.则在旋转的过程中，经过秒，0C与 0D的夹角是30°. A B 【变式1-2】(24-25七年级上江苏南京阶段练习)如图，若LA0B=20°，∠A0C=90°，∠A0D=120°， 射线OB绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线0C绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，射线0D绕点 O以每秒30°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运 动.则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线. C 类型二、儿何图形中动角求定值问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.代数表示法：设基准角为a,用含α的式子表示动角及相关角，结合角的和差、角平分线等性质化简， 消去a得定值。 2.方程建模法：设运动时间为，用“速度×”表示动角变化量，列角的数量关系等式，化简后证明结果 与t无关。 二、关键解题技巧（分两点） 1.紧抓“不变关系”：锁定固定角（如平角、直角）和角的倍数/和差关系，以此为桥梁推导定值。 2.画图标注动态：分阶段画出动角不同位置，标注已知角与动角，直观梳理数量关系，避免思维混乱。 例2.(24-25七年级上·山东青岛期末)如图，∠A0B直角，∠B0C锐角，0D是∠AOC的平分线，OE是 ∠BOC的平分线： 2/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)当∠B0C=50°时，LA0D=_°，LD0E=_°； (2)当∠BOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【变式2-1】(2425七年级上·吉林白城期末)如图所示，以直线AB上的一点0为端点，在直线AB的上方 作射线OP,使∠B0P=68°，将一块直角三角板（∠MON=90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角板在 直线AB的上方.设∠B0M=n°(0<n<90). B 0 B 备用图 (I)当n=30时，求∠P0N的大小： (2)当OP恰好平分∠MON时，求n的值； (3)当n≠68时，嘉嘉认为LAON与∠P0M的差为定值，淇淇认为LAON与∠P0M的和为定值，老师说， 两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件.请你补充完整下面的信息： 当0<n<68时，∠A0N-∠P0M= 当68<n<90时，∠A0N+∠P0M= 【变式2-2】(24-25七年级上江苏苏州期末)己知∠A0B=160°，0C为∠A0B内部的一条射线， ∠B0C=60°. A(E) B B(F) 图1 图2 图3 0图1，若0E平分∠40B,0D为∠B0C内部的一条射线，∠COD-B0D,求∠D0E的度数： (2)如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以20度/秒的速度顺时针旋转至OB结束，OF绕着O点从OB开 始以10度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠E0C=∠FOC时，求t的值； (3)若射线OM绕着O点从OA开始以20度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AOM,试问2∠BON-∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定 值并写出t所在的时间段.（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.代数表达法：设基准角或运动时间为变量（如α、t),用变量表示所有相关角，结合角的和差、角平分 线性质列关系式，化简推导数量关系。 2.特殊值验证法：取动角不同位置的特殊值（如0、仁1），计算各角大小，猜想数量关系（相等、倍数 和差定值)，再严谨证明。 二、关键解题技巧（分两点） 1.锁定“不变量”：抓住固定角（平角、直角）、角的固定比例等不变量，作为推导关系的核心依据。 2.动态画图辅助：分阶段画出动角不同位置的图形，标注角的数量关系，直观梳理逻辑，避免漏解或错 判。 例3.(24-25七年级上·安徽淮南期末)如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放. (1)如果∠DCE=20°，则∠ACB=-; (②)如果CE始终在∠ACD内部，当∠DCE的度数发生变化时，请猜想∠DCE与∠ACB之间的数量关系，并 说明理由， 【变式3-1】(24-25六年级下山东东营·期末)以直线AB上一点0为端点作射线0C,使∠B0C=40°，将 一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠D0E=90°. B 图1 图2 (I)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠C0D= (2)如图2，将直角三角板D0E绕点0顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC,则∠C0D= ; ②若OD在∠BOC内部，请通过计算写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系. 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】(24-25七年级上·湖南长沙期末)已知直角三角板0AB(∠A0B=90°，∠0AB=∠0BA=45°) 和直角三角板0CD(4D=90°，∠C=60°，∠C0D=30°)，如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将 直角三角板0CD绕点O逆时针方向转动n°，变化摆放如图2、3、4、5位置， 图1 图2 图3 图5 (1)当0D平分∠A0B时，∠A0C= (2)如图4，当0°<n°<60°时，作射线0M平分∠A0C,射线ON平分∠BOD,则∠M0N与∠C存在怎样的 数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当60°<n°<90°时，保持射线0M平分∠AOC,射线ON平分∠BOD,则∠M0N与∠C存在 怎样的数量关系？请说明理由： ②当90°<n°≤180°时，保持射线0M平分∠AOC,射线ON平分∠BOD,请直接写出∠MON与∠C的数量 关系 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1.变量建模法：设运动时间为，用“角速度×t”表示动角变化量，结合角的和差、角平分线等性质，列 关于t的一元一次方程求解。 2.分类讨论法：按动角旋转方向（顺时针/逆时针）、与定角的位置关系（重合前/后、内部/外部）分类， 每类列方程计算，避免漏解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.标注“基准角”：确定固定不变的角（如平角、直角）作为基准，明确动角与基准角的数量关联，简化 列式。 2.画图定临界：先画出动角与定角重合、垂直等临界位置，确定t的取值范围，再推导其他情况，验证解 的合理性。 例4.(2425七年级上江苏期末)如图1，点A、0、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点0沿顺时针 方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点0沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动， 如图2，设旋转时间为(t的值在0到30之间，单位：秒). 5/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 之4 B MA O BN O 图1 图2 (1)当t=3时，求∠AOB的度数； (2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t,使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值； 如果不存在，请说明理由 【变式4-1】(24-25七年级上浙江宁波期末)一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°)按如图所示 摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器 中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为1 B (1)当t=5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是度； (②)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止 旋转时，三角尺PCD也停止旋转， ①当t为何值时，边PB平分∠CPD; ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC,若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理 由 【变式4-2】(24-25七年级上全国期末)已知，0C是∠A0B内部的一条射线，且LA0B=3LA0C. 图1 图2 图3 (1)如图1所示，若∠A0B=120°，OM平分∠AOC,ON平分∠AOB,求∠MON的度数； (②)如图2所示，∠A0B是直角，从点O出发在∠B0C内引射线0D,满足LB0C-LA0C=LC0D,若 OM平分∠COD,求LBOM的度数； 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3所示，∠A0B=x°，射线OP,射线OQ分别从0C,OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕 着点O逆时针旋转，OP和O0分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒. ①直接写出∠A0P和∠COQ的数量关系： ②若∠A0B=150°，当∠P00=2∠BOP,求t的值。 3 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义（如“角的衍生概念”“特殊角关系”），将其转化为角的和差、倍数、角平分 线等已知几何语言，搭建解题桥梁。 2.变量建模法：设运动时间为t,用含t的式子表示动角及相关角，结合转化后的定义条件，列一元一次 方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.特殊值验证定义：取0、1等特殊值代入新定义，快速理解本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：按动角旋转方向（顺/逆时针）、与定角的位置关系（内部/外部)分类，确保覆盖所有 可能情况。 例5.(2425七年级上浙江杭州期末)定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线 将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”.如图，点O在直 线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD,钝角LA0D的割补线”记为OE. D D A 0 B 0 B (1)若∠B0D=40°，求∠C0E的度数： (2)若OE恰好平分∠AOC,求∠BOD的度数： (3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出LEOF与LDOG的数量关系. 【变式5-1】(24-25七年级下·四川遂宁期末)新定义：若两个角的和为100°，我们则称这两个角互为“百 度角”；例如∠A0B=45°，∠C0D=55°，则∠A0B与∠C0D互为“百度角”.（本题中所研究的角都是大于 0°而小于180°的角.) 7/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B O B O B 图1 图2 备用图 【阅读理解】 (1)如图1，如果∠A0B=70°，∠A0D与∠C0B互为“百度角”，则LC0D=· 【初步应用】 (2)射线OM平分角∠AOB,OC为∠AOB内部的一条射线，且满足∠COM=10°，若∠B0C与∠AOB互 为“百度角”，求∠AOB的值； 【解决问题】 (3)如图2，己知∠A0B=90°，射线0M从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒5°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒(0<1<18).当t为何值时由 OM、0N、OA三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【变式5-2】(24-25七年级下陕西西安开学考试)【阅读新知】 如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另 一个角的度数的2倍，则称射线0C是∠A0B的巧线”. 【理解运用】 (1)∠A0B的角平分线 这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”) 【拓展提升】 如图②，一副三角板（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）如图所示摆放在量角器上，边PD与量角 器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（∠APB=45。,DPC=60°），将三角板ABP绕量角器 中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间 为t秒， (2)求t为何值时，射线PB是∠CPD的巧线”？ (3)若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方向旋转，此时 三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°，当三角板ABP停止旋转时，三角板PCD也停止旋转，问： 在旋转过程中，是否存在某一时刻t,使三条射线PB、PC、PD中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧 线”？若存在，请直接写出t的值.若不存在，请说明理由. 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② (备用图1) (备用图2) 压轴专练 一、单选题 1.(2025·河北石家庄·三模)如图，三角板MON直角顶点O在直线AB上，0OC是∠MOB的角平分线，则 ∠AOM与∠NOC的数量关系为() M A B A.∠AOM=NOC B.∠A0M=2∠N0C C.ZAOM =3LNOC D.∠A0M=90°-∠N0C 2.(24-25七年级上湖北武汉期末)如图，点O在直线AB上，射线OC,OD分别在AB两侧，∠C0D=90°， OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD,下列四个结论：①LC0E-BOF=45°；②LE0F为定值；③ 2∠B0E-∠A0D=90°；④∠A0F+∠E0D=315°.其中正确的结论个数是() E D A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25七年级上·浙江湖州期末)定义：从∠A0B的顶点出发，在角的内部引一条射线0C,把∠A0B 分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线 OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x,则∠MON用含x的代数式表示为() A.9 或3x或9C}或2或D3x或9或 2 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级上·重庆开州·期末)一副三角板ABC、DBE,如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）， 将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论： D B 图1 图2 ①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF,则BA平分∠DBF; ②在旋转过程中，若BM平分∠DBA,BN平分LEBC,∠MBN的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次； ④∠DBC+∠ABE的角度恒为105°， 其中正确的结论个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(24-25七年级上·广东深圳期末)如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线0C,使∠A0C=60°， 将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线OW恰好平分锐角 ∠AOC时，∠BON=- M A B N 6.(24-25七年级上，安徽合肥·期末)如图，在同一平面内，过点O依次作射线0A、0B、0C、0D,其中 ∠AOD=130°，射线0E、OF分别平分∠AOC和∠BOD. 10/16