专题06 函数的单调性、奇偶性、对称性（16个题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题06 函数的单调性、奇偶性、对称性（16个题型） 考点01 函数单调性的判断与证明 考点02 求函数单调区间 考点03 利用函数的单调性求参数 考点04 根据图象判断函数单调性 考点05 利用函数的单调性比较大小 考点06 利用函数的单调性解不等式 考点07 复合函数单调性 考点08 利用单调性研究函数的最值 考点9 利用函数的最值求参数 考点10 分类讨论研究含参函数的最值 考点11 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 考点12 函数奇偶性的定义及判断 考点13 由函数奇偶性求解析式 考点14 函数奇偶性应用 考点15 抽象函数的奇偶性问题 考点16 函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 考点01 函数单调性的判断与证明 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解析】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 2.设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 3.已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【解析】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 4. 设，，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解析】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 5.已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【解析】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 6.已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)；(2)在上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【解析】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 考点02 求函数单调区间 7．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【解析】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 8.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 9.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【解析】由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 10.已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【解析】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 11.若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 【答案】和 【解析】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故答案为：和 考点03 利用函数的单调性求参数 12．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【解析】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A. 13.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【解析】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 14.已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得到不等式组，解出即可. 【解析】由图可知在，上单调递减， 则或， 得或. 故选：B. 15.已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 16.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【解析】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 17.已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【解析】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故答案为： 考点04 根据图象判断函数单调性 18．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（ ）   A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【解析】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D. 19.已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 【答案】(1)作图见解析；(2) (3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和. 【解析】（1）如图所示： （2）； （3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和． 单调递增区间为：和. 20.已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析 【分析】（1）分析得到时，，为二次函数，开口向下，时，为一次函数，结合特殊点函数值，画出图象； （2）数形结合得到函数单调区间和函数单调性. 【解析】（1）当时，，为二次函数，开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，，为一次函数，当时，， 当时，， 画出图象如下： （2）由图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 故在上单调递增，在上单调递减. 21.已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)图象见解析，函数的增区间为：和. 【分析】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【解析】（1）设函数为， 所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    则函数的单调增区间为：和. 考点05 利用函数的单调性比较大小 222．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【解析】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 23.已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 24.设则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解析】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 25.已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 考点06 利用函数的单调性解不等式 26．函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 27.已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解析】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 28.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【解析】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 29.已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围________________ 【答案】 【解析】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故答案为： 30.若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为_____________ 【答案】 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【解析】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故答案为：． 31.定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为_______________ 【答案】 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 考点07 复合函数单调性 32．“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 33.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【解析】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 34.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得. 【解析】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A. 36.已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【解析】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 考点08 利用单调性研究函数的最值 37．已知函数，则在区间的最大值为（  ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可求得最大值. 【解析】的对称轴为， 在区间单调递减，在单调递增， 当，， 故选：C． 38.函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 39.函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 40.函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【解析】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为： 41.已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【解析】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6 考点9 利用函数的最值求参数 42．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【解析】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 43.设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【解析】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 44.定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（  ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 【答案】A 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可． 【解析】在上的最大值为， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，即时，，此时解得，符合题意； 当时，即时，，此时解得，符合题意； 故或. 故选：A 45.若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【解析】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 考点10 分类讨论研究含参函数的最值 46．已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【解析】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为，，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述的值为或 47.已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；值域为；（2）. 【分析】（1）先求得函数的定义域是，然后转化为，结合，利用复合函数的单调性求解. （2）将函数转化为，，再风，，，，五种情况讨论求解. 【解析】（1）要使函数有意义，需满足， 解得 所以函数的定义域是. ∵，又， 所以的单调增区间为，单调减区间为 又， ∴， ∵ ∴， 即函数的值域为. （2）令， 则， 原函数转化为：， 令， 时函数的图像的对称轴方程为. ①当时，，函数在区间上递增， ∴. ②当时，， ③当时，， 若，即时，函数在区间上递减， ∴， 若，即时，， 若，即时，函数在区间上递增， ∴. 综上，. 48.已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 49.已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)3． 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）求得的对称轴为，分，，三种情况讨论可求在上的最小值； （3）分，，三种情况讨论可求的最大值, 【解析】（1）因为，， 所以，所以，解得． （2）由，得函数的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，， 当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 当即时，在区间上单调递减，， 综上，； （3）由（2）知，当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最大值为3 考点11 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 50.已知函数，若恒成立，则的最大值为_____； 【答案】 【分析】由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； 【解析】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. 故答案为： 51.已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果. 【解析】， 当时，， 令，则在上单调递增，， ，当时，恒成立， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 52.已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意知得需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论a的范围，并解不等式即可求得答案. 【解析】由题意知对于任意的，存在，使得， 即得需满足； 函数在上单调递减，所以. 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得，所以； 当时，在区间上单调递减，， 所以，解得，所以； 当时，也符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 53.若对，使不等式成立，则的最小值是_______ 【答案】2 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【解析】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 的最小值是2 故答案为：2 54.已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解， （2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【解析】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，,，且， 则，， 则， ，即， 函数是,上的增函数,因此函数在单调递增， 故值域为 （2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立， 由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故 55.已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R；(2);(3) 【解析】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 考点12 函数奇偶性的定义及判断 56．函数的奇偶性为（  ） A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】按照判定函数奇偶性的步骤，先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，求，与对比，即可得出结论. 【解析】的定义域为， ， 所以是奇函数. 故选:A. 57.设函数，则下列函数中为奇函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解析】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 58.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数；(5)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （5）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 考点13 由函数奇偶性求解析式 59．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】是定义域为的奇函数， 当时，，所以. 故选：A. 60.如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 61.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 【答案】 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解析】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故答案为： 62.已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【解析】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 63.若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 【答案】 【解析】由题意，， 则由 可得，即 由，可得 故答案为： 64.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； 画出在轴右侧的图象，并写出函数的解析式； 【答案】图象见答案 【解析】函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. 考点14 函数奇偶性应用 65．设是定义在上的奇函数，当时，，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 66.若奇函数和偶函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【解析】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 67.函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案． 【解析】函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以． 故选：A 68.若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，即得. 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ∴, 故答案为：. 69.已知函数的部分图象如图所示，则（  ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【答案】D 【分析】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解析】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 70.已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 【答案】和 【分析】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【解析】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故答案为：和 71.已知函数，，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求函数值. 【解析】设，则，且为奇函数，即. 又 ； 所以， 所以. 故答案为： 72.已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【解析】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 考点15 抽象函数的奇偶性问题 73．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【解析】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 74.已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解析】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 75.已知函数的定义域为，且，若，则（  ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 76.（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ABC 【解析】A：令，代入， 得，解得，故A正确； B：令，代入， 得，又，所以； 令，代入， 得， 令，代入， 得，所以，故B正确； C：令，代入， 得，则， 所以函数为奇函数，故C正确； D：由选项AB知，，，则， 所以函数不为R上的减函数，故D错误. 故选：ABC 77.已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 考点16 函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 78．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 79.已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 80.已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 81.已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 82.已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【解析】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故答案为： 83.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的单调性、奇偶性、对称性（16个题型） 考点01 函数单调性的判断与证明 考点02 求函数单调区间 考点03 利用函数的单调性求参数 考点04 根据图象判断函数单调性 考点05 利用函数的单调性比较大小 考点06 利用函数的单调性解不等式 考点07 复合函数单调性 考点08 利用单调性研究函数的最值 考点9 利用函数的最值求参数 考点10 分类讨论研究含参函数的最值 考点11 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 考点12 函数奇偶性的定义及判断 考点13 由函数奇偶性求解析式 考点14 函数奇偶性应用 考点15 抽象函数的奇偶性问题 考点16 函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 考点01 函数单调性的判断与证明 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 2.设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 3.已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 4. 设，，则（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 5.已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 6.已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 考点02 求函数单调区间 7．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 8.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 9.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 10.已知函数，则的单调递增区间为 . 11.若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 考点03 利用函数的单调性求参数 12．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14.已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 15.已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17.已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是___________ 考点04 根据图象判断函数单调性 18．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（ ）   A．和 B．和 C．和 D．和 19.已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调区间． 20.已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 21.已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 考点05 利用函数的单调性比较大小 222．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 23.已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24.设则（ ） A． B． C． D． 25.已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 考点06 利用函数的单调性解不等式 26．函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A． B． C． D． 27.已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 28.定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 29.已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围________________ 30.若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为_____________ 31.定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为_______________ 考点07 复合函数单调性 32．“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 33.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 34.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 36.已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 考点08 利用单调性研究函数的最值 37．已知函数，则在区间的最大值为（  ） A．2 B．3 C．6 D．18 38.函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 39.函数的最小值为 ． 40.函数在区间上的最小值为，最大值为，则 41.已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 考点9 利用函数的最值求参数 42．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 43.设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 44.定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（  ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 45.若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 考点10 分类讨论研究含参函数的最值 46．已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 47.已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 48.已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 49.已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 考点11 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 50.已知函数，若恒成立，则的最大值为_____； 51.已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 52.已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 53.若对，使不等式成立，则的最小值是_______ 54.已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 55.已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 考点12 函数奇偶性的定义及判断 56．函数的奇偶性为（  ） A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 57.设函数，则下列函数中为奇函数的是（  ） A． B． C． D． 58.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 考点13 由函数奇偶性求解析式 59．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（  ） A． B． C． D． 60.如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 61.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 62.已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 63.若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 64.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； 画出在轴右侧的图象，并写出函数的解析式； 考点14 函数奇偶性应用 65．设是定义在上的奇函数，当时，，则（  ） A． B．1 C． D． 66.若奇函数和偶函数满足，则（  ） A． B． C． D． 67.函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 68.若函数是上的偶函数，则的值为 . 69.已知函数的部分图象如图所示，则（  ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 70.已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 71.已知函数，，则 . 72.已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 考点15 抽象函数的奇偶性问题 73．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 74.已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 75.已知函数的定义域为，且，若，则（  ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 76.（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 77.已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 考点16 函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 78．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 79.已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 80.已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 81.已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 82.已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 83.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $