专题02 一元二次方程（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期北师大版

专题01 一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程定义及一般式 考点02 一元二次方程的根求参数 考点03 解一元二次方程 考点04 一元一次方程的判别式判断根的情况 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 一元一次方程的判别式与根与系数的关系 考点07 一元一次方程的应用 地 城 考点01 一元二次方程定义及一般式 1．(23-24九上·江西九江都昌县·期末)下列方程中，属于一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故该选项不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C．，只含有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意； D．含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，如果一个方程经整理后，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．(24-25九上·江西弋阳县·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知“只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程”． 【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、，即，是一元二次方程，符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．利用一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，选项A不符合题意； B、，是一元二次方程，选项B符合题意； C、，含有两个未知数，且含未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，选项C不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：B． 4．(23-24九上·江西吉安吉州区·期末)下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、不是方程，故此选项不合题意； D、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意． 故选：B． 5．(23-24九上·江西赣州兴国县·期末)一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，14 B．2，， C．2，12，14 D．2，12， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程可化为：， ∴二次项系数为2、一次项系数为、常数项为． 故选：B． 6．(23-24九上·江西九江·期末)方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．0，5，2 B．0，5， C．1，5， D．1，5，2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意找各项的系数时，要带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，5，， 故选：C． 7．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)把方程化成一般式得，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵把方程化成一般式得， ∴ ∴． 故答案为：3． 8．(24-25九上·江西萍乡·期末)一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 ． 【答案】2 【分析】先确定一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3，计算它们的和即可． 【详解】因为一元二次方程的一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3， 所以， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练掌握中二次项系数为a，一次项系数是b，常数项是c是解题的关键． 地 城 考点02 一元二次方程的根求参数 1．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)若是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．(23-24九上·江西赣州石城县·期末)若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程，求出的值，因式分解法解方程求出另一个根即可． 【详解】解：把，代入方程，得：， ∴， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为； 故选A． 3．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把一元二次方程的解代入一元二次方程即可得出a的值． 【详解】解：把代入， 得： 故答案为：． 4．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)如关于x的方程的一个根是，则另一个根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．先把代入原方程即可解出a的值，再解方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， ∴原方程为， ， ∴或， 解得或， 故答案为：3． 5．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)已知是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 解一元二次方程 1．(24-25九上·江西吉安·期末)将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 【答案】B 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【详解】解：（x-1）2=6， x2-2x+1-6=0， x2-2x-5=0， 即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0， 故选：B． 2．(24-25九上·江西宜春·期末)用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 3．(23-24九上·江西赣州石城县·期末)一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【答案】１ 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 4．(23-24九上·江西萍乡·期末)方程的根为 ． 【答案】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 5．(24-25九上·江西赣州章贡区第三中学·期末)解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴ 6．(23-24九上·江西萍乡·期末)解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 7．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法； （1）根据配方法，得，从而完成求解； （2）先去括号，再根据因式分解法求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1） ∴ ∴ ∴ （2） ∴ ∴ ∴ ． 8．(24-25九上·江西弋阳县·期末)解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 9．(23-24九上·江西南昌青山湖区·期末)用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法和换元法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解：， 或， ． （2）解：， ， 或， ． 10．(23-24九上·江西九江·期末)解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，然后配方法求出即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得：， ，即， ∴，， ∴，． 11．(23-24九上·江西赣州大余县·期末)用合适的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握配方法，因式分解是解题的关键． （1）利用配方法或十字相乘法解方程． （2）先变形得到。然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）； 解：方法一：十字相乘法 或 ，． 方法二：配方法 或 ，． （2） 解： 或 ，． 12．(23-24九上·江西吉安吉州区·期末)解下列方程： (1)（用公式法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； 解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】（1） ，， ∴ ∴ 解得，； （2） ∴ 解得，． 13．(24-25九上·江西吉安·期末)2．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1；（2）， 【分析】本题主要考查了解特殊角度的三角函数值的混合运算和一元二次方程，熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可． （2）用因式分解法进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴，． 14．(24-25九上·江西宜春·期末)3．（1）解方程：x2﹣5x＋6＝0； （2）已知一条抛物线过点（1，3），且顶点坐标为（2，1），求该抛物线解析式． 【答案】（1）x1＝2，x2＝3；（2）y＝2（x﹣2）2＋1 【分析】（1）进行因式分解即可得； （2）物线解析式为y＝a（x﹣2）2＋1，把（1，3）代入即可得． 【详解】解：（1）∵x2﹣5x＋6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． （2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2＋1， 把（1，3）代入得a•（3﹣2）2＋1＝3，解得a＝2， 所以抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2＋1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，二次函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 15．(23-24九上·江西赣州经开区·期末)4．（1）解方程：： （2）如图，在中，是斜边上的高．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程及相似三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明． 【详解】（1） 解： ∴； （2）证明：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴． 16．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)5．（1）解方程：． （2）如图，已知，把绕着点A顺时针旋转，使得点B与的延长线上的点D重合．求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形等边对等角可得结果． 【详解】解：（1）， 因式分解得：， ∴或， ∴，； （2）∵把绕着点A顺时针旋转，使得点B与的延长线上的点D重合， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，旋转的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的几种解法以及旋转的性质是解本题的关键． 17．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)（1）解方程：； （2）如图，已知D，E分别是的边上的点，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了解一元二次方程和相似三角形的判定与性质，熟练掌握一元二次方程的解法和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(24-25九上·江西宜春·期末)（1）解方程：； （2）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高，水面宽度．求截面⊙O的半径． 【答案】（1），  （2） 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）连接，设的半径为，则，，然后根据列方程解题即可． 【详解】解：（1） 解得，； （2）连接， 设的半径为，则，， 在中，，即， 解得：． 19．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)8．（1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：（1）， 移项，得：， 因式分解，得：， 得：或， 解得：，； （2）∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． 20．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)9．（1）解方程：； （2）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点A作，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，旋转的性质，平行的性质，熟练掌握接一元二次方程是解题的关键． （1）根据公式法进行计算即可； （2）根据旋转的性质得到，再由平行的性质得到，通过等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，，（解法不唯一） （2）证明：由旋转的性质得：， ，    ．（证法不唯一） 21．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)①解方程：． ②如图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长． 【答案】①，② 【分析】①利用因式分解法解方程即可； ②先由正方形的性质得出，，运用勾股定理列式，结合旋转性质得，，然后结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，， ，； 四边形正方形， ，， 为的中点， ， ， 又绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ． 地 城 考点04 一元一次方程的判别式判断根的情况 1．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4．(23-24九上·江西九江第十一中学·期末)小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：设“□”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “□”的值可能为4， 故选：A． 5．(24-25九上·江西宜春·期末)如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是（　　） A．k＞-4 B．且 C．且 D．k≤1 【答案】B 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 6．(23-24九上·江西赣州兴国县·期末)关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7．(23-24九上·江西吉安峡江县·期末)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】2 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8．(24-25九上·江西吉安·期末)已知：关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）把方程的解代入方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵关于的方程 ∴，，， ， 无论取何值，， ，即． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入得 解得． 9．(23-24九上·江西赣州于都县·期末)已知关于的方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若，求该方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）将k＝1代入方程x2+2x＋k−4＝0，解方程即可求出方程的解； 【详解】（1）． 方程有两个不相等的实数根， ． 解得； （2）当时，原方程化为． 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 10．(24-25九上·江西宜春·期末)已知关于的方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围： (2)当该方程的一个根为-3时，求的值及方程的另一根． 【答案】（1）；（2）的值是-1，该方程的另一根为1． 【分析】（1）根据计算即可得出答案； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，先根据一个根为-3，求出另一个根，再根据两根之积即可求出m的值． 【详解】解：(1)， 解得：． (2)由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵该方程的一个根为-3， ∴另一个根为， ， 解得， ∴的值是-1，该方程的另一根为1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键． 11．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为2 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据判别式，即可解答； （2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 即 解得，； （2）解：， ， 为整数， 整数的值为2、3， 当时，方程为， 解得，， 当时，此时方程解不为整数， 综上所述，的值为2． 12．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)已知关于x的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， （负值已舍）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 13．(23-24九上·江西九江·期末)已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析 (2)直角三角形；理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案； （3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 地 城 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．(23-24九上·江西吉安峡江县·期末)已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ） A．7 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，， ∴+=2， ∵， ∴=3， ∴·=-a=-3， ∴a=3， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键． 2．(24-25九上·江西吉安·期末)已知a，b分别是方程的两根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程解的定义、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，再根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b分别是方程的两根， ∴， 把代入方程得，，即， ∴， 故答案为：3． 3．(24-25九上·江西弋阳县·期末)若一元二次方程的两个根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．(24-25九上·江西宜春·期末)已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 ． 【答案】5 【分析】由根与系数的关系结合一元二次方程的解，可得出a＋b＝−3、a2+3a＝2，将其代入a2＋2a−b中，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2＋3x−2＝0的两根， ∴a＋b＝−3，a2+3a＝2， ∴a2＋2a−b＝a2+3a-（a＋b）=2-（-3）＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系结合一元二次方程的解，找出a＋b＝−3、a2+3a＝2是解题的关键． 5．(23-24九上·江西吉安吉州区·期末)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，根据题意，，进而即可求解． 【详解】∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴， ∴ ． 故答案为：2 6．(23-24九上·江西赣州大余县·期末)若一元二次方程的两根分别为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数之间的关系，利用根与系数的关系解答即可．根据是一元二次方程的两根，可以得到，即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ， ， 故答案为：2． 7．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 8．(23-24九上·江西九江都昌县·期末)设，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】0 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ． 故答案为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 地 城 考点06 一元一次方程的判别式与根与系数的关系 1．(23-24九上·江西赣州石城县·期末)已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 2．(23-24九上·江西吉安吉州区·期末)已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解分式方程． （1）根据一元二次方程有实数根，则，列出关于的不等式求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，再根据得到关于的方程，求解即可． 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意得 解得：， ∵， ∴且； （2）∵方程的两个实数根为，， ∴，； ∵， ∴， ∴； 解得：，， 经检验，是原分式方程的解， ∵且， ∴． 3．(23-24九上·江西赣州大余县·期末)已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为和，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）由根的判别式，即可得出结论， （2）将化简，由根与系数关系，求出与的值，代入即可， 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练应用根的判别式和根与系数关系． 【详解】（1）解：， ， 该方程总有两个不相等的实数根， （2）解：， ，即：， 由和是方程两实数根，可得：，， 代入，可得：，即， 或， 故答案为：或． 4．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为x1 ，x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）a的值为﹣2+ 或﹣2﹣． 【分析】（1）欲证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可. △=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证； （2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣. 【详解】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1） =a2+6a+9﹣4a﹣4 =a2+2a+5 =（a+1）2+4， ∵（a+1）2≥0， ∴（a+1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1， ∵x12+x22=10， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（a+3）2﹣2（a+1）=10， 整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣， 即a的值为﹣2+或﹣2﹣． 5．(23-24九上·江西赣州经开区·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． 6．(23-24九上·江西南昌青山湖区·期末)已知关于的方程有两个实数根、． （1）求的取值范围 （2）若、满足等式，求的值． 【答案】（1）且；（2）-1． 【分析】（1）根据一元二次方程成立的条件及根的判别式列不等式组计算求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根、 ∴，解得：且 （2）由题意可得：， 由（1）可得，∴ ∴ ， ∴ 解得：（不合题意舍去）， ∴k的值为-1． 地 城 考点07 一元一次方程的应用 1．(24-25九上·江西赣州章贡区第三中学·期末)某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程． 【详解】解：由题意可得： 2019年用水总量为亿立方米， 2020年用水总量为亿立方米， 所以． 故选：A． 2．(23-24九上·江西吉安吉州区·期末)某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平均增长率为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】根据题意可求出9月份利润为，进而可求出10月份利润为，即得出方程． 【详解】解：设月平均增长率为x， ∴9月份利润为， ∴10月份利润为． ∵要使10月份利润达到25万元， ∴可列方程为． 故答案为：． 3．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为 （化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 4．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺； 斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少? 设门对角线的长为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用即勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的性质，列方程求解．设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，故门对角线长为x尺． 根据勾股定理得， 故答案为：． 5．(23-24九上·江西赣州石城县·期末)又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． (1)若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； (2)要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 【答案】(1)[]或) (2)这种脐橙的售价单价应定为每箱元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）根据销售单价每提高元，日销售量将减少箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）解：设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元， 日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利给顾客， ． 答：这种脐橙的售价单价应定为每箱元． 6．(24-25九上·江西宜春·期末)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可． 【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意， 得：1280（1+x）2=1280+1600， 解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍）， 答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%； （2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意， 得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900， 答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用. 7．(23-24九上·江西赣州于都县·期末)某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨x元，每天的利润为y元． (1)每天的销售量为_________瓶，每瓶的利润为_________元（用含x的代数式表示）． (2)若日销售利润达到300元，求x的值． (3)每天的销售利润能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意，列代数式即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售数量，列方程进行计算即可； （3）根据总利润＝单件利润×销售数量，列一元二次方程，根据一元二次方程根的判定进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得： 每天的销售量为：（瓶），每瓶的利润为：（元）； 故答案为：，； （2）解：由题意得： ． 解得． ∴当或时，日销售利润达到300元． （3）不能，理由如下： 根据题意，得 ． 整理得：， 此方程没有实数解， 所以，每天的销售利润不能达到400元． 8．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． (1)降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键． （1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解． （2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程． 【详解】（1）解：每件玩具降价x元， 每件玩具的利润为元，销量为件． 故答案为：；． （2）（2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ． 答：每件玩具应降价元． 9．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 【答案】(1)空调的下降率为 (2)空调应按照元销售 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）根据题意，设降价率为，运用一元二次方程与增长率的关系列式计算即可求解； （2）设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为， ∴，则， ∴， 解得，或， ∵是降价， ∴，即空调的下降率为． （2）解：设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴下降了个元，即下降了元，则（元）， ∴空调应按照元销售． 10．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低27元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【详解】（1）设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01一元二次方程 ☆7大高频考点概览 考点01一元二次方程定义及一般试 考点02一元二次方程的根求参数 考点03解-元二次方程 考点04一元一次方程的判别试判断根的情况 考点05一元二次方程的根与系数的关系 考点06一元一次方程的判别试与根与系数的关系 考点07一元一次方的应用 目目 考点01 一元二次方程定义及一般式 1.(23-24九上江西九江都昌县期末)下列方程中，属于一元二次方程是() A.2x+1=0B.x2+y=5 C.x2+x=5 D.x2+贵+1=0 2.(24-25九上江西弋阳县·期末)下列方程中，是一元二次方程的是() A.x3+2x=0B.x(x-3)=0C.是-x2=1 D.y-x2=4 3.(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学.期末)下列关于x的方程中，是一元二次方程的是() A.ax2-2x=5 B.(x+2x-3=1 C.y=(x+1)3-3 D.y=x+1 4.(23-24九上·江西吉安吉州区·期末)下列关于x的方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.x2=0 C.x2+2x+是 D.x2+y2=1 5.(23-24九上江西赣州兴国县·期末)一元二次方程2x2一12x一9=5的二次项系数、一次项系数、常数 项分别是() A.2,-12,14B.2,-12,-14C.2,12,14 D.2,12,-14 6.(23-24九上江西九江期末)方程x2+5x-2=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是() A.0,5,2B.0,5,-2 C.1,5,-2 D.1,5,2 7.(24-25九上江西赣州于都县期末)把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式得x2-bx+10=0,则b 的值为 1/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25九上·江西萍乡·期末)一元二次方程x2+4x-3=0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是」 目目 考点02 一元二次方程的根求参数 1.(24-25九上江西宜春上高县期末)若x=m是方程x2+2x-1=0的一个根，则2m2+4m-3=(） A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(23-24九上江西赣州石城县·期末)若x=一3是一元二次方程x2+x+m=0的一个根，则方程的另一 个根及m的值分别是() A.2,-6 B.-2,6 C.4,-12 D.-4,12 3.(24-25九上江西赣州安远县·期末)若关于x的一元二次方程x2一2x十a=一1有一个根为x=0,则a 的值为 4.(2425九上·江西赣州经开区期末考试期末)如关于x的方程x2一2x-a=0的一个根是-1，则另一个 根是 5.(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校期末)已知x=3是一元二次方程x2+mx十n=0的一个根，则 3m+n= 目目 考点03 解一元二次方程 1.(24-25九上江西吉安期末)将方程(x-1)2=6化成一元二次方程的一般形式，正确的是() A.x2-2x+5=0B.x2-2x-5=0 C.x2+2x-5=0 D.x2+2x+5=0 2.(24-25九上江西宜春期末)用配方法解方程x2+2x一1=3时，配方结果正确的是() A.(x+1)2=5 B.(x+1)2=3 C.(x+2)2=2 D.(x+2)2=3 3.(23-24九上江西赣州石城县期末)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x一2)2=k,则k的值 是一 4.(23-24九上江西萍乡·期末)方程x2-3x=0的根为__ 5.(24-25九上江西赣州章贡区第三中学期末)解方程：x2-2x-5=0 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(23-24九上江西萍乡期末)解方程：(3x-1)2=4(2x+3)2 7.(24-25九上江西赣州大余县·期末)用适当的方法解下列方程 (1)x2+x-1=0 (2)x(x-2)+x-2=0 8.(24-25九上·江西弋阳县.期末)解下列一元二次方程 (1)x2-4x-5=0 (2(x-4)2=10(x-4) 9.(23-24九上江西南昌青山湖区·期末)用适当方法解下列方程： (1)x(x-4)=0; (2)x2-2x-3=0. 10.(23-24九上·江西九江·期末)解下列方程 (1)x2+4x-2=0 (2)(x-3)2=6-2x 11.(23-24九上江西赣州大余县·期末)用合适的方法解下列方程： (1)x2-4x-5=0: (2)x(x-3)=3-x 12.(23-24九上江西吉安吉州区期末)解下列方程： (1)x2+3x+1=0(用公式法) (2)2x2-3x+1=0(用配方法) 13.(24-25九上江西吉安期末)2.(1)计算：sin30°-cos245°+V3tan30 (2)解方程：x2-2x-3=0 14.(24-25九上江西宜春期末)3.(1)解方程：x2-5x十6=0： (2)己知一条抛物线过点(1,3)，且顶点坐标为(2,1)，求该抛物线解析式. 15.(23-24九上江西赣州经开区·期末)4.（1)解方程：x2-6x=0: (2)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：△ACD∽△ABC. D 16.(23-24九上江西南昌进贤县文港初级中学期末)5.(1)解方程：x2一4x=0. 3/10 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)如图，己知∠BAC=30·,把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合. 求∠AEC的度数。 B D 17.(24-25九上江西赣州经开区期末考试期末)(1)解方程：x2-4x=0: (2)如图，已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠AED=∠B,AD=3,AB=8,AE=4, 求AC的长度. 18.(24-25九上江西宜春期末)(1)解方程：x2+5x-6=0; (2)如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为oO,有水部分弓形的高CD=2,水面宽度AB=4V2.求 截面⊙O的半径. 2 D 19.(24-25九上江西赣州章贡区期末)8.(1)解方程：x(x+1)=2(x+1). (2)如图，在△ABC中，D,B两点分别在AB,AC边上，DE‖BC,如果器-号，AE=6,求EC的 长 B D 20.(24-25九上江西赣州上犹县期末)9.(1)解方程：x2-6x-4=0: (2)如图，将△ABC以点C为旋转中心，逆时针旋转180°，得到△DEC,过点A作AFBE,交DE的 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 延长线于点F,求证：∠B=∠F. B 21.(24-25九上江西赣州瑞金期末)①解方程：x2-2x=3, ②如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AB的中点，连接DE,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转 90°得到△DCF,连接EF,求EF的长. 目目 考点04 一元一次方程的判别式判断根的情况 1.(24-25九上·江西赣州瑞金期末)下列方程中，有两个相等实数根的是（) A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2 2.(24-25九上江西赣州章贡区·期末)一元二次方程x2+x一2=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 3.(24-25九上·江西赣州大余县期末)若关于x的一元二次方程x2一4x+c=0有两个相等的实数根，则实 数c的值为() A.-16B.-4 C.4 D.16 4.(23-24九上江西九江第十一中学期末)小明准备完成题目：解一元二次方程x2-4x+口=0.若“o”表 示一个数字，且方程x2一4x+口=0有实数根，则o的值可能为() A.4 B.5 C.6 D.7 5.(24-25九上·江西宜春.期末)如果关于x的一元二次方程ac2-4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是 () A.k>-4 B.k≥-4且k≠0C.k>-4且k≠0D.k1 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(23-24九上江西赣州兴国县期末)关于x的一元二次方程x2一4x+2a=0有实数根，则a的值可以是_ (写出一个即可). 7.(23-24九上江西吉安峡江县·期末)已知关于x的一元二次方程2x2一4x+c=0有两个相等的实数根， 则c=】 8.(24-25九上江西吉安期末)己知：关于x的方程x2+kx一2=0， (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若方程的一个根是-1，求k的值， 9.(23-24九上江西赣州于都县期末)已知关于x的方程x2+2x十k一4=0. (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围： (2)若k=1,求该方程的根. 10.(24-25九上江西宜春·期末)已知关于x的方程x2+2x十m-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围： (2)当该方程的一个根为-3时，求m的值及方程的另一根， 11.(2425九上·江西赣州瑞金期末)已知K1,x2是关于x的方程x2-2kx十k2一k+1=0的两个不相等 的实数根 (1)求k的取值范围； (2)若k<4,且k,X1,X2都是整数，求k的值. 12.(2425九上江西宜春上高县期末)已知关于x的方程x2-(k+2)x+k=0. (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若Rt△ABC斜边长a=3,另两条边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 13.(23-24九上江西九江期末)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、 c分别为△ABC三边的长， (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果a=3,b=4,c=2,求这个一元二次方程的根. 目目 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1.(23-24九上江西吉安峡江县·期末)已知关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两根分别记为x1,x2, 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若x1=-1,则--的值为() A.7 B.-7 C.6 D.-6 2.(24-25九上江西吉安期末)已知a,b分别是方程x2+2x-5=0的两根，则a2+3a+b的值 为」 3.(24-25九上江西弋阳县期末)若一元二次方程x2-3x一1=0的两个根为x1,x2,则x1十X2-x1X2的 值为 4.(24-25九上江西宜春·期末)已知a,b是一元二次方程x2+3x-2=0的两根，则a2+2a-b的值 是 5.(23-24九上江西吉安吉州区·期末)已知关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为x1和 x2,则X12-2x1十x2的值为— 6.(23-24九上江西赣州大余县期末)若一元二次方程x2-4x+1=0的两根分别为x1,X2,则 X1十X2-2xX2的值为 7.(23-24九上江西南昌进贤县文港初级中学期末)设a,b是方程x2+x一2024=0的两个实数根，则 a2+2a+b的值为 8.(23-24九上江西九江都昌县·期末)设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根，则 X1+X2十X1X2= 目目 考点06 一元一次方程的判别式与根与系数的关系 1.(23-24九上江西赣州石城县期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根分别为，B,且+2B=5,求m的值 2.(23-24九上江西吉安吉州区·期末)已知关于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k+2=0有实数根. (1)求k的取值范围 (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x+x=6,求k的值， 3.(23-24九上江西赣州大余县期末)已知关于x的一元二次方程x2-ax十a-2=0 (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为x1和x2,且满足(81-1)(x2-1)=a2-2,求a的值。 4.(23-24九上江西南昌进贤县文港初级中学期末)已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程. 7/10 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根为x1,2,且x2+x22=10,求实数a的值 5.(23-24九上江西赣州经开区·期末)已知关于x的一元二次方程x2一4x+m=0, ()若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为X1、x2,且x1十x2十X1x2=1,求m的值. 6.(23-24九上江西南昌青山湖区期末)已知关于x的方程k2x2-2(k-1)x+1=0有两个实数根x1、x2 (1)求k的取值范围 (2)若x1、X2满足等式|x1十X2=5x1X2-1,求k的值 目目 考点07 一元一次方程的应用 1.(24-25九上江西赣州章贡区第三中学期末)某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方 米，2020年用水总量为5.265亿立方米.设该市用水总量的年平均降低率是x,那么x满足的方程是() A.6.51-x2=5.265 B.6.51+x2=5.265 C.5.265(1-x)2=6.5 D.5.265(1+x)2=6.5 2.(23-24九上江西吉安吉州区·期末)某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平 均增长率为x,根据题意可列方程」 3.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)某校建设校园农场.如图，该矩形农场长32m,宽20m,要 求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540m2,若 设道路的宽为xm,那么可列方程为 (化为一般形式). 32 4.(24-25九上江西赣州上犹县·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其 高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长 恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，可列方程为 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(23-24九上江西赣州石城县期末)又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售.已知每箱（小 箱)脐橙的成本是30元，如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到100箱.据市场调查，销售单 价每提高1元，日销售量将减少2箱. (1)若销售单价定为每箱x元(x>40),请用含x的式子表示日销售量； (2)要使每天销售这种脐橙盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 6.(24-25九上江西宜春期末)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划 投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元. (1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定 前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求 今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 7.(23-24九上·江西赣州于都县期末)某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶.市 场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶.设销售单价上涨x元，每天的利润为y元. (1)每天的销售量为 瓶，每瓶的利润为 元（用含x的代数式表示）· (2)若日销售利润达到300元，求x的值， (3)每天的销售利润能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由。 8.(24-25九上江西赣州瑞金期末)某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元.经 调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元 (1)降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的销售量为 件；（用含x的式子表示)》 (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价 多少元？ 9.(24-25九上江西赣州于都县期末)某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且 两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元.对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增 加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量. (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售， 10.(24-25九上江西赣州南康区·期末)某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023 年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件. (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件，为 9/10 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天 盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 10/10