专题01 特殊的平行四边形（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期北师大版

专题01 特殊的平行四边形 6大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质求解 考点02 菱形的性质与判定问题 考点03 利用矩形的性质求解 考点04 矩形的性质与判定问题 考点05 正方形的性质与判定问题 考点06 特殊的平行四边形中无刻度作图问题 地 城 考点01 利用菱形的性质求解 1．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质可得，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理．由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．注意菱形的对角线互相垂直平分． 【详解】解：如图． 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C 3．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形中，，点在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质；根据菱形的性质得出，进而可得是等腰直角三角形，进而求得的长，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 故选：A． 4．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握菱形的性质，中位线的判定和性质是关键． 根据菱形的性质得到，由点为的中点，为的中点，得到是的中位线，则，由即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ，，为的中点， 为的中点， 是的中位线， ， ， ． 地 城 考点02 菱形的性质与判定问题 1．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形    【答案】见解析 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。 【详解】证明：如图，   ， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键． 2．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再加上即可证明结论； 【详解】四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 又， ； ， 四边形是矩形， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 3．(24-25九上·江西吉安泰和·期末)如如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F （1）求证：AE=DF， （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）平行四边形AEDF为菱形；理由详见解析 【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF； （2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形． 【详解】（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四边形AEDF为菱形． 4．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明； （2）根据“菱形的对角线互相垂直”知，然后利用勾股定理可求得的长，最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案． 【详解】（1）∵ 四边形 是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）∵ 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形的周长． 5．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，推出四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴设，则 在中，由勾股定理，得：， ∴ ∴， ∴的长为． 6．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．    (1)求证：； (2)若．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证； （2）先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，交于点，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 7．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，的对角线相交于点O，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论； （2）连接，交于，由菱形的性质得，，，再由菱形的面积求出及长，然后由勾股定理得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接，交于，   四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， 即的长为． 8．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积； (3)在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2 【答案】(1)见解析 (2)米，平方米； (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形； （2）解方程可得、的长，用勾股定理可求，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积； （3）根据点、运动过程中与点的位置关系，分三种情况分别讨论． 【详解】（1）证明：平分，， ， 是等腰三角形，， 又， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：解方程，得，， ，， 利用勾股定理， ， ∴ 平方米． （3）解：在第(2)问的条件下，设、同时出发秒钟后，的面积， 当点在上时，， ， 解得 (大于2，舍去)； 当点在上且点在上时，， ， 整理得，，此时，， ∴原方程无解； 当点在上且点在上时，即， ， 整理得， 解得 (小于3，舍去)． 综上所述：，出发秒或秒钟后，△MON的面积为． 地 城 考点02 利用矩形的性质求解 1．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，△AOB是等边三角形，则AD的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先求得∠ACB=30°，再求出AB=4cm，由勾股定理求得AD的长． 【详解】∵△AOB是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∵AC＝8cm， ∴AB＝4cm， 在Rt△ABC中， cm， ∵AD＝BC， ∴AD的长为4 cm． 故选C． 2．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为 秒时，△MBN为等腰三角形． 【答案】或（6-2）或 【分析】分情况讨论：①点M在AB上，点N在BC上时，BM＝BN，列出方程其解即可；②点M在BC上，点N在CD上时，表示出BM、CM、CN，再根据勾股定理列式表示出MN2，然后根据BM＝MN列出方程求解即可；③点M、N都在C、D上时，表示出MN、CM，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM（或BN），然后根据BM＝MN（或BN＝MN）列出方程求解即可；④点M在AB上，点N在CD上时，根据等腰三角形的性质，CN＝BM，然后列式求解即可． 【详解】解：分情况讨论： ①如图1所示： 点M在AB上，点N在BC上时，t＜2，BM＝5﹣2t，BN＝t， ∵BM＝BN， ∴5﹣2t＝t， 解得t＝； ②如图2所示： 点M在BC上，点N在CD上时，2.5＜t＜3.5，BM＝2t﹣5，CM＝2﹣（2t﹣5）＝7﹣2t，CN＝t﹣2， 在Rt△MCN中，MN2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣5）2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， 整理得，t2﹣12t+28＝0， 解得：t1＝6﹣2 ，t2＝6+2（舍去）； ③如图3所示： 点M、N都在C、D上时，t＞3.5， 若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t， 此时BM2＝（2t﹣7）2+22， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解， 若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5， 此时BN2＝（t﹣2）2+22， ∵BN＝MN， ∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2， 整理得，t＝（不符合题意，舍去），； ④如图4所示： 点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2， 由等腰三角形三线合一的性质，CN＝BM， ∴t﹣2＝（5﹣2t）， 解得：t＝； 综上所述，当运动时间为或（6﹣2）或秒时，△MBN为等腰三角形． 故答案为或（6﹣2）或． 3．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，在矩形中，，，点E（不与点B重合）是边上一个动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，那么的长是 ． 【答案】或4或5 【分析】由题意可知，，，延长交于H，设，根据矩形的性质得到，，，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，，延长交于H， 设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或4． ∴或4． 当点F在边上时，四边形是正方形， ∴， 故答案为：或4或5． 4．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 ． 【答案】10 【分析】根据矩形和勾股定理的性质，得；根据平行四边形的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，BC＝3， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形CODE的周长， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形、平行四边形的整式；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理的性质，从而完成求解． 5．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为 ． 【答案】或或5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质并分三种情况进行解答．分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边 即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ①当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴底边 ； ②当时， ∵，， ∴ ， ∴底边 ； ③当时，底边； 综上所述：等腰三角形的对边长为或或； 故答案为：或或 6．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论： （1）当射线经过矩形的中点时，（2）当射线经过矩形的中点时，则，（3）当射线经过矩形的中点时，分别画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论： （1）当射线经过矩形的中点时，如图1所示． ∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， （2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2所示． ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， （3）当射线经过矩形的中点时，如图3所示． ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或或． 7．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在矩形中，，点分别在上，，点在矩形的边上，则当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】2或5或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论，以免漏解． 分三种情况： ①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵矩形 ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 分三种情况：①当时，如图，    ∵，点在矩形的边上， ∴点与点A重合， ∴； ②当时，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 综上，当为直角三角形时，的长为2或5或． 故答案为：2或5或． 8．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质． 先由矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【详解】解：四边形是矩形，对角线与交于点， ，，，， ∴． ． ，． ， ． ． 9．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)如如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F． (1)若，，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理，得出，再由折叠的性质，得到，，，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可求出的长； （2）由矩形的性质，得出，由折叠的性质，得到，由等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形， ，，， 在中，， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； （2）证明：矩形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 地 城 考点04 矩形的性质与判定问题 1．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件 使四边形是矩形．（写一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 理由是：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析 【分析】由，得，，由得(AAS)，得出，即证明四边形是平行四边形．由结合三角形外角性质，得出，从而得出，进而得，即证明平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 又∵为的中点， ∴ ∴(AAS)， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，四边形中，，对角线相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形可得、，然后结合可得即可证明结论； （2）先说明是等边三角形，可得,由矩形的性质得，，然后由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴..，     在中，由勾股定理得： ∴． 4．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2. 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 5．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，菱形中，与交于点，， ． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，连接，若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，再根据等量代换，得出，再根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质，得到，进而得出，再根据勾股定理，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ∴，， ∵是中点， ∴为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 7．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 定理证明：（1）如图①，在中，对角线和相等．求证：是矩形； 知识应用：（2）如图②，的对角线，交于点，点，在上，且，．求证：四边形是矩形； 拓展延伸：（3）如图③，在矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质解题是关键． （1）利用矩形的判定即可解答； （2）证明四边形是平行四边形，再利用，即可解答； （3）连接，由，，得出，再由，可得，推出，可求得． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 平行四边形为矩形； （2）证明：四边形为平行四边形， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； （3）解：如图3，连接， 矩形中，，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，即， ， ， ， ． 8．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)教材再现： (1)如图1，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)的周长是定值，定值为24 (3) 【分析】（1）如图1，记与的交点为O，连接，则，，根据，计算求解即可； （2）由四边形是矩形，可得，则，如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形，，由折叠的性质得：，则，，，，由勾股定理得：，，根据，即，可求的值，然后求周长即可； （3）由等边，可知，，如图3，连接，作于，可求，则，即，求的值，然后求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，记与的交点为O，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：的周长是定值，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴的周长是定值，值为24； （3）解：∵等边， ∴，， 如图3，连接，作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 地 城 考点05 正方形的性质与判定问题 1．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【答案】B 【详解】如图，连接BD， 由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC， ∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°， ∵∠BCM=∠BCD=45°， ∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°， ∴∠AMB=180°-∠BMC=60°， ∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上， ∴BM=DM， ∴∠AMD=∠AMB=60°， 故选B． 2．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，在正方形和正方形中，点D在上，点B、C、E在同一条直线上，，，H是的中点，连接，则的长是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，延长交于，则，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，，由H是的中点，，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于，    ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵H是的中点，， ∴， 故选：C． 4．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等只是点；熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①如图：连接交于O，根据对称性可知， ，再说明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，故，又因为，故，进而得到，即可判断①．②可用特殊值法证明，当点P与中点重合时，，，显然，可判定②；③先证明，得到，即，再结合即可判定③；④先说明当时，的值最小，此时A、P、C共线，再运用勾股定理求得、即可解答． 【详解】解：①如图：连接交于O．根据对称性可知，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．即①正确； ②当点P与中点重合时，，，显然；即②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即③正确； ④∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小，此时A、P、C共线， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 综上，正确的有①③④，共3个． 故选C． 5．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 6．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)已知正方形的边长为1，P为射线上的动点（不与点A重合），点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，求出的长，并证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第二种情况是当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，推出为等边三角形，证明是含有角的直角三角形，即可求出的长，即的长；第三种情况是当，且点E在的垂直平分线上时，证为等边三角形，求出，即可求出的长． 【详解】解：①如图1，当，且点P在射线上时，过点E作的垂线，分别交于点M，N，    由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ， ∴在中， ， ； ②如图2，当，且点P在线段的延长线上时，过点E作的垂线，交于N，交于M，    由题意知，为等边三角形， ， ， 在四边形中， ， ， ∴在中，， ； ③如图3，当，且点E在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，   ， 又， 为等边三角形， ， ， 在中，， 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 7．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握正方形的性质得到三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则有，即是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴． 8．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在正方形中，，点分别在上，，连接，为的中点，连接，并延长交于点． (1)求证：； (2)在图2中，当为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于点．证明．得到．由为的中点得到，则，得到，则．即可证明结论； （2）由为的中点，，得到．，在边上取一点，使．证明．设，由，得．勾股定理得到，即．解得．即，即可求出． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点． ∵四边形是正方形， ． 在与中， ． ． ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ ． ∴ （2）∵为的中点，， ，， 如图2，在边上取一点，使． ，即． ∵， ． 设，由，得． ，即．解得． 即， ． 9．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 【答案】探究：见解析；应用： 【分析】感知：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，即可得出结论； 探究：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； 应用：先求出，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】感知： 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 探究： 证明：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 应用： 解：由（2）知，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：． 10．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图（1）四边形是正方形，，点是上的一点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． 初步感知 (1)①当时，求点到边上的距离； ②当点是边上任意一点时，试判断的形状，并说明理由； 深入探究 (2)如图（1），当点是边上任意一点时，求的值． 延伸应用 (3)如图（2）当四边形是菱形时，，，旋转角时，则的值为_____ 【答案】(1)①1；②等腰直角三角形，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）①过点作的垂线，交延长线于点，接着证明，从而推导出，即可得到答案；②由，可以知道，推出，通过，得到，通过平行，得到，从而判定三角形的形状； （2）设，则，由（1）可得，和是等腰直角三角形，得到，，从而表示出，最后得到； （3）延长至，使得，连接，先证明，推导出，得到，接着推出，设，则，，作于，进而利用勾股定理表示出和，最后得到比值． 【详解】（1）解：①过点作的垂线，交延长线于点． ， 点到边上的距离1 ②               ， 是等腰直角三角形 （2）解：设，则，由（1）可得， 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 ， ， （3）解：延长至，使得，连接 ， ， 设，则，，作于 ， ， 故答案为：． 11．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）①②③④；（2），见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴； ， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④ （2）解：连接， 连接，并延长交于点， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，， ∴． 地 城 考点06 特殊的平行四边形中无刻度作图问题 1．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形． (2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，相交于点，则点为的中点，也是菱形的对角线交点，连接并延长交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，连接交于点，则为正方形的对角线，为的中点，也是正方形的对角线交点，连接并 延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，连接，相交于点，连接并延长交于点，连接，则点即为所求， 在矩形中，， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形．    （2）解：如图2所示，连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并 延长交于点，连接，则点即为所求， 四边形是矩形， ，，，，， 点为中点， ，， ，， 点为的中点， ， 在中，，在中，， ，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是正方形．    2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，在菱形中，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，若，在上作一点，使； (2)在图2中，过点作边上的高． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，交于点，点即为所求； （2）连接菱形对角线交于点，连接并延长，交于F，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； 连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，即为所求； 3．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图，四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图（1）中，E，F分别是，的中点，以为边作一个矩形． (2)在图（2）中，E是对角线上一点，，以为边作一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点G，连接，延长交于H，连接，，即可； （2）连接交于点O，延长交于点Q，连接，延长交于点P，连接交于点F，连接，即可． 【详解】（1）解：如图：连接，交于点O，连接，延长交于点G，连接，延长交于H，连接，，，四边形即为所求作的矩形， 证明：四边形是菱形， ，点O是，的中点，，， 又，F分别是，的中点， ，， 四边形与都是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：连接交于点O，延长交于点Q，连接，延长交于点P，连接交于点F，连接，，四边形即为所求作的菱形， 四边形是菱形， ，，， ，垂直平分， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 垂直平分， 四边形是菱形． 4．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的边上的中线； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，，作点与、交点的线段并延长至线段交于点，连接即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【详解】（1）如图1，即为所作 （2）如图2，四边形即为所作 5．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，已知菱形请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． (1)在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M；    (2)在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，连接，则，的交点为三条中线的交点，连接并延长交于即可； （2）如图，连接交于，连接并延长交于，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点M即为所求； ． （2）如图2，即为所求． ． 6．(24-25九上·江西吉安·期末)在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，分别按要求作图． (1)如图，在边上求作一点，连接，使得； (2)如图，在边上求作一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，连接并延长交于点，利用正方形的性质，先证明 得到，然后证明 ，从而得到； （2）连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，利用正方形的性质，先证明 得到，则，则可判断四边形为平行四边形，所以． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接并延长交于点， 则为所作； 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ， ∴； （2）如图，连接、，它们相交于点，连接并延长交于点， 则为所作． 证明：∵四边形是正方形，对角线交于点， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，是菱形的对角线，过点作，交的延长线于点．请用无刻度的直尺按要求画出图形，保留作图痕迹． (1)在图中画出的中线； (2)在图中画出的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）只需要连接交于M，连接，则即为所求； （2）连接，交于O，连接交于G，连接并延长交于N，连接，则即为所求. 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； 连接交于M，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 连接，交于O，连接交于G，连接并延长交于N，连接， 由（1）得，即C是的中点， ∵四边形是菱形， ∴是的中点， ∵三角形三条中线交于一点， ∴N是的中点， ∴，即是的高． 8．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 故作直线，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即P为的中点， 则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N， 则点N即为所求． 9．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （2）解：点即为所求， 10．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)0．如图是正方形网格，已知格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为一边，作菱形，并使为钝角； (2)在图2中，以为对角线，作正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形、正方形的判定，勾股定理等知识．熟练掌握菱形、正方形的判定是解题的关键． （1）A点向上2个格点，向左1个格点为D，B点向上2个格点，向左1个格点为C，连接，则为钝角，，则四边形是菱形； （2）A点向上3个格点，向右1个格点为D，A点向下1个格点，向右3个格点为C，连接，则，则四边形是菱形，连接，则，则菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，菱形为所求； （2）如图所示，正方形为所求． 11．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度线的直尺作图、中位线定理，全等三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，延长和交于点，由题意得，，所以，所以； （2）连接对角线和交于，连接，因为为的中点，为中点，所以，，又因为，所以，，，即． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊的平行四边形 6大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质求解 考点02 菱形的性质与判定问题 考点03 利用矩形的性质求解 考点04 矩形的性质与判定问题 考点05 正方形的性质与判定问题 考点06 特殊的平行四边形中无刻度作图问题 地 城 考点01 利用菱形的性质求解 1．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 3．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形中，，点在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 地 城 考点02 菱形的性质与判定问题 1．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形    2．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 3．(24-25九上·江西吉安泰和·期末)如如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F （1）求证：AE=DF， （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 4．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 5．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． (1)连接．说明四边形为菱形； (2)求的长． 6．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．    (1)求证：； (2)若．求证：四边形是菱形． 7．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，的对角线相交于点O，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积是，求的长． 8．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积； (3)在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2 地 城 考点02 利用矩形的性质求解 1．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，△AOB是等边三角形，则AD的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．4 D．3 2．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为 秒时，△MBN为等腰三角形． 3．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，在矩形中，，，点E（不与点B重合）是边上一个动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，那么的长是 ． 4．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 ． 5．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为 ． 6．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为 ． 7．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在矩形中，，点分别在上，，点在矩形的边上，则当为直角三角形时，的长为 ．    8．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    9．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)如如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F． (1)若，，求的长． (2)若，求证：． 地 城 考点04 矩形的性质与判定问题 1．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图，已知四边形是平行四边形，请补充一个条件 使四边形是矩形．（写一个即可）    2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，四边形中，，对角线相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长 4．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    5．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，菱形中，与交于点，， ． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，连接，若，求长． 6．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 7．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 定理证明：（1）如图①，在中，对角线和相等．求证：是矩形； 知识应用：（2）如图②，的对角线，交于点，点，在上，且，．求证：四边形是矩形； 拓展延伸：（3）如图③，在矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 8．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)教材再现： (1)如图1，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积． 地 城 考点05 正方形的性质与判定问题 1．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A．75° B．60° C．54° D．67.5° 2．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，在正方形和正方形中，点D在上，点B、C、E在同一条直线上，，，H是的中点，连接，则的长是（    ）    A．2 B． C． D． 4．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    6．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)已知正方形的边长为1，P为射线上的动点（不与点A重合），点A关于直线的对称点为E，连接、、、．当是等腰三角形时，的长为 ．    7．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 8．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图，在正方形中，，点分别在上，，连接，为的中点，连接，并延长交于点． (1)求证：； (2)在图2中，当为的中点时，求的值． 9．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 10．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图（1）四边形是正方形，，点是上的一点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． 初步感知 (1)①当时，求点到边上的距离； ②当点是边上任意一点时，试判断的形状，并说明理由； 深入探究 (2)如图（1），当点是边上任意一点时，求的值． 延伸应用 (3)如图（2）当四边形是菱形时，，，旋转角时，则的值为_____ 11．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 地 城 考点06 特殊的平行四边形中无刻度作图问题 1．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形． (2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，在菱形中，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，若，在上作一点，使； (2)在图2中，过点作边上的高． 3．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图，四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图（1）中，E，F分别是，的中点，以为边作一个矩形． (2)在图（2）中，E是对角线上一点，，以为边作一个菱形． 4．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，在矩形中，，分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的边上的中线； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 5．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，已知菱形请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． (1)在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M；    (2)在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高．    6．(24-25九上·江西吉安·期末)在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，分别按要求作图． (1)如图，在边上求作一点，连接，使得； (2)如图，在边上求作一点，连接，使得． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，是菱形的对角线，过点作，交的延长线于点．请用无刻度的直尺按要求画出图形，保留作图痕迹． (1)在图中画出的中线； (2)在图中画出的高． 8．(24-25九上·江西吉安泰和县·期末)如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得 9．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 10．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)0．如图是正方形网格，已知格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为一边，作菱形，并使为钝角； (2)在图2中，以为对角线，作正方形． 11．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $