九年级上册 第1章 第3课时菱形的性质与判定(3)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第3课时 菱形的性质与判定(3) 新课学可 ● 菱形的面积 几何语言：如图，菱形ABCD的面积=△ABD的面积十△ 的面积，即S菱形ABCD =2BD·A0 BDC 十 )= BD. 归纳总结：菱形的面积=底×高 知识点①)菱形的面积 例1中国结象征着中华民族的历史文化与精神. 变式1如图，菱形ABCD的边长为6cm,对角 利用所学知识将中国结抽象成如图所示的菱形 线AC,BD交于点O,∠BAD=60°. ABCD,测得AD=13cm,AC=24cm,AC,BD(1)求对角线AC,BD的长； 交于点O.直线EF⊥AB交两对边于E,F. (2)求菱形的面积. (1)求菱形ABCD的面积； (2)求菱形的高EF的长. 知识点②菱形的性质和判定 例2如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=CD,对角线AC,BD交于点O,过点C作CE⊥AB交 AB的延长线于点E,且∠ABO=∠ACE,连接OE, (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=2√10，BD=4,则CE的长为 ●》6《● 第一章特殊平行四边形 变式2如图，在□ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于F,分别以F,B为圆心，大 于号BF长为半径画弧，两弧交于点G,作射线AG交BC于点E,BF=6,AB=5,求AE的长. 课堂检列 ● 迟基础过关 2.如图，菱形ABCD的周长是20，BD=6,DH⊥ 1.已知□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 BC,垂足为H,则AC= ,菱形ABCD的 O.若AC⊥BD,则下列结论中一定成立的是 面积是 DH= A.AC=BD B.AB=BC C.∠BAD=90° D.AB=√2AO 能力检测 3.如图，将两条宽度相同的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形ABCD是菱形吗？说明理由. 若纸条的宽度都为3cm,∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积. ●7●高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 在△DBE和△FCE中， 【变式2】证明：.AD∥BC 高效课堂 ∠BED=∠CEF, ∴.∠EAO=∠FCO. ∠B=∠C, 又EF为AC的垂直平分线， DE-EF, ∴AC⊥EF,AO=OC, （上)第一章特殊平行四边形 .△DBE≌△FCE,.BE=CE. 即∠AOE=∠COF=90°」 第1课时菱形的性质与判定(1) (2)解：DF∥BC.理由如下： .△FOC≌△EOA,∴.AE=FC 【新课学习】 如答图，连接AE, .四边形AFCE为平行四边形. 1.有一组邻边相等 :四边形ADEF 又AC⊥EF,.四边形AFCE是菱形 特殊 平行四边形 是菱形， 【例3】菱四条边都相等的四边形是菱形 2.(1)相等 ∴.AE⊥FD (2)互相垂直平分一组对角 课堂检测] .AB=AC,BE=CE (3)轴对称 1.D2.AC⊥BD ∴.AE⊥BC,.DF∥BC AB-BC-CD-AD 3.解：四边形ABCD是平行四边形 4.(8,4) AC⊥BD,∠BAO=∠DAO, ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 5.证明：如答图，连接AC ∠ABO=∠CBO, ,'AC平分∠DAB, 四边形ABCD是 ∠ADO=∠CDO,∠BCO=∠DCO ∴.∠DAC=∠BAC 菱形，∴.AB=BC 【例1】(1)4050 .∠BCA=∠BAC,∴.AB=BC AD=CD, (2)解：：四边形ABCD是菱形， ,□ABCD中AB=BC, ,∠B=∠D=60°， :∴D0=B0=号BD=5(cm), .四边形ABCD是菱形， ∠BCD=120°， .四边形ABCD的周长为4AB=12cm. AC=2OC,AC⊥BD, ,∴.△ABC,△ACD是等边三角形， 4.证明：(1)：DE∥AB,EF∥AC, 在Rt△COD中，由勾股定理，得OD+ ∴.∠BAC=∠ACD=60°，AC=AB= 四边形ADEF是平行四边形， CD,.BE-AF,.'.AE-DF, OC=CD, ∠ABD=∠BDE,∴.AF=DE, 在△ACE与△DCF中， .0C=√CD2-0D=√132-5=12， .'BD是△ABC的角平分线， AE-DF. .OC=12cm,∴AC=24cm. ∴∠ABD=∠DBE, ∠BAC=∠D,.△ACE≌△DCF, 【变式1】 .∠DBE=∠BDE, AC-CD, 解：(1)四边形ABCD是菱形， .BE=DE,∴.BE=AF ∴.EC=FC,∠ACE=∠DCF, ∴∠ADC=2∠CDO, (2):△ABC是等边三角形，BD是 ,∠DCF+∠ACF=60°， ∠ABC=∠ADC,DB⊥AC, △ABC的角平分线， ∴.∠ACE+∠ACF=60°， ∴.∠DOC=90°， .∠C=60°，AD=CD,BD⊥AC 即∠ECF=60°，△ECF是等边三角形. .∠ACD=30°，∴.∠CDO=60°， .∠BDC=90°， ∴.∠ABC=∠ADC=2∠CDO=120°. 由(1)知∠DBE=∠BDE=90-∠C= (2)四边形ABCD是菱形，BD=6, 第2课时 菱形的性质与判定(2) 30°，∴∠CED=60°， .DO=BO=3. 【新课学习： ∴△DCE是等边三角形， ∠DOC=90°，∠OCD=30°， 有一组邻边相等互相垂直平行四边 .'DE=CD-AD. .DC=2DO=6. 形四边相等的 四边形ABCD是平行 :由(1)知四边形ADEF是平行四边 ∴.四边形ABCD的周长为4×6=24. 四边形，AC⊥BDAB=BC=CD=AD 形，.四边形ADEF是菱形 【例2】证明：，四边形ABCD是菱形， 【例1】证明：：AB∥CD,AB=CD, 5.证明：∠ACB=90°， .AD=CD,∠ADB=∠CDB, .四边形ABCD是平行四边形 AE平分∠BAC,EH⊥AB, 又DE=DE, 又：∠1=∠2，.AB=AD. .CE-EH. ∴.△ADE≌△CDE,.AE=CE .□ABCD是菱形 在Rt△ACE和Rt△AHE中， 【变式2】 【变式1】证明：四边形ABCD是平行四 AE-AE,CE-EH, 证明：：四边形ABCD是菱形，.AB∥ 边形，∠B=∠D. .Rt△ACE≌Rt△AHE,∴.AC=AH, CD,CB=CD,∠ACB=∠ACD, AE⊥BC,AF⊥CD, :AE平分∠CAB, ,在△BCE和△DCE中， ∴∠AEB=∠AFD=90° ∴∠CAF=∠HAF, CB-CD, 在△ABE和△ADF中， .△CAF≌△HAF(SAS), ∠ACB=∠ACD, ∠B=∠D, .∠ACD=∠AHF CE-CE, ∠AEB=∠AFD, ,∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°， ∴.△BCE≌△DCE,.∠CBE=∠CDF AE=AF, ∴.∠ACD=∠B,.∠B=∠AHF, AB∥CD,∠AFD=∠CDF, ,.△ABE≌△ADF(AAS),'.AB=AD, .FH∥CE,易证CF∥EH, .∠AFD=∠CBE. .□ABCD是菱形 .四边形CFHE是平行四边形， 【例2】证明：四边形ABCD是平行四边 又，CE=HE 【课堂检测】 ∴.平行四边形CFHE是菱形. 1.C2.2cm 形，0C=AC=2,0D=BD=1, 3.(1)证明：四边形ADEF是菱形， DC8=(5)2=5. 第3课时 菱形的性质与判定(3) ∴.DE=EF,AB∥EF,DE∥AC, 又OD=1,OC=22=4, ∴.∠C=∠BED,∠B=∠CEF, 【新课学习】 ∴.OD2+OC=DC2, AB=AC,∠B=∠C, .∠DOC=90°，即AC⊥BD, BCD- BD·C0A0C0AC .∠BED=∠CEF. ∴.口ABCD是菱形. 对角线乘积的一半 2 参考案 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形， ,纸条的宽度相同，∴AE=AF +AE=BE, ACLBD,BD-2D0,AO-CO-AC .AE⊥BC,AF⊥CD, 即32+x2=(9一x)2,解得x=4, ∴.∠AEB=∠AFD=90° .AE=4,.DE=5. =12,,AD=13,AO=12, 在△ABE和△ADF中， (2)四边形EBFD是菱形.理由： ∴.D0=√132-12=5，.BD=10. ∠ABC=∠ADC, ,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∴菱形ABCD的面积为2×ACXBD= ∠AEB=∠AFD, .∠BFE=∠DEF, AE-AF, ,∠BEF=∠DEF, ×10X24=120(cm2). ∴.△ABE≌△ADF(AAS),.AB=AD. .∠BEF=∠BFE,∴.BF=BE, (2):四边形ABCD是菱形， 四边形ABCD是平行四边形，AB= ,ED=BE,∴BF=DE. ∴.AB=AD=13, AD,.□ABCD是菱形 又BF∥ED,.四边形EBFD是平行 ∴菱形ABCD的面积为ABXEF=120, 设BE=xcm,在Rt△ABE中， 四边形，BE=BF,.平行四边形 ·EF=120 13cm. ∠ABC=60°，则AB=BC=2xcm, EBFD为菱形， 【变式1】解：(1)，四边形ABCD是菱形， 由勾股定理，得4x2=x2十3，x=√3， (3)如答图，连接BD,在Rt△ADB中 ∴.S菱形Bcm=BC·AE=2V3X3=6√3 根据勾股定理得AB十AD=BD, ∴.AB=BC=CD=AD=6cm,AC⊥BD .BD=310 OB-OD,OA=OC, (cm). ∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=6cm,∴.OB=3cm. 第4课时矩形的性质与判定(1) 在Rt△AOB中，OA=√AB-OB 【新课学习 答图 √62-32=3√3(cm), 1.一个直角 ∴AC=20A=2X3√3=6√3(cm). 2.①直角相等斜边的一半. :菱形EBFD的面积为2 BD·EF (2S=号BD·AC=号×6X6B= ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° DE·AB. -×3√/10·EF=5×3, AC-BD CD-AB 18√3(cm2). ∴.EF-=/10. 【例2】(1)证明：：CE⊥AB, 【例1】解：(1)四边形ABCD是矩形， ∴∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90, ∴.AC=2OC=10=BD,∠BAD=90°， 第5课时 矩形的性质与判定(2) :∠ABO=∠ACE,∴∠ABO+∠BAO= :AD=6,AB=√BD-AD=8, 汇新课学可 90°，∠AOB=90°，.AOLOB, .BD=10,AB=8. 1.有一个角是直角2.对角线相等 :AB∥CD,AB=CD,∴.四边形ABCD (2)AD=6,AB=8, 3.有三个角是直角 是平行四边形，又：ACLBD,∴平行四边 .矩形的面积为AD×AB=48. 【例1】证明：，四边形ABCD是平行四边 形ABCD是菱形， 【变式1】解：：四边形ABCD是矩形， 形，.AB=CD,AB∥CD (2号 .∠DAB=90°，AC=BD, .∠A+∠D=180, .点M是AD的中点，.AM=DM, 【变式2】解：如答 OA-OC-AC,OB-OD-BD. 图，设AE交BF .OB=OC..·∠BOC=120°， 又BM=CM, ∴.△ABM≌△DCM(SSS), 于点O,连接EF ∴∠0BC=∠0CB=号(180°-120)=30 .∠A=∠D=90°， 四边形ABCD .AC=2AB=2×4=8. ,平行四边形ABCD是矩形 是平行四边形， 【例2】13 【变式1】解：四边形BEDF是矩形， 由作图可知：AB=AF,∠FAE=∠BAE, 理由：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∠EAF=∠AEB, 【变式2】解：∠ACB=90°，E是边AB .AB=CD,BC=AD,AB∥CD,AD∥ .∠BAE=∠AEB,.AB=BE=AF, 的中点，CE=AE=合AB, BC.AF=CE,AB=CD, :AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边 .∠A=∠ECA=25°， ∴.AB-AF=CD-CE,即BF=DE, 形，.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形， ∴.∠DEC=∠A+∠ECA=50° :BF∥DE, ∴OA=OE,OB=OF= BF=3, ,CD⊥AB,.∠CDE=90°， ∴四边形BEDF为平行四边形， 在Rt△AOB中，∠AOB=90°， ∴.∠DCE=90°- ∠DEC=40°. 又，BE⊥CD,.∠BED=90°， .平行四边形BEDF为矩形 .OA=√AB-OB=√52-3=4， 课堂检测 【例2】证明：口ABCD的对角线AC,BD ..AE=20A=8. 1.B2.157.5 153 3.5 相交于点O,.AC=2AO,BD=2BO. 【课堂检测 4.证明：在矩形ABCD中， :△OAB是等边三角形.∴.OA=OB 1.B2.824 4.8 AD∥BC,.AD∥CE. AC=BD,∴.□ABCD是矩形. 3.解：四边形ABCD是菱形.理由： .AC∥DE, 【变式2】证明：，∠DOC=∠1+∠2 如答图，过点A作 .四边形ACED是平行四边形. ∠DOC=2∠2，.∠1=∠2.∴.OB=OC. AE⊥BC于点E,AF ∴.AC=DE.在矩形ABCD中，AC= 又·四边形ABCD是平行四边形， ⊥CD于点F, BD,∴.BD=DE :AD∥BC,AB∥ OB=号BD,OC=合AC 5.解：(1)，四边形ABCD是矩形， DC.四边形ABCD ∠A=90°， .BD=AC,.□ABCD是矩形 是平行四边形， 设AE=x,则BE=DE=9-x, 【课堂检测】 .∠ABC=∠ADC. 在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AB 1.A2.C 3