专题01 一元二次方程（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程定义及一般式 考点02 一元二次方程的根求参数 考点03 解一元二次方程 考点04 一元一次方程的判别式判断根的情况 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 一元一次方程的判别式与根与系数的关系 考点07 一元一次方程的应用 地 城 考点01 一元二次方程定义及一般式 1．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二． 【详解】解：A、是二元一次方程，故A错误； B、是一元一次方程，故B错误； C、属于一元二次方程，故C正确； D、是分式方程，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．(24-25九上·江西弋阳县·期末)下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知“只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程”． 【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、，即，是一元二次方程，符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3．(24-25九上·江西萍乡·期末)下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可． 【详解】A、将方程整理，得，是一元二次方程，故正确； B、不是整式方程，故错误； C、若，则就不是一元二次方程，故错误； D、将方程整理，得，是一元一次方程，故错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有3个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 4．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 5．(24-25九上·江西赣州龙南·期末)将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，5，1 B．3，5，-1 C．3，-5，-1 D．3，-5，1 【答案】D 【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论． 【详解】解：可化为， ∴a=3，b=-5，c=1． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键． 6．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)把方程化成一般式得，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵把方程化成一般式得， ∴ ∴． 故答案为：3． 7．(24-25九上·江西萍乡·期末)一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 ． 【答案】2 【分析】先确定一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3，计算它们的和即可． 【详解】因为一元二次方程的一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3， 所以， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练掌握中二次项系数为a，一次项系数是b，常数项是c是解题的关键． 地 城 考点02 一元二次方程的根求参数 1．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)若是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．(24-25九上·江西宜春·期末)若是方程的一个根，则的值是（　　） A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得，求出m的值即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得， 故选：D． 3．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把一元二次方程的解代入一元二次方程即可得出a的值． 【详解】解：把代入， 得： 故答案为：． 4．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)如关于x的方程的一个根是，则另一个根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．先把代入原方程即可解出a的值，再解方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， ∴原方程为， ， ∴或， 解得或， 故答案为：3． 5．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)已知是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 解一元二次方程 1．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)通过一元二次方程配方后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 2．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3．(24-25九上·江西宜春·期末)用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 4．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法； （1）根据配方法，得，从而完成求解； （2）先去括号，再根据因式分解法求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1） ∴ ∴ ∴ （2） ∴ ∴ ∴ ． 5．(24-25九上·江西弋阳县·期末)解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 6．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)（1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，中心对称的特征，求不等式组的解集． （1）用因式分解法求解即可； （2）判断在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：（1）， ， ∴或， ，； （2）据题意，可得在第二象限， ， 解得． 7．(24-25九上·江西萍乡·期末)（1）解方程：； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，比的性质，掌握因式分解法，由比的性质得到，是解题的关键． （1）运用因式分解法求一元二次方程即可； （2）运用比的性质设，则，代入计算可得，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）， 等式右边提取公式得，， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，； （2）∵， ∴设， ∴， ∴，整理得， 解得，， ∴， ∴． 8．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)（1）解方程：； （2）如图，已知D，E分别是的边上的点，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了解一元二次方程和相似三角形的判定与性质，熟练掌握一元二次方程的解法和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．(24-25九上·江西宜春·期末)（1）解方程：； （2）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高，水面宽度．求截面⊙O的半径． 【答案】（1），  （2） 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）连接，设的半径为，则，，然后根据列方程解题即可． 【详解】解：（1） 解得，； （2）连接， 设的半径为，则，， 在中，，即， 解得：． 10．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)（1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：（1）， 移项，得：， 因式分解，得：， 得：或， 解得：，； （2）∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． 11．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)（1）解方程： （2）如图所示，为的直径，弦于点，若，，求的长度． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的方法及垂径定理是解题的关键． （1）根据因式分解法解方程； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理求出的长度． 【详解】解:（1） ∴，或   解得，； （2）解：连接，如图． ， ∵直径， ．   ． 12．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)（1）解方程：； （2）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点A作，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，旋转的性质，平行的性质，熟练掌握接一元二次方程是解题的关键． （1）根据公式法进行计算即可； （2）根据旋转的性质得到，再由平行的性质得到，通过等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，，（解法不唯一） （2）证明：由旋转的性质得：， ，    ．（证法不唯一） 13．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)（1）解方程：； （2）如图，已知点A，B，C是上三点，且于点，若半径，，求弦长．    【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理等； （1）进行因式分解为的形式可得或，即可求解； （2）连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 能根据方程的不同形式选择恰当的方法，并能熟练利用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：（1）， 或， ，； （2）连接，   ，， ，， ， ， ， ． 14．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)①解方程：． ②如图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长． 【答案】①，② 【分析】①利用因式分解法解方程即可； ②先由正方形的性质得出，，运用勾股定理列式，结合旋转性质得，，然后结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，， ，； 四边形正方形， ，， 为的中点， ， ， 又绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质以及勾股定理，旋转性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 地 城 考点04 一元一次方程的判别式判断根的情况 1．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键． （1）根据判别式即可求出答案； （2）根据m的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）为正整数，且， ， 当时，方程为， 解得：，． 5．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为2 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据判别式，即可解答； （2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 即 解得，； （2）解：， ， 为整数， 整数的值为2、3， 当时，方程为， 解得，， 当时，此时方程解不为整数， 综上所述，的值为2． 6．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，则的值为______； (2)若方程有相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键． （1）将代入一元二次方程，即可求出的值； （2）根据“方程有相等的实数根”可得，再结合二次项系数，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程的一个根为， ， 解得：； （2）解：根据题意，可得且， 解得：． 7．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解． 8．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)已知关于x的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， （负值已舍）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 地 城 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)一元二次方程的两根之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系知， 若方程的两根为，，则， 一元二次方程为， 两根之和为：， 故答案为：． 2．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)设x1、x2是方程x2−mx=0的两个根，且x1+x2=−3，则m的值是 ． 【答案】-3 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=m，结合x1+x2=-3可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2−mx=0的两个根， ∴x1+x2=m． ∵x1+x2=-3， ∴m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 3．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)若，是一元二次方程的两根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)若为方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程解的定义可得，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·江西弋阳县·期末)若一元二次方程的两个根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 地 城 考点06 一元一次方程的判别式与根与系数的关系 1．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)关于的一元二次方程． (1)试判断该方程根的情况； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）根据求出即可． 【详解】（1）解：， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得， ， ， 解得：． 2．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，设方程的两根分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解不等式求出k的取值范围即可； （2）把代入方程，求出，，进而求出的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围为； （2）解：当时，方程为， 解得，， 则． 3．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解∶ ∵， ∴． 4．(24-25九上·江西宜春·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程 （填“是”或“不是”）“三倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2)12 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了因式分解法解方程． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值； （3）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：解方程得，， 所以是“三倍根方程”； （2）设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 解得， ∴； （3）设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 即，， ∴． 地 城 考点07 一元一次方程的应用 1．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为 （化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 2．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺； 斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少? 设门对角线的长为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用即勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的性质，列方程求解．设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，故门对角线长为x尺． 根据勾股定理得， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西弋阳县·期末)如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 【答案】上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是，设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为，根据题意可得，进而求解即可． 【详解】解：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也是，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ． 设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为．由题意得： ． 整理，得． 解方程，得或， 又，， ， ． ∴上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为． 4．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设施基地．据了解，当年3月份该基地接待参观人数万人，5月份接待参观人数增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，解题的关键是根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为； （2）解：（万人）， 答：六月份的参观人数为万人． 5．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． (1)降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键． （1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解． （2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程． 【详解】（1）解：每件玩具降价x元， 每件玩具的利润为元，销量为件． 故答案为：；． （2）（2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ． 答：每件玩具应降价元． 6．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 【答案】(1)空调的下降率为 (2)空调应按照元销售 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）根据题意，设降价率为，运用一元二次方程与增长率的关系列式计算即可求解； （2）设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为， ∴，则， ∴， 解得，或， ∵是降价， ∴，即空调的下降率为． （2）解：设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴下降了个元，即下降了元，则（元）， ∴空调应按照元销售． 7．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为亿元． (1)求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率； (2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)能超过 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）可得2024年利润为元，进而可求解； （2）2025年的利润为，求出进行比较，即可求解； 掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为，由题意得 ， 解得：，（舍去）， 答：企业从2022年到2024年利润的年平均增长率为； （2）解：由题意得 （亿元）， ， 企业2025年的利润能超过亿元． 8．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低27元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【详解】（1）设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01一元二次方程 ☆7大高频考点概览 考点01一元二次方程定义及一般试 考点02一元二次方程的根求参数 考点03解-元二次方程 考点04一元一次方程的判别试判断根的情况 考点05一元二次方程的根与系数的关系 考点06一元一次方程的判别试与根与系数的关系 考点07一元一次方的应用 目目 考点01 一元二次方程定义及一般式 1.(2425九上·江西赣州兴国县第五中学期末)下列方程中属于一元二次方程的是() A.x+y=0 B.x-3=0 C.x2-2x=0 D.是=3 2.(24-25九上江西弋阳县·期末)下列方程中，是一元二次方程的是() A.x3+2x=0B.x(x-3)=0C.是-x2=1 D.y-x2=4 3.(24-25九上·江西萍乡·期末)下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.3(x+1)2=2(x+1) B.是+最-2=0C.ax2+bx+c=0D. x2+2x=x2+1 4.(24-25九上江西赣州南康区·期末)将一元二次方程x(x一3)=25化成一般形式正确的是() A.x2-3x-25=0 B.x2+3x+25=0C.x2-3x+25=0D. x2+3x-25=0 5.(24-25九上江西赣州龙南期末)将方程3x2+1=5x化成ax2+bx+c=0的形式，则a,b,c的值分 别为() A.3,5,1 B.3,5,-1 C.3,-5,-1 D.3,-5,1 6.(24-25九上江西赣州于都县期末)把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式得x2-bx+10=0,则b 的值为 7.(24-25九上·江西萍乡·期末)一元二次方程x2+4x-3=0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是」 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 ·元二次方程的根求参数 1.(24-25九上·江西宜春上高县·期末)若x=m是方程x2+2x-1=0的一个根，则2m2+4m-3=(） A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(24-25九上江西宜春期末)若x=-1是方程x2+mx+5=0的一个根，则m的值是() A.3 B.4 c.-5 D.6 3.(24-25九上江西赣州安远县期末)若关于x的一元二次方程x2一2x十a=一1有一个根为x=0,则a 的值为， 4.(2425九上江西赣州经开区期末考试期末)如关于x的方程x2一2x一a=0的一个根是-1，则另一个 根是 5.(24-25九上江西南昌第五中学实验学校期末)己知x=3是一元二次方程x2+mx十n=0的一个根，则 3m+n= 目目 考点03 解一元二次方程 1.(24-25九上江西赣州上犹县·期末)通过一元二次方程x2一6x+3=0配方后变形正确的是() A.(x-3)2=6 B.(x-3)2=9 C.(x+3)2=6 D.(x+3)2=9 2.(24-25九上江西赣州安远县期末)用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后正确的是（) A.(x+2)2=3B.x+2)2=17C.x-2)2=5 D.x-2)2=17 3.(24-25九上江西宜春·期末)用配方法解方程x2+2x一1=3时，配方结果正确的是() A.(x+1)2=5 B.(x+1)2=3 C.(x+2)2=2 D.(x+2)2=3 4.(24-25九上江西赣州大余县·期末)用适当的方法解下列方程 (1)x2+x-1=0 (2)x(x-2)+x-2=0 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25九上江西弋阳县期末)解下列一元二次方程 (1)x2-4x-5=0 (2)(x-4)2=10(x-4) 6.(24-25九上江西赣州于都县期末)(1)解方程x2+2x-3=0: (2)己知点A(2m-4,3m)关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围. 7.(24-25九上江西萍乡期末)(1)解方程：(x-3)=2x-6; (2)已知号=号=聋，且2a+b+2c=-30,求a+b+c的值. 8.(24-25九上江西赣州经开区期末考试期末)(1)解方程：x2-4x=0: (2)如图，已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，∠ABD=∠B,AD=3,AB=8,AE=4, 求AC的长度. B 9.(24-25九上江西宜春期末)(1)解方程：x2+5x一6=0； (2)如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O,有水部分弓形的高CD=2,水面宽度AB=4√2.求 截面⊙0的半径. D 10.(24-25九上江西赣州章贡区期末)(1)解方程：x(x+1)=2(x+1). (2)如图，在△ABC中，D,E两点分别在AB,AC边上，DE‖BC,如果号=号，AE=6,求EC的 长 3/8 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B 11.(24-25九上·江西宜春上高县期末)(1)解方程：2x2-3x=0 (2)如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H,若AB=10,CD=8,求OH的长度. O H 12.(24-25九上江西赣州上犹县期末)(1)解方程：x2-6x一4=0； (2)如图，将△ABC以点C为旋转中心，逆时针旋转180°，得到△DEC,过点A作AFBE,交DE的 延长线于点F,求证：∠B=∠F, B E 13.(24-25九上江西赣州安远县期末)(1)解方程：x2+2x一3=0： (2)如图，已知点A,B,C是⊙O上三点，且OA⊥BC于点D,若半径OA=3,AD=1,求弦BC长. D C 14.(24-25九上江西赣州瑞金期末)①解方程：x2-2x=3. ②如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AB的中点，连接DE,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转 90°得到△DCF,连接EF,求EF的长 4/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 目目 考点04 元一次方程的判别式判断根的情况 1.(2425九上江西赣州瑞金期末)下列方程中，有两个相等实数根的是() A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2 2.(24-25九上江西赣州章贡区·期末)一元二次方程x2+x一2=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 3.(2425九上江西赣州大余县期末)若关于x的一元二次方程x2一4x十c=0有两个相等的实数根，则实 数c的值为() A.-16 B.-4 C.4 D.16 4.(24-25九上江西赣州经开区期末考试期末)已知关于x的一元二次方程mx2一-4x+2=0有两个不相等 的实数根 (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根. 5.(24-25九上江西赣州瑞金期末)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx十k2一k十1=0的两个不相等的 实数根 (1)求k的取值范围： (2)若k<4,且k,X1,X2都是整数，求k的值 6.(24-25九上江西赣州于都县.期末)已知一元二次方程(a-3)x2-4x+2=0. (1)若方程的一个根为x=一1，则a的值为； (2)若方程有相等的实数根，求a的值 7.(24-25九上江西新余仙女湖区·期末)关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有实数根. (1)求m的取值范围： (2)若m为正整数，求出此时方程的根. 5/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25九上江西宜春上高县期末)已知关于x的方程x2一(k+2)x+k=0. (1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若Rt△ABC斜边长a=3,另两条边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 目目 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1.(24-25九上江西赣州瑞金期末)一元二次方程x2+2x+1=0的两根之和为， 2.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)设x1、x2是方程x2-x=0的两个根，且x+x2-3,则m的值 冷 3.(24-25九上江西赣州南康区·期末)若x1,x2是一元二次方程x2+2x-k一1=0的两根，且 X1X2=一3，则k的值为一· 4.(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)若、B为方程x2一5x一1=0的两 个实数根，则2-5a+3B的值为 5.(24-25九上江西弋阳县期末)若一元二次方程x2-3x一1=0的两个根为x1,X2,则x1十X2-x1X2的 值为」 目目 考点06 元一次方程的判别式与根与系数的关系 1.(24-25九上江西赣州上犹县·期末)关于x的一元二次方程x2-(3+mx+3m=0. (1)试判断该方程根的情况； (2)若x1,X2是该方程的两个实数根，且2x1一182十2x2=12,求m的值. 2.(24-25九上江西赣州大余县·期末)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k一4=0有两个不相等的实 数根. (I)求k的取值范围； (2)当k=1时，设方程的两根分别为x1,x2,求X12十X22的值. 3.(24-25九上江西赣州安远县期末)若x1,X2是关于x的一元二次方程x2一4x+k一3=0的两个实数根. (1)求出实数k的取值范围： (2)若方程的两个实数根满足X1·X2=1,求k的值、 6/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上江西宜春期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根 是另一个根的3倍，那么称这样的方程为三倍根方程”.例如：方程x2一4x+3=0的两个根是1和3， 则这个方程就是“三倍根方程” (1)方程x2-12x十27=0-（填“是”或“不是”）“三倍根方程”： (2)若关于x的方程x2-8x+C=0是“三倍根方程”，求c的值； (③)若x2-(m+n)x+mn=0是关于x的三倍根方程，求代数式m平的值. 目目 考点07 一元一次方程的应用 1.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)某校建设校园农场.如图，该矩形农场长32m,宽20m,要 求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540m2,若 设道路的宽为xm,那么可列方程为（化为一般形式）. 32 2.(24-25九上江西赣州上犹县·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其 高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长 恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，可列方程为 3.(24-25九上江西弋阳县期末)如图，要设计一本书的封面，封面长24cm,宽18cm,正中央是一个与 整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等 宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 4.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘 7/8 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设 施基地.据了解，当年3月份该基地接待参观人数0.5万人，5月份接待参观人数增加到0.605万人. (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 5.(24-25九上江西赣州瑞金期末)某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元.经 调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元 (1)降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的销售量为 件；（用含x的式子表示） (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价 多少元？ 6.(24-25九上·江西赣州于都县·期末)某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且 两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元.对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增 加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量 (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售. 7.(24-25九上·江西赣州安远县·期末)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因 素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2024年利润为2.88亿元. (1)求该企业从2022年到2024年利润的年平均增长率； (2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过3.4亿元？ 8.(24-25九上江西赣州南康区·期末)某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023 年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件. (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件.为 了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天 盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 8/8