微专题05 直线和圆的位置关系的六类综合题型（专项训练）数学沪科版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题06直线与圆的位置关系的六类综合题型 题型1直线与圆的位置关系 题型2切线的证明：有切点，连半径，证垂直 题型3切线的证明：无切点，作垂直，证半径 直线与圆的位置关系 的六类综合题型 题型4切线性质和判定的综合应用 题型5直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型6一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 常点型戒 题型一直线和圆的位置关系 城方法 直线和圆的位置关系解题方法总结 1.定判断核心：牢记“圆心到直线的距离d与半径r”的大小关系一d<r(相交)、d=r(相切)、d> r(相离)，这是核心判断依据。 2.选合适方法：几何法直接作垂线求d,与r比较；代数法联立直线与圆的方程，看判别式△（△>0相 交、△=0相切、△<0相离)。 3.抓特殊场景：相切时，圆心与切点连线垂直于直线，可构造直角三角形；相交时，用垂径定理求弦长 (弦长=2Vr2-d))。 4.实场景转化：将实际问题（如切线防护、轨道间距）抽象为直线与圆的模型，再用上述方法求解。 核心是“d与r的量化比较”，灵活选几何或代数法，高效解决判断、计算类问题。 1.(25-26九年级上·北京阶段练习)在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的 圆，下列结论中正确的是() 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.点B在OA内 B.点C在⊙A上 C.直线BC与OA相切 D.直线BC与OA相离 2.(2025湖南模拟预测)如图，OA交⊙0于点B,AD切⊙0于点D,点C在⊙0上.若∠A=40°，则 ∠C为() A.20° B.25° C.30° D.350 3.(25-26九年级上·江苏徐州期中)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于 点D,若∠C=24°，则∠CAD=, 4.(2025九年级全国专题练习)如图，AB,BC,CD分别与OO相切于E,F,G三点，且AB∥CD. 若OB=3,OC=4,则BC的长为 △ABC ∠C=90°，AC=3,AB=5 C 5.(2025九年级下·浙江专题练习)如图， 中， ,以为圆心画圆. B (1)当⊙C的半径为3.5时，点B与⊙C有怎样的位置关系： (2)当⊙C与直线AB相交时，求⊙C的半径r. 6.(2025九年级全国·专题练习)如图，⊙0的半径为1，圆心O在正三角形的边AB的中点处，⊙0向 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 顶点A方向运动，点O运动到点A时终止.若AB=10,运动速度为1个单位/秒，运动时间设为s.试问： (1)当t为多少时，⊙0与直线AC相离？ (2)当t为多少时，⊙0与直线AC相切？ (3)当t为多少时，⊙0与直线AC相交？ 题型二切线的证明：有切点，连半径，证垂直 ©味方法 有切点的切线证明方法总结 1.核心步骤：严格遵循“连半径→证垂直”，先连接圆心与已知切点（构造半径），目标证明该半径 与待证切线垂直（∠=90°）。 2.证垂直的关键思路： 利用已知角度：结合直角三角形、等腰三角形性质，或角度和差推导90°； 借助平行关系：若有平行线，通过同位角、内错角转化为直角： 一依托圆周角定理：利用直径所对圆周角为直角，关联半径与切线。 3. 注意前提：确认“点在圆上”（题目明确切点即满足），避免遗漏核心条件。 核心是“构造半径模型，聚焦垂直证明”，通过角度转化或性质迁移，快速完成切线判定。 1.(25-26九年级上广东期中)如图，4B是O0的直径，四边形BCD内接于O0,D是4C的中点， DE⊥BC交BC的延长线于点E.求证：DE是OO的切线 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2.(2015湖北黄冈一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作 DE⊥AC于点E,求证：DE是⊙O的切线. D 5 0 3.(21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙0上一点，延长AB 至点D,连接CD,且∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. E D (I)求证：CD是⊙O的切线： (2)若CD=4BD=2,求AE的长. 4.(25-26九年级上江苏·期中)如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0上一点，连接BC,点D在BA的 延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F,交BC于点G,且∠F=2∠B. C G DA B 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)求证：FC=FG 5。(2526九年级上江苏阶段练习)如图，4B是O0的直径，四边形4BCD内接于⊙0，D是C的中 点，DE⊥BC交BC的延长线于点E. (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AB=12,BC=8,求EC的长. 6.(25-26九年级上·江苏阶段练习)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC,且CD∥AB,连接AD 交⊙O于点E. A D (1)求证：CD是⊙O的切线： 2连接E,若5为直径，BC=3而，B=8,求©0的半径 题型三切线的证明：无切点，作垂直，证半径 妹方法 无切点的切线证明方法总结 1.核心步骤：遵循“作垂直→证半径”，过圆心向待证切线作垂线，构造垂线段（设为d),目标证 明d等于圆的半径r。 2.证d=r的关键思路： 利用已知边长/距离：通过勾股定理、全等三角形推导垂线段长度等于半径； 借助坐标计算：坐标系中用点到直线距离公式求d,与半径直接比较： -结合几何性质：利用角平分线、线段垂直平分线性质，证明垂线段与半径相等。 3.注意前提：确保垂线过圆心，避免构造无效垂线段，明确“d=r”是切线判定的核心。 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 oc 1.(2025九年级全国·专题练习)如图，已知平 分∠10，D是OC上任意一点，01与00相切于点 E.求证：OB与⊙D相切. E B 2.(2024江苏泰州三模)如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,以点D为圆心， BD为半径作OD交AB于点E. 夕 (I)求证：⊙D与AC相切： (2)若AC=5,BC=3,试求AE的长. 3.(25-26九年级上·浙江金华阶段练习)如图，AC平分∠MAN,点O在射线AC上，以点O为圆心， 半径为1的⊙O与AM相切于点B,连接BO并延长交⊙O于点D,交AN于点E M E (1)求证：AN是⊙O的切线， (2)若∠MAW=60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π） 4.(2022山东日照中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C-90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在 边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C,与边AB交于点D. 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：直线AB是⊙O的切线： 2)考4C-V5 求图中阴影部分的面积。 5.(23-24九年级上·浙江台州阶段练习)如图，在△ABC中，BC=4,且△4BC的面积为4，以点A为圆 心，2为半径的⊙A交AB于E,交AC于F,点P是⊙A上一点，且∠EPF=45°. B (1)求证：BC为⊙A的切线： (2)求图中阴影部分的面积. 5.(24-25九年级上·江苏宿迁阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC,点O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. (I)求证：AC是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为2，∠C=45°，求图中阴影部分的面积. 题型四切线性质和判定的综合应用 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 赋方法 切线性质与判定综合应用方法总结 1.明确核心逻辑：判定是“证直线是切线”（有切点连半径证垂直，无切点作垂直证半径）；性质是 “已知切线用垂直”（切线⊥过切点的半径），二者双向互补。 2.构建解题链条：先判断场景（证切线用判定，求角度/边长用性质），再通过“判定定切线→性质 得垂直→构造直角三角形”衔接，结合勾股定理、圆周角定理推导。 3.抓关键模型：聚焦“切线+半径”的垂直模型，灵活切换判定与性质，打通已知条件与结论的关联 (如用判定证切线后，立马用性质得直角求边长)。 核心是“判定定关系，性质用关系”，以垂直模型为桥梁，高效解决证明、计算综合题。 1.(2025九年级下·浙江·专题练习)如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA,交圆于B,P 为EB上任一点，射线AP交圆于C,D为射线BF上一点，且DC=DP,下列结论：①CD为⊙O的切线： ②PA>PC:③∠CDP=2∠A,其中正确的结论有() B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2. (2025江苏南京一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD L AB,以D为圆心，AD为半径的 AB 1 弧恰好与Bc相切，切点为E,若CcD3,则sinC的值是（） D 6 √6 3 7 A.3 B.3 C.4 D.4 3.(2024河南信阳·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD上AB,以D为圆心，AD为 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 半径的弧恰好与BC相切，切点为E,若AB=1,CD=3，,则AD的长为一 A B 4.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，AB为⊙0直径，C为⊙0上一点，过点C作⊙0的切线， 与AB的延长线交于点D. B D (I)求证：∠BCD=∠A: (2)若BD=2,CD=4,求AC·BC的值. 5.(2025江苏徐州模拟预测)如图，已知四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点O是对角线AC上的 一 点，⊙O与AB相切于点E,交AC于点F,连接EF. F (I)求证：AD是⊙O的切线： (2)若菱形ABCD的边长为5，点F是AC的中点，求EF的长. 6. (2025·江西南昌·模拟预测)【课本再现】 如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. B (1)求证：AC是⊙O的切线. 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题提出】 (2)AC与OO相切，切点用E表示，若⊙O的半径为3，则AD与EC的乘积是否为定值？若是，求出该 定值；若不是，说明理由 题型五直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 啸方法 直角三角形周长、面积与内切圆半径关系方法总结 1.牢记核心公式：关键关系为r=S/s(r为内切圆半径，S为面积，s为半周长)，半周长s=(a+ b+c)/2(a、b为直角边，c为斜边)。 2.简化推导逻辑：直角三角形面积S=(a×b)/2,结合r=S/s,可推导出简化公式r=(a+b- c)/2(由勾股定理a2+b2=c2辅助推导)，直接用三边求半径更便捷。 3.灵活应用场景： 知周长+面积→直接代r=S/s求r; 知三边→用r=(a+b-c)/2或S=(a×b)/2结合s求r; -知r+两边→反求周长或第三边。 核心是“半周长+面积”的关联，用两个核心公式快速转化已知条件，高效解题。 1. (2024湖南模拟预测)如图，已知⊙0是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，⊙0与BC,AC,AB的切点 分别为D,E,F,若AC=8,BC=6,则⊙0的半径为() B A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.(2025山东滨州·中考真题)如图，E、F、G、H四点分别在正方形ABCD的四条边上， MP=BG=CH=DE.若1B=17,EF=1B,则△GCH 的内切圆半径为() 10/14 微专题06 直线与圆的位置关系的六类综合题型 题型一 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系解题方法总结 1. 定判断核心：牢记“圆心到直线的距离d与半径r”的大小关系——d＜r（相交）、d=r（相切）、d＞r（相离），这是核心判断依据。 2. 选合适方法：几何法直接作垂线求d，与r比较；代数法联立直线与圆的方程，看判别式Δ（Δ＞0相交、Δ=0相切、Δ＜0相离）。 3. 抓特殊场景：相切时，圆心与切点连线垂直于直线，可构造直角三角形；相交时，用垂径定理求弦长（弦长=2√(r²-d²)）。 4. 实场景转化：将实际问题（如切线防护、轨道间距）抽象为直线与圆的模型，再用上述方法求解。 核心是“d与r的量化比较”，灵活选几何或代数法，高效解决判断、计算类问题。 1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过点作于，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可求出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴点在外，则A不符合题意； ∵， ∴点在外，则B不符合题意； ∴，， ∴直线与相切， 则C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 【答案】33 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的外角以及等腰三角形的性质，已知圆的切线常用的辅助线是连接圆心和切点． 连接，根据切线的性质可得是直角三角形，则的度数即可求得，然后根据等腰三角形的外角的性质即可求得． 【详解】解：连接， ∵是圆的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：33． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，AB，BC，CD分别与相切于E，F，G三点，且．若，，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】连接，利用，分别与相切于三点，证明，得到，同理可得，又，可得,再利用勾股定理可求长． 【详解】解：如图，连接． ∵分别与相切于三点， ，，． ，， ， ． 同理可得． ， ， ， ． 在中，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线长定理．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角是解题的关键． 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 【答案】(1)点在外，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系是解决问题的关键． （1）先根据勾股定理求出B到圆心C的距离，再根据点与圆的位置关系即可求出结论 （2）过作于，先根据三角形面积公式求出到的距离，再根据直线与圆的位置关系即可求出结论． 【详解】（1）解：点在外，理由如下： 在中，， ∴， ∵，即到圆心的距离大于的半径， ∴点在外； （2）解：作于， ∵， ∴， 当与直线相交时，． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的半径为1，圆心O在正三角形的边AB的中点处，向顶点A方向运动，点O运动到点A时终止．若，运动速度为1个单位/秒，运动时间设为ts．试问： (1)当t为多少时，与直线AC相离？ (2)当t为多少时，与直线AC相切？ (3)当t为多少时，与直线AC相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用与相切于点，为正三角形，可求得，利用特殊角的三角函数值可求得的值，根据直线和圆的位置关系解答即可． 【详解】（1）解：过点作，如图，． 为正三角形，， ，即，， 此时． ∴当时，与直线相离． （2）解：由（1）可知，当时，与直线相切． （3）解：由（1）可知，当时，与直线相交． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质及三角函数的定义的应用，直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心O到直线的距离为． ①直线和相交⇔，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔，解题时要注意数形结合思想的运用． 题型二 切线的证明：有切点，连半径，证垂直 有切点的切线证明方法总结 1. 核心步骤：严格遵循“连半径→证垂直”，先连接圆心与已知切点（构造半径），目标证明该半径与待证切线垂直（∠=90°）。 2. 证垂直的关键思路： - 利用已知角度：结合直角三角形、等腰三角形性质，或角度和差推导90°； - 借助平行关系：若有平行线，通过同位角、内错角转化为直角； - 依托圆周角定理：利用直径所对圆周角为直角，关联半径与切线。 3. 注意前提：确认“点在圆上”（题目明确切点即满足），避免遗漏核心条件。 核心是“构造半径模型，聚焦垂直证明”，通过角度转化或性质迁移，快速完成切线判定。 1．（25-26九年级上·广东·期中）如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，添加辅助线是解题的关键．要证明是的切线，所以连接，求出即可，根据已知，可得，所以只要证明即可解答． 【详解】证明：连接， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 2．（2015·湖北黄冈·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到，，则有，根据垂直的定义得到，得到，最后利用切线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 3．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证； （2）在中，由勾股定理可得，从而得到，再由切线长定理可得，然后在中，由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵为的直径， ∴， ， ∵， ∵， ， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）知，， ∴在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，为的直径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由圆周角定理可知，等量代换得，由得，进而得，即，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）得，可得，由得，由等边对等角可得，由余角性质得，由对顶角相等得，等量代换得，等角对等边即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2）证明： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的判定及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，再设，则，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为2． 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，是的外接圆，，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接、、，由，得到是的垂直平分线，则有，再根据平行线的性质得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）连接，延长交于点，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，，从而得到关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、、， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，延长交于点， 由（1）得，是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理、切线的判定定理、三角形中位线定理、勾股定理、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 题型三 切线的证明：无切点，作垂直，证半径 无切点的切线证明方法总结 1. 核心步骤：遵循“作垂直→证半径”，过圆心向待证切线作垂线，构造垂线段（设为d），目标证明d等于圆的半径r。 2. 证d=r的关键思路： - 利用已知边长/距离：通过勾股定理、全等三角形推导垂线段长度等于半径； - 借助坐标计算：坐标系中用点到直线距离公式求d，与半径直接比较； - 结合几何性质：利用角平分线、线段垂直平分线性质，证明垂线段与半径相等。 3. 注意前提：确保垂线过圆心，避免构造无效垂线段，明确“d=r”是切线判定的核心。 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知平分是上任意一点，与相切于点．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】根据切线的判定定理，证明圆心到的距离等于圆的半径．结合角平分线的性质以及与⊙相切的条件来推导． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． 与相切于点，． 又是平分线上一点， ，即是的半径， 与相切． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质，解题关键是熟练运用切线的判定与性质定理，结合角平分线的性质，将证明切线的问题转化为证明点到直线的距离等于半径的问题． 2．（2024·江苏泰州·三模）如图中，，平分交于点，以点D为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 平分，，， ， 与相切； （2）解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，平分，点O在射线上，以点O为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 ． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质，解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）首先过点O作于点，易证得，即可得证； （2）由，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点O作于点，如图， 与相切于点， ， 平分，是半径， ， 是的切线； （2）解：∵，， ∴ ， ， 在中，，， ， ． 4．（2022·山东日照·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可； （2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可． 【详解】（1）证明：连接OD，CD， ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°， ∵D为AB的中点， ∴BD=AD=AB， ∴AD=AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCO=90°-60°=30°， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠DCO=30°， ∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°， 即OD⊥AB， ∵OD过圆心O， ∴直线AB是⊙O的切线； （2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB， 又∵AC=， ∴BD=AC=， ∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°， ∴∠BOD=60°，BO=2DO， 由勾股定理得：BO2=OD2+BD2， 即（2OD）2=OD2+（）2， 解得：OD=1（负数舍去）， 所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=． 【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，BC＝4，且的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠＝45°． （1）求证：BC为⊙A的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【分析】（1）作AD⊥BC，根据三角形的面积，可求出AD＝2=半径且为BC边上的高，即可判定； （2）再根据圆周角定理得∠EAF＝2∠EPF＝90°，而＝，然后利用扇形的面积公式：S＝和三角形的面积公式即可计算出图中阴影部分的面积． 【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC，如图， ∵BC=4，S△ABC=4， ∴， ∴AD=2， 又⊙A的半径为2， ∴BC与⊙A相切，切点为点D， （2）∵由（1）可知⊙A与BC相切于点D， ∴AD⊥BC，且AD＝2， 又∵∠EPF＝45° ∴∠BAC=90°， 而BC＝4，， ∴＝＝BC×AD﹣＝． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S＝lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了切线的性质定理和圆周角定理． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）过点O作于点G，连接，由题意易得平分，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得为等腰直角三角形，则有四边形是正方形，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：过点O作于点G，连接，如图所示： ∵腰与相切于点D， ∴， ∵，点O是底边的中点， ∴平分，， ∴， ∵都是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：如图（1）， ∵，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 题型四 切线性质和判定的综合应用 切线性质与判定综合应用方法总结 1. 明确核心逻辑：判定是“证直线是切线”（有切点连半径证垂直，无切点作垂直证半径）；性质是“已知切线用垂直”（切线⊥过切点的半径），二者双向互补。 2. 构建解题链条：先判断场景（证切线用判定，求角度/边长用性质），再通过“判定定切线→性质得垂直→构造直角三角形”衔接，结合勾股定理、圆周角定理推导。 3. 抓关键模型：聚焦“切线+半径”的垂直模型，灵活切换判定与性质，打通已知条件与结论的关联（如用判定证切线后，立马用性质得直角求边长）。 核心是“判定定关系，性质用关系”，以垂直模型为桥梁，高效解决证明、计算综合题。 1．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 2．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，熟知菱形的性质和切线的性质与判定定理是解题的关键； （1）过点O作于H，连接，由切线的性质得到，由菱形的性质得到平分，则由角平分线的性质得到，据此可证明是的半径，则是的切线； （2）连接，则，点F即为的交点，由切线的性质得到，解得到，，则可得到，解得到，进而得到；则点E为的中点，即可得到 【详解】（1）证明：如图所示，过点O作于H，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴点H在上，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，点F为的中点， ∴，点F为的交点， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴，即点E为的中点， ∴ 6．（2025·江西南昌·模拟预测）【课本再现】 如图，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． （1）求证：是的切线． 【问题提出】 （2）与相切，切点用表示，若的半径为3，则与的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，定值为9 【分析】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：过点作，垂足为，连接，．由切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而证明可得，即可证明结论； （2）由全等三角形的性质进而得，易得，再证明可得，，进而完成解答． 【详解】（1）证明：如图：过点作，垂足为，连接，． 与相切于点， ． 又∵是等腰三角形，是底边的中点， 是的平分线． ． ， ． 在和中， ， ． ． 是的半径． 是的切线． （2）是定值，定值为9．理由如下： ∵， ． ， ， ． ． 又， ． ． 又∵， ． ． ． ． 题型五 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 直角三角形周长、面积与内切圆半径关系方法总结 1. 牢记核心公式：关键关系为 r = S/s（r为内切圆半径，S为面积，s为半周长），半周长s = (a + b + c)/2（a、b为直角边，c为斜边）。 2. 简化推导逻辑：直角三角形面积S = (a×b)/2，结合r = S/s，可推导出简化公式 r = (a + b - c)/2（由勾股定理a² + b² = c²辅助推导），直接用三边求半径更便捷。 3. 灵活应用场景： - 知周长+面积→直接代r = S/s求r； - 知三边→用r = (a + b - c)/2或S = (a×b)/2结合s求r； - 知r+两边→反求周长或第三边。 核心是“半周长+面积”的关联，用两个核心公式快速转化已知条件，高效解题。 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 3．（22-23九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径， 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，连接，勾股定理求出的长，等积法求出内切圆的半径长即可． 【详解】解：设内切圆的圆心为，连接， 则：，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；即：内切圆的半径长度为1． 故答案为：1． 5．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：，理由： 如图，连接， 为的内心， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为， 为的内心，即为的内切圆的圆心， 分别为该内切圆与三边的切点， ， ， ， ， ， 的周长为 ． 题型六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 一般三角形周长、面积与内切圆半径关系方法总结 1. 核心公式：牢记通用关系 r = S/s（r为内切圆半径，S为三角形面积，s为半周长），半周长s = (a + b + c)/2（a、b、c为三角形三边），此公式适用于所有三角形，无特殊限制。 2. 关键应用逻辑： - 已知三边：先算s，再用海伦公式（S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]）求S，最后代公式得r； - 已知底和高：先由S=1/2×底×高求S，结合周长算s，再求r； - 反向求解：知r和s可求S，知r和S可求s，进而推周长或边长。 3. 注意要点：海伦公式是三边求积的核心，计算时需先算半周长，再代入化简。 核心是“r = S/s”的通用关联，通过面积和半周长的转化，高效求解半径或相关量。 1．（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、三角形的内切圆，根据正方形的性质及已知条件判断E为正方形的中心，为等腰直角三角形，根据等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】解：如图： ∵正方形的对角线互相垂直且平分，，为等腰三角形， ∴E即为正方形的中心， ∴为等腰直角三角形， 其中， 设的内切圆半径为r，周长为C， 则利用等面积法可得， 则， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 6．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $