专题01 二次函数 12大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题01 二次函数 12大高频考点概览 考点01 概念辨析 考点02 二次函数图像与性质基础 考点03 根据二次函数的性质比较大小及其应用 考点04 二次函数的平移及其应用 考点05 二次函数与一元二次方程；交点问题及其应用 考点06 表格题 考点07 图像题 考点08 求参数（范围）问题综合 考点09 二次函数的实际应用 考点10 二次函数的代数应用 考点11 二次函数的几何应用；新定义题 考点12 解答题 地 城 考点01 概念辨析 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，当时，函数值是（   ） A． B． C．0 D．1 地 城 考点02 二次函数图像与性质基础 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）抛物线的开口 ．（填“向上”或“向下”） 2．（24-25九年级上·浙江·期末）二次函数的图象的对称轴为 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 地 城 考点03 根据二次函数的性质比较大小及其应用 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 地 城 考点04 二次函数的平移及其应用 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如果一条抛物线经过平移后能与抛物线重合，且顶点坐标为，则它的解析式为 ． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 二次函数与一元二次方程；交点问题及其应用 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，二次函数（）的图象过，，，则一元二次方程的根为 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江·期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 5．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于 ． 地 城 考点06 表格题 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图表是抛物线上部分点的坐标，则该抛物线的对称轴是 ． x … 0 1 … y … … 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 3．（23-24九年级上·浙江·期末）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为 ． x … －3 0 1 3 5 … y … 6 －7 －8 －5 6 … 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 地 城 考点07 图像题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．    地 城 考点08 求参数（范围）问题综合 1．（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是 ． 地 城 考点09 二次函数的实际应用 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点10 二次函数的代数应用 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，．（   ） A．若，则函数和的图象有两个交点 B．若函数和的值互为相反数，则 C．当时，函数和的值相等 D．函数和的图象必经过同一个定点 2．（24-25九年级上·浙江·期末）已知点均在二次函数图像上，若则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ．地 城 考点11 二次函数的几何应用；新定义题 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是．地 城 考点12 解答题 (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图象可由的图象经过怎样平移得到？ 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设二次函数． (1)若函数的图象过点，求的值． (2)若函数的图象的对称轴是轴，求的值． (3)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数图象过点． (1)若，求a的值． (2)若，当时，请比较m、n的大小关系． (3)求证： 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标． (3)连接，作点E关于的对称点，若落在y轴上，求点E的坐标． 7．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． (3)若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务： 设计喷水器的高度 素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计） 素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米． 素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米． 素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同． 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式． 任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？ 任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 12大高频考点概览 考点01 概念辨析 考点02 二次函数图像与性质基础 考点03 根据二次函数的性质比较大小及其应用 考点04 二次函数的平移及其应用 考点05 二次函数与一元二次方程；交点问题及其应用 考点06 表格题 考点07 图像题 考点08 求参数（范围）问题综合 考点09 二次函数的实际应用 考点10 二次函数的代数应用 考点11 二次函数的几何应用；新定义题 考点12 解答题 地 城 考点01 概念辨析 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，形如的函数为二次函数，据此即可求解． 【详解】解：由二次函数的定义可知，C为二次函数， 故选：C 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，当时，函数值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，即可求出函数值． 【详解】解：当时，， 故选：C． 地 城 考点02 二次函数图像与性质基础 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）抛物线的开口 ．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，根据，可得开口方向． 【详解】解：抛物线的开口向下： 故答案为：向下 2．（24-25九年级上·浙江·期末）二次函数的图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为：直线． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定顶点坐标． 首先根据二次项系数确定开口方向，而抛物线的顶点坐标为，利用这个公式即可求解． 【详解】解：抛物线， 开口方向向上， 顶点坐标为：， 故答案为：C． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关， ∴与抛物线的形状形同． 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据的性质进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴二次函数当时，函数有最大值3， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线， A、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意； B、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意； C、因为顶点坐标是，开口向上， 所以图象与x轴有两个交点，故说法正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而增大，故说法不正确，符合题意． 故选：D． 地 城 考点03 根据二次函数的性质比较大小及其应用 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由得图象开口向下，对称轴为直线，结合，，，得出点A、C关于直线对称，则，再结合增减性和开口方向，即可作答． 【详解】解：由得图象开口向下，对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过，，， ∴点A、C关于直线对称，则， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质．将各点代入函数解析式得出函数值比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，，得出，则点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为， 当或当时，， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点离对称轴要比点离对称轴远，， ∴， ∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边， ∴， 解得：， 综上所述，， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 地 城 考点04 二次函数的平移及其应用 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如果一条抛物线经过平移后能与抛物线重合，且顶点坐标为，则它的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换及二次函数的性质，熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 根据题意得出抛物线解析式中二次项系数为，再结合其顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：因为一条抛物线经过平移后能与抛物线重合， 所以令它的解析式为， 又因为它的顶点坐标为， 所以它的解析式为， 故答案为． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，知道“上加下减，左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解由与轴只有一个交点可得平移后的顶点纵坐标为0；根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”写出平移后表达式，再由顶点纵坐标为0即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位可得， 平移后的抛物线的顶点为：， 向下平移个单位后与轴只有一个交点， ， ， 故答案为：3． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 地 城 考点05 二次函数与一元二次方程；交点问题及其应用 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程为常数的两实数根是， 【详解】解：二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为， 二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程为常数的两实数根是，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，二次函数（）的图象过，，，则一元二次方程的根为 ． 【答案】   【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的根，根据对称轴，从而分析求解． 【详解】解：∵图象经过 ， ∴对称轴为直线 又∵图象经过 ∴也在图象上 ∴一元二次方程的根为  ， 故答案为：  ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江·期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时，函数变为， 与轴只有一个交点， 当时， 函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得， 当时，函数的图象与轴只有一个交点， 故答案为：2或． 5．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，根据二次函数与x轴有两个不同的交点，可得，再求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于 ． 【答案】33 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象及性质是解题关键．根据题意得抛物线顶点的纵坐标是1，则，根据抛物线的对称性得到，将点A坐标代入中可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线顶点的纵坐标是1， ∴， ∵抛物线过点，， ∴点A、B关于直线对称， ∴，则， ∴， 将代入中， 得， 故答案为：33． 地 城 考点06 表格题 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图表是抛物线上部分点的坐标，则该抛物线的对称轴是 ． x … 0 1 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴． 【详解】解：由表格可得，当x取和时，y值相等， 该函数图象的对称轴为直线， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（   ） A．5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为 ． x … －3 0 1 3 5 … y … 6 －7 －8 －5 6 … 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，根据表找到二次函数的对称轴，由二次函数图象的对称性即可求得方程的两个解． 【详解】解：由表知，当与时，函数值相等，即两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴由对称性，当时，， 即方程的两个解是或， 故答案为：0或2． 4．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 地 城 考点07 图像题 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ． 【答案】或 【分析】由二次函数的部分图象过，对称轴为，可得点关于对称轴的对称点为，从而可得方程的根是或1，即可得方程的根满足或1，故方程的根是或． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴方程的根是或1， ∴方程的根满足或1， ∴方程的根是或． 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是，则抛物线与轴的另一个交点是，当时，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴当时，， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．由与平行，可得当时，直线与原图象只有一个交点，联立，即得，再由只有一个交点求解即可． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ， 即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或 故答案为：或 地 城 考点08 求参数（范围）问题综合 1．（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据抛物线的顶点坐标，可得，，即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线上的顶点坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：1． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将原方程转化为顶点式二次函数的解析式，然后根据二次函数图象的特点进行分情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴二次函数的对称轴为直线， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得（舍去）， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得或（舍去）， 若，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得或（舍去）， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得（舍去）， 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据当时，的最小值为，得出，根据二次函数的最值求出当时，的最大值为． 【详解】解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为， ∴当时，有最小值为： ， ∵， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是 【答案】或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解抛物线的对称轴为直线，再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图，当时，则， ∵抛物线的最高点到直线的距离为2， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 如图，当时，则， 此时当时，最高点的纵坐标为：， 同理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 综上：的值为或， 故答案为：或． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可． 【详解】解：∵函数与x轴的交点坐标为， ∴该函数的对称轴为直线， 解得： ， 则， 那么函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得， 则函数的图象与x轴的交点坐标为， ∵该函数图象开口向上， ∴时自变量x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握其图象与性质是解题的关键． 地 城 考点09 二次函数的实际应用 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， 当时，的最大值为20， 即时，的值最大， 故答案为：2． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据函数值求出自变量的值． 当时，根据抛物线求出的值，再结合铅球在正半轴，根据，即可求得的长． 【详解】解：当时， ， ， 解得：或， 点在轴正半轴， 点坐标为， ， 根据可知，对称轴为：， 即， ； 故选：D 地 城 考点10 二次函数的代数应用 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，．（   ） A．若，则函数和的图象有两个交点 B．若函数和的值互为相反数，则 C．当时，函数和的值相等 D．函数和的图象必经过同一个定点 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．当时，得到，则当时，，即可判断A，D；函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，即可判断B；当时，则，那么，那么当时，，即可判断C． 【详解】解：A、当时，，则，此时，当时，，所以此时函数和的图象有两个交点，故A正确，符合题意； B、函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，故B错误，不符合题意； C、当时，则，那么，那么当时，，所以时，函数和的值不相等，故C错误，不符合题意； D、当时，，则，此时，由于判断不了的符号，故不能判断过定点问题，故不符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）已知点均在二次函数图像上，若则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】依据题意，由二次函数为，从而对称轴是直线x1，又在二次函数上，且，故，则为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意， ∵二次函数为， ∴对称轴是直线， 又∵在二次函数上，且， ∴． ∴为二次函数的顶点． ∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意； 若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意 当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意； 若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ．地 城 考点11 二次函数的几何应用；新定义题 【答案】 【分析】先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标代入计算即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，则点B纵坐标为1， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时，如图1： ∴， ∴， 当点C在线段延长线上时，如图2： ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， ∴； 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：； 综上，a的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与坐标轴交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式等，求出点C的坐标和直线的解析式，再把点C的坐标代入直线的解析式是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可． 【详解】解：（1）由好点”定义可得：， ∴， 整理得：， ∴或5， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为，， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点A时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ∴， 解得：， ∴c的取值范围为： ． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是．地 城 考点12 解答题 (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图象可由的图象经过怎样平移得到？ 【答案】(1)； (2)的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象． 【分析】（1）二次函数的顶点式其中为顶点坐标，已知二次函数顶点坐标为，可将其转化为顶点式来求解表达式； （2）确定函数图象的平移方式，需先将两个函数化为顶点式，根据顶点的变化“上加下减，左加右减”来确定平移方向和单位． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点式为，顶点坐标为， ∴二次函数为 ∵二次函数 ∴， ∴ ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵的顶点坐标为的顶点坐标为， ∴从到， ∴横坐标的变化是，即向右平移2个单位， 纵坐标的变化是，即向下平移4个单位． ∴的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次函数的性质． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设二次函数． (1)若函数的图象过点，求的值． (2)若函数的图象的对称轴是轴，求的值． (3)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称轴与增减性，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入函数得解析式求解即可； （2）根据函数的解析式得到对称轴为直线，再结合对称轴是轴求解即可； （3）根据函数的增减性，确定对称轴是直线，进而求出的值，得到函数的解析式，再将点代入函数得解析式求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象过点， ， 解得：； （2）解：二次函数， 对称轴为直线， 函数的图象的对称轴是轴， ， 解得：； （3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 函数的图象的对称轴是直线， ， ， ， 当时，， 即函数的图象过点． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数图象过点． (1)若，求a的值． (2)若，当时，请比较m、n的大小关系． (3)求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质； （1）直接把代入解析式求解即可； （2）先求出对称轴，由对称轴可知，为抛物线的顶点，根据二次函数的图象和性质即可得解． （3）把代入二次函数解析式求出m，n，再代入，可得，根据平方的非负性即可判断结果的正负，进而得证． 【详解】（1）解：当时，把代入解析式得； （2）解：令得，，即， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点为：， 对称轴为直线， ， 为抛物线的顶点， ， 二次函数的最小值为n， ， ； （3）证明：把代入二次函数解析式得， ， ， ， ， ． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标． (3)连接，作点E关于的对称点，若落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）如图：过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【详解】（1）解：把，代入 得：，解得． 抛物线的函数关系式为：． （2）解：设直线的解析式为：， 把，代入 得∶，解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ，解得或（舍去）． ． （3）解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 7．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． (3)若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2)和 (3)16 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的左边特征，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入（1）中求得的解析式中，然后解方程即可求解； （3）先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：将代入中，得， 即， 解得，， ∴这个函数不动点的坐标为和； （3）解：由（2）知，， ∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线, ∴当时，y有最小值， 当时，y有最大值5， ∴的最大值与最小值的差为． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务： 设计喷水器的高度 素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计） 素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米． 素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米． 素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同． 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式． 任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？ 任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案． 【答案】任务1：；任务2：喷水口P至少需要升高米；任务3：会影响，设计见解析． 【分析】任务1：以所在直线为轴，以地平面所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到抛物线所过点的坐标m设抛物线解析式为，将点代入解析式求解，即可解题． 任务2：连接，，交于点，为正六边形的中心，根据题意证明为等边三角形，四边形为菱形，利用勾股定理求得米，推出米，使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，则喷水器应在处，且喷洒水平距离为米，设喷水口P至少需要升高米，再结合抛物线解析式，即可解题． 任务3：本题将米，即代入，满足任务2中的解析式，可得其会影响任务2灌溉要求，根据“S”型号的喷头条件，设更换喷头后的抛物线解析式为，且，根据灌溉要求可知当时，，据此求解，即可解题． 【详解】任务1：解：以所在直线为轴，以地平面所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 根据题意可知抛物线过点，，， 有，解得， 抛物线解析式为； 任务2：解：连接，，交于点，正六边形的中心，如图所示： ，为等边三角形， 为等边三角形，米， 米，， 四边形为菱形， ，， ， ， 米， 米， 米， 同理可得，米， 使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田， 喷水器应在处，且喷洒水平距离为米， 设喷水口P至少需要升高米， 即抛物线解析式变为，过点， 有， 解得， 使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高米． 任务3：解：园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树， 满足任务2的抛物线解析式为，且米， （米）， ， 种植后会影响任务2中的灌溉要求， 更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同， 更换喷头后的抛物线可看作原抛物线向右平移，向上平移， 的边，， 设更换喷头后的抛物线解析式为，， 点P到地面的距离最大可达2米，即， 有当时，， 即，解得， 即当时，使用“S”型号的喷头可达到多边形花田灌溉要求． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的平移规律、二次函数与不等式、正多边形性质、30度所对直角边等于斜边一半、菱形的性质与判定、勾股定理、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，韦达定理，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $