数学试题-【天壹联考】2025-2026学年上学期10月高二联考试卷

机密★启用前 2025年下学期10月高二联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的、 1.在复平面内，复数(2) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1,一2,3)关于平面yOz的对称点为 A.(-1,-2,-3) B.(1,-2,-3) C.(-1,-2,3) D.(1,2,3) 3.国庆8天小长假过后，某同学统计了该年级3个班级的同学在假期旅游去过的城市个数分别为 12,15,18,则这三个数据的方差为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.直线1：x一ycos0+2=0的倾斜角a的取值范围是 A.[0,π) [匠g 5.设空间向量e1=(1,1,0),e2=（2,m,1),e3=（2,4,n).若e1,e2,e3不能构成空间向量的一组基 底，则 A.m=4,n=1 B.m=3,n=2 C.m=4,n=2 D.m=3,n=1 【高二数学试题第1页（共4页）】 8 B.、3 D.tv39 8 7.已知圆台0,0：的上，下底面圆均在体积为号x的球0的球面上，若圆台0,0：的下底面圆的 半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为 A.13π B.22π C.11π D.24π 8.已知空间向量OA=(1,0,0),OB=(0,1,0),O元=(0,0,1)，向量OP=xOA+yOB+xOC,其 中子r+=1,则0的最小值为 A.1 B4v27 c 17 21 4 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知正数a,b满足a十b=2,则 A.a2-b>0 B.√a+√b≤2 D.log2a+log2b≤0 10.已知平行六面体ABCD-AB,C,D,的各个面均为含行内角的菱形，设A店=a,A心=b, AA=c,且la=1,a,b之间的夹角为写，则 A.(a+c)(h+c)= 5 B.ACi·BD1=0 D C.ACI=6 D.∠B1AD1<(a,b〉 11.空间内不重合的两平面a,β的法向量分别为n1,n2,直线l的方向向量为AB,A∈a,B∈B,已 知n1十AB=n2,则 A.当a⊥β时，lAB·n2|=|n2|2 B.当a⊥B时，|AB·n1|=|AB12 C.当a∥3时，n1与AB共线 D.当1∥3时，a与B相交 【高二数学试题第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设直线11：x一2y+5=0与直线12：(m+1)x一(m+3)y+m+2=0平行，则m= 13.已知架合A=2≥0，B=1y=5+1,则Anc6B》= (用区间的形式 表示) 14.空间内不共面的三条直线l,m,n满足l⊥m,l⊥n,且l∩m=A,l∩n=B,记C∈n,D∈m,已 知AB·CD=-4,AD·BC=2,∠BAC=∠DAC,则BD= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+3y一8=0. (1)求过点A(1,4),且与12垂直的直线的斜截式方程； (2)求过11与l2的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线的一般式方程（该直线的截距均 不为0). 16.(15分)如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，DE⊥平面ABCD,平面 BDE⊥平面EAC. (1)证明：AC⊥BD; (2)若AF∥DE,且CD=DE=2AF=2,AD⊥CD,求平面BEF与平面 EAC夹角的余弦值. 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcosA+ccosA+a cosC=0. (1)求A; (2)若AB=AC=23,D,E是边BC上异于端点的动点，且∠DAE=,求DE的最小值. 【高二数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)如图，在棱长为2的正方体ABCD一EFGH中，点M和N分别为棱FG和GH的中 点.平面a经过点A,M,N,设平面a与DH,BF分别交于P,Q两点. (1)求点G到平面a的距离； E (2)求|DP|,并证明：PQ∥平面ABCD; M (3)求直线PF与平面EBC所成角的正弦值. B 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,AB∥CD,AB⊥BC,AP=2AE,PA=AB =BC=2,CD=CE=3,F为线段CD上一动点， (1)证明：PA⊥平面ABCD; E (2)已知E,A,B,C四点均在球O的球面上. A (i)证明：C,E,O三点共线； G者直线OP与平面PBD所成角的正弦值为8S,求DP的长度 【高二数学试题第4页（共4页）】2025年下学期10月高二联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】B 【解析1设=()2-8-3+4，所以：在复平国内对应的点的坐标为（一3，.位于第 -1 象限，故选B 2.【答案】C 【解析】点M(1,-2,3)关于平面yOz的对称点为(-1，一2,3)，故选C. 3.【答案】D 【解析1易得这三个数据的平均数7=12+15+18=15，方差s=02-15+5-15)+18-15》=6,故 选D. 4.【答案】C 【解析】当cos0=0时，直线1的方程为x=一2，此时直线1的倾斜角a=7;当c0s0≠0时，直线1的斜率为 tana= os0,因为cos0∈[-1.0)U(0,1],所以o∈(-∞，-1]U[1,+∞)，即tana∈(-∞，-1]U ,十)，又因为。∈[0，所以结合正切函数的因象可得：a∈[于)U(经，综上可得：直线1的倾 斜角α的取值范围是 元3π 4’4 ,故选C 5.【答案】AB 【解析】当m=4,n=1时，e2与e3共线，则e1,e2,e3共面，A符合题意；当m=3,n=2时，e1=(1,1,0),e2= (2,3,1),e=(2,4,2),故e2=e1十2e,则e1,e2e共面，B符合题意，故选AB. 6.【答案】D 【解析1由余弦二倍角公式可得0s(a一合)=2os(?一)-1=一号， 【高二数学试题参考答案第1页（共7页）】 7.【答案】C 【解析】由题意设圆台O,O2的上、下底面圆的半径分别为r,2r,则其母线长为2r,高为√3r,可得球O的半径 为2故·(22x,解得r,所以该圆合的表面积S=+4十x(+2)2rπ2园 故选C. 8.【答案】B 【解析】设0币=40=(40,0).0正=20=(0,2,0)，因为++之=1，所以0=x0+y0+:0元 O+O克+xO心，所以D,E,C,P四点共面，当OP⊥平面DEC时，OP有最小值.C币=(4,0，-1D, [m·CD=4a-c=0 C它=(0,2，-1)，设平面DEC的一个法向量m=(a,b,c),则 ,取a=1,则b=2,c=4, m·CE=2b-c=0 所以m=12,4)为平面DC的一个法向量，所以O到平面DBC的距离d=m·OC=4V m 21 ,故选B. 9.【答案】BD 【解析】当a=b=1时a2-b=0,则a2-b>0不成立，故A错误； (√a+√b)'=a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b=4,当且仅当a=b=1时取等号，故√a+√b≤2，故B 正确； 2(日）=a十6（日+分）=2+会+号=2-22·号=4，当且仅当会-号即a=6=1时等号成立. 则。+>2，故C错误， log2a十log2b=log2ab,因为2=a十b≥2√ab,当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1，于是log2ab≤ log21=0,即1og2a+logb≤0，故D正确，故选BD. 10.【答案】ACD 【解析】因为平行六面体ABCD-A,BG,D,的各面均为含行内角的菱形，所以a=b=c=1,且a,b 1 c两两之间的夹角均为于，所以a·b=a·c=b·c=7故(a十c)·(h十c)=a·b十a·c十c:b十cc= 号+2+号+1=5故A正确：C.BD=(a+b+e)(-a+b+e)=-a·abb+ee+2be 2,故B错误；|AC12=|a十b+c|2=|a|2+|b2+|c2+6a·b=6,故|AC1|=√6，故C正确； 【高二数学试题参考答案第2页（共7页）】 ;AD-a+x6+8-6>7又cosa,b)=2故∠B,AD,<a,b,改D正 AB1.AD1(a+c)·(b+c)5、1 cos∠B1AD1 确，故选ACD. 11.【答案】ACD 【解析】不妨取空间内一点C使得n1=BC,则n2-AC,由a⊥B可知BC⊥AC,故由投影向量性质可知 AB·AC1=AC2,故A正确：同理A店·n1=A店·BC1=1BC12=1?,故B错误；由a∥g可得 n1∥n2,故可设n2=入n1,故AB=n2一n1=(入一1)n1,可知n1与AB共线，故C正确；由1∥B可得AB·n2=0,显 然AB与n2不共线，于是n1=n2一AB不与n2共线，故两平面不平行，故二者只能相交，故D正确，故选ACD. 12.【答案】1 【解析】由1，与1的斜率相等，可得m士3=2，解得m=1,故答案为1. m+1 13.【答案】(0,1] 【解析】由题意知A={22≥0}={0<≤2，B=y>1,故B=)≤1，所以An(B》= (0,1],故答案为(0,1]. 14.【答案5 【解析】由1Lm,lLn得A庐·AD=0,AB·BC=0,由A方.BC=0得AB·AC= AB2,由AB.CD=-4可得AB·AC=AB·AD+4=4,由AD·BC=2可得AC .AD=AB.AD+2=2,而AB·AC=4=AB2,得AB=2.由∠BAC=∠DAC得 |AC·AD cos∠BAC=cos∠DAC,即 IAB.AC ,即4、2 AB·AC1 1AC·AD 2=AD,解得AD=1,故由勾股定理得BD √AB+AD=√5，故答案为√5. +含可得斜率为 2 2 15.【解析】(1)由直线l2:2x+3y-8=0→y=一 1分 3 所以根据垂直关系可设所求直线方程为y=之1十b,…… 3分 则依题意有4= ×1十b,解得6= 3 2,4…63分 所以所求直线的斜截式方程为y=之x十 3 5 …………7分 12-2y+3=0 (2)联立 解得交点坐标为(1,2)，设直线方程为二十Y =1(a,b≠0)，…9分 2x+3y-8=0 【高二数学试题参考答案第3页（共7页）】 a=-b 依题意 1,2 ,解得a=一1，b=1,… …12分 a b 三1 所以所求直线的一般式方程为x一y十1=0.…13分 16.【解析】(1)设AC∩BD=O,连接OE,过D向OE作垂线，垂足为H,… 1分 因为平面BDE⊥平面EAC,平面BDE∩平面EAC=OE,DH⊥OE,DHC平面 BDE,所以DH⊥平面EAC,…3分 H 因为ACC平面EAC,所以DH⊥AC, D<- 因为DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DE⊥AC,…5分 因为DH∩DE=D,DH,DEC平面BDE,所以AC⊥平面BDE, 因为BDCC平面BDE,所以AC⊥BD.…6分 (2)因为AD⊥CD,结合(1)可知底面为正方形，以D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x,y,之轴，建立 空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),B(2,2,0),F(2,0,1),… ……8分 AC=(-2,2,0),AE=(-2,0,2),B=(0,-2,1),F2=(-2,0,1), [n·AC=-2x+2y=0 设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z),则 ,令x=1得，n=(1,1,1).…10分 n·AE=-2x十2x=0 [m·BF=-2yo十xo=0 设平面BEF的一个法向量为m=(x。,y。,之。)，则 令之0=2 m.F2=-2xw十=0 得，m=(1,1,2).… 12分 D. n.m 4 2√2 设平面BEF与平面EAC的夹角为0，则cos0= nlm√5X√6 3,…14分 即平面BEF与平面EAC的夹角的余弦值为2y ………………………………………………………… 3· 15分 17.【解析】(1)由正弦定理可得2 sinBcosA十sinC cosA十sinA cosC=0,… 2分 所以2 sinBcosA+sin(A+C)=2 sinB cosA+sinB=0,… 4分 因为sinB≠0，所以c0sA=-2因为A∈(0，x),所以A 2 3. 6分 (2)由题意可得BC=6,B=C= 7分 【高二数学试题参考答案第4页（共7页）】 设∠ADE=a,则∠AED-牙-a. 8分 在△ABD中，由正弦定理得 AB AD sin(x-a) ,所以AD=5 …10分 sin 6 sina 在△ADE中，由正弦定理，得DE AD 元 /2π 所以DE=3 3 sin 3 sin(3-a) 2元 sina sin sin2a+√5 sina cosa 3 ……13分 1-cos2a 2 2 sin2a 由管<a<号得答<2“管<餐所以当2a一吾-受即。一管时，DE取得是小值为2.…15分 6 18.【解析】如图，以点D为坐标原点，分别以DA,DC,Di为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0), D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,0,2),F(2,2,2),G(0,2,2),H(0,0,2).…2分 因为M,N分别为棱FG和GH的中点，所以M(1,2,2),N(0,1,2).…3分 (1)设点G到平面a的距离为d,等价于到平面AMN的距离为d.三棱锥G一AMN 1 的体积V=3S△AN·d,其中S△An表示△AMN的面积，三楼锥G-AMN的体积 B 等于三棱锥A一GMN的体积，…4分 则有号·SaAw·d-子·Saw·AE,MN-E,且1AM=AN=3, 1 …6分 则sMN·AMP(合MN门- 又S△GMN= )·GM·GN=2,AE=2. 8分 所以d平即点G到平面：的距离为2 17 9分 (2)点P在棱DH上，设P(0,0,xp).由P在平面AMN上，则AP与AM,ANV共面，即存在实数s,t使得AP =sAM十tAN,… …10分 1--2t=-2 所以(-2,0，之p)=s(-1,2,2)十t(-2,1,2),可得{ 解得=一子号则，子 2s+t=0 故P(0,,)DP= …11分 【高二数学试题参考答案第5页（共7页）】 u-2v=0 同理，设Q(2,2,a),令AQ=uAM+uAV,则 4 2 ,解得u= 0=-3 （2u+v=2 则0专Q(22,含)则P0=(22,0,… 12分 平面ABCD的一个法向量为k=(0,0,1),且PQ·k=0,则PQ⊥k. 又直线PQ不在平面ABCD内，所以PQ∥平面ABCD.…13分 (3)由题，P=(2,2,),E丽=(0,2，-2)，武=(-2,2，-2).设平面EBC的法向量为n=(,y,),则 n·EB=2y-2x=0 ,解得y=之，x=0,令y=1,得法向量n=(0,1,1).…15分 n·EC=-2x+2y-2x=0 2 设直线PF与平面EBC所成角为p.则sinp |PF·n 20+21+3·1 2√38 PF n 76 19,即直线PF与平 9 ·√2 面EBC所成角的正弦值为2√宽 191 ………17分 19.【解析】(1)显然EB2=EA2+AB2=5,于是有EB2十BC2=EC2,故BE⊥BC,…1分 由BC⊥AB,AB∩BE=B,ABC平面PAB,BEC平面PAB可知BC⊥平面 P PAB,………3分 由PAC平面PAB可知PA⊥BC,…4分 B 由PA⊥AB,AB∩AC=A,ABC平面ABCD,ACC平面ABCD可得PA⊥平面D ABCD.…… 5分 (2)()方法一：建系法：以A为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AP的方向为 之轴正方向，建立空间直角坐标系Axy之，……6分 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1).…7分 P 设O(xo,y0,x。),则由|OE=|OA|=|OB|=|OC|,即x8+y8十之8=x8+ E (y0-2)2+z8=(x。-2)2+(y。-2)2十之8=x8+y8十（之，-1）2，…9分 B 解得=，=1，=，于是0(11,2，武=(2,2，-1)，d=(1,1,-2) D -E武故由B0∩EC=E可知C,E,0三点共线.… …11分 【高二数学试题参考答案第6页（共7页）】 方法二：几何法：不妨记M为EC中点，N为AC中点，显然有MN⊥AC,而由EA⊥AB,MN∥EA知MN ⊥AB,…7分 由AB∩AC=A,ABC平面ABC,AC平面ABC知MN⊥平面ABC.…8分 由AB⊥BC可知NB=NA=NC,易知有且仅有直线MN上任一点到A,B,C的距离相 等，故O∈MN,… …9分 同理EA⊥AC可知过点M且垂直于平面AEC的直线l上任一点到A,E,C的距离相等，故O∈I,·10分 由l∩MN=M知点O即为点M,于是C,E,O三点共线.…11分 注：采取方法二在(2)(i)建系可得1分.建系过程在方法一已给出. (i)【以A为坐标原点，BC的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AP的方向为之轴正方向，建立空 间直角坐标系Axyx】,不妨设F(2,x,0),A∈[-1,2]，则P序=(0,2，-2)，BD=(2,-3,0),O京= (1a-1,-2) …13分 n·PB=0 y-之=0 记平面PBD的法向量n=(x,y,z),则 ,即 n·BD=0 (2x-3y=0 可取n=（3,2,2),………………………14分 A 记直线OF与平面PBD所成角为0，sin0= 485|n.oi 3-- 85 nOF 13+2λ-2-1 4入 ………16分 +2+21+d-1D+ √17√4λ2-8入+9 即入2十8入一9=0，解得入=1或入=-9（舍去），故DF=入十1=2.… 17分 【高二数学试题参考答案第7页（共7页）】2025年下学期10月高二联考 请在各题目的答题区域肉作答，超出矩形边框限定区城的答案无效 情在各是目的管期区健内作管，围出矩形边相限定区威的著常无数 数学答题卡 15.(本小题满分13分】 16.(本小题满分15分)》 姓名 班级 贴条形码区 考号 考生禁填缺考考生，由监考员后条形阴，并用组帮笔填涂右国的峡考标记： 1答赠馆，考生务必清楚地将自己的性名。准考证号填写在规定的位置，裁准条 正确填涂 ■ 形码上的准考证号、娃名与本人相符并完全正确及考试科日也相符后，将条 填 形玛粘贴在规定的位置 情误填涂 涂 力 2选渐邀必渊使用B价笔填涂：春选并题必须使用5毫来黑色墨水落字笔作答 金 字体工整。笔凌清能。 例 项支考生必圳在答题卡各题口的规定答灿区域内答题，想出答源区域范倒书写的答 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4,保持卡面请，不准折叠、不得并 选择题（请用2B铅笔填涂】 1[A][B][C][D] 5[AJ[B][C】[D 9[A][B][c][D] 2[A][B][c][o] 6[AJ[B][C][D] 10[AJ[B][C][o] 3[AJ[B][c][D] 7[A][B][c][o] 11 [A][B][C][o] 4[AJ[B][c][D] 8 [A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各慕目的答题这硬内作答，题出矩形边框限定区域的答煮无效 南在备题日的答题区城内作善，起出矩形边框限定区城的答案无效 请在各题目的苦盟区域内作著，短出矩形边摇限定区域的著案无效 高二数学第1页（共2页） 请在各题日的客盖区城内作著，短出矩形边框限定区城的答案无效 请在各遭目的苦题区域内作著，租出矩形边框限定区域的答案无效 请在各塑日的苦■区碱内作者，短出矩形边框限定区域的答塞无效 17.(本小题满分15分) 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分) 清在各题目的答通区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 嘴在各醒目的答题区域内作落，服出矩形边框限定区域的答斋无效 请在各题目的答题区域内作答，题出矩形边框限定区域的答案无效 高二数学第2页（共2页）