精品解析：四川省成都市玉林中学2025-2026学年度高三上期中考试数学试题

玉林中学高2023级2025-2026学年度高三上期中考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ） A. 5或 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件. 【详解】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上：. 故选：D 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】A 【解析】 【分析】列举反例可判断A选项，根据不等性质可判断BCD选项. 【详解】A选项：取，，，，则，，所以，A选项错误； B选项：若，又，则，B选项正确； C选项：若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，C选项正确； D选项：若且，则，所以，D选项正确； 故选：A. 3. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 4. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 5. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准差最大，即方差最大，应用方差求法求出各项对应的方差，即可得. 【详解】由标准差最大，即方差最大， A：平均数为，则方差为， B：平均数为，则方差为， C：平均数为，则方差为， D：平均数为，则方差为， 综上，B的标准差最大. 故选：B 6. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标，即可得直线与的方向向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得. 【详解】取中点建立如图所示空间直角坐标系， 设正四面体边长为，则，，， 由正四面体性质可得，则， 即，则，， ，， 则， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得点坐标和离心率，设右焦点为到右准线的距离是，根据准线方程即可得，从而得到当垂直于右准线时，取得最小值，再根据点在双曲线上，即可求点的坐标. 【详解】由双曲线知，，，，所以右焦点为，离心率， 右准线方程是，点在双曲线内， 设右焦点为，点到右准线的距离是，则， 所以，所以， 当垂直于右准线时，取得最小值， 此时可设，因为是双曲线上的一点，代入双曲线方程可得， 所以，所以点的坐标为. 故选：B 8. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】由题意可知，因为对任意恒成立,所以，即， 设，，则 ， ， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以，解得. 实数a的取值范围是. 【点睛】解决此题的关键是用分离参数法求解不等式恒成立问题，再利用导数法求函数的最值即可. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，先由求得，然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：当时，；当时，， 经检验，当时，，故，A正确； 对于B：令，则，故当时，，故和为中的最大项，B错误； 对于C：，C正确； 对于D： ，D错误． 故选:AC 11. 已知函数 及其导函数的定义域为，记 ，若 为奇函数， 为偶函数，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知有，，进一步可得即可判断B，举出反例即可判断A，求导得，，进一步得以及的周期为8，由此即可判断C，在中，依次令可得，结合的对称中心以及周期性可得，由此即可判断D. 【详解】对于B，若 为奇函数， 为偶函数，则，， 所以，故B符合题意； 对于A，在中，令，可得，而由B选项分析可知的周期是8， 所以不一定成立，事实上，我们可以举出反例，， 而是奇函数，是偶函数，满足题设， 但此时，故A不符合题意； 对于C，对等式，两边关于求导并结合， 依次可得，， 所以，所以的周期为8， 在中，令，可得， 从而，故C符合题意； 对于D，在中，依次令，可得 ， 从而， 由可知是函数的对称中心， 又的周期为8，所以， 综上所述，，故D符合题意. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键构造出合适的反例，由此即可顺利得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 13. 已知是公差不为零的等差数列，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列的通项公式，求出首项与公差的关系，将所求的式子用公差表示，即可求解. 【详解】由条件可知， . 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算，以及等差数列性质的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 14. 已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 【答案】4 【解析】 【分析】作，，，与的夹角为，不妨设，利用两角差的正切公式得，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图，作，，，与的夹角为，不妨设， 则 ， 当时，最大，即最大，此时． 故答案为：4. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 （1），， ，故。 （2）平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由得： 令，则，则． 故，． 所求二面角的余弦值。 【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力． 17. 在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如下表： 数学成绩 90 99 101 104 111 112 113 117 123 130 物理成绩 65 66 52 67 72 73 72 77 69 87 （1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程（精确到0.01）； （2）已知参加该次考试的10000多考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望． 参考数据： 1100 700 77714 122270 49730 参考公式： ①对于一组数据，，…，， 样本相关系数，当时，，其回归直线的斜率为． ②对于一组数据：，，…，，其方差． ③若随机变量，则，，． 【答案】（1）有，； （2）8413. 【解析】 【分析】（1）根据参考公式求出相关系数，与比较可得结果，由参考公式和参考数据可求得关于的回归直线方程； （2）求出，，从而求得，则，进而可得结果. 【详解】（1）相关系数 所以有95%的把握认为变量与具有线性相关关系. ，， 所以关于的回归直线方程为. （2）由（1）可知，， 所以10000名考生的物理成绩， 所以， 所以物理成绩不低于61.5分的人数， 所以. 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点在的渐近线上，且点到渐近线的距离为2，动直线交于两点. （1）求的方程； （2）若的方程为，点在上，且其横坐标与点的横坐标均不相等，证明：直线与直线的斜率之积为定值； （3）若经过点，直线与轴分别交于点，且的中点为，证明：为定点，并求点到的距离最大时的方程. 【答案】（1） （2） 设，， 由题可知，且,关于原点对称，所以. 因为的方程为，所以， 所以. 所以， 所以直线与直线的斜率之积为定值. （3） 由（1）知，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，，. 由消去可得， 则，得，且. ，且. 如图，由三点共线，得， 同理， 因此 ， 所以， 故的中点为定点. 因为恒过点， 所以当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 此时的方程为，即. 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离为和点在渐近线上，可以求得双曲线的方程； （2）设出点，，根据两点关于原点对称，以及三点在双曲线上消去纵坐标后代入斜率公式，最终化简即可得到定值； （3）由三点共线，可以求得点的纵坐标，同理可以求得点的纵坐标，从而求得中点的坐标；又由直线与双曲线方程联立，消去后根据韦达定理得到和，代入的纵坐标，化简可得为定值；又根据直线过定点，所以当直线与垂直时，点到的距离最大. 【小问1详解】 因为焦点到渐近线的距离为，所以， 又点在渐近线上，所以， 解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程； （II）若，求的极值； （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ) 的极大值为6，极小值为−6；(Ⅲ) 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，=−1，可得切线方程为x+y=0；（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解得x= t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；函数极小值为f(t2+)=−6；（III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是 【详解】（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x， 故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1， 又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0． （Ⅱ）由已知可得 f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2． 故=3x2−6t2x+3t22−9． 令=0，解得x=t2−或x=t2+． 当x变化时，，f(x)的变化如下表： x (−∞，t2−) t2− (t2−，t2+) t2+ (t2+，+∞) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6， 函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6． （Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解， 令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0． 设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点． =3x3+(1−d2)． 当d2≤1时，≥0，这时在上R单调递增，不合题意． 当d2>1时，=0，解得x1=，x2=． 易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增． g(x)的极大值g(x1)=g()=>0． g(x)的极小值g(x2)=g()=−． 若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意． 若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意． 所以，的取值范围是． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉林中学高2023级2025-2026学年度高三上期中考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ） A. 5或 B. C. 5 D. 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 3. A. B. C. D. 4. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为中的最大项 C. D. 11. 已知函数 及其导函数的定义域为，记 ，若 为奇函数， 为偶函数，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 13. 已知是公差不为零的等差数列，且，则________ 14. 已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值大小． 17. 在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如下表： 数学成绩 90 99 101 104 111 112 113 117 123 130 物理成绩 65 66 52 67 72 73 72 77 69 87 （1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程（精确到0.01）； （2）已知参加该次考试的10000多考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望． 参考数据： 1100 700 77714 122270 49730 参考公式： ①对于一组数据，，…，， 样本相关系数，当时，，其回归直线的斜率为． ②对于一组数据：，，…，，其方差． ③若随机变量，则，，． 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点在的渐近线上，且点到渐近线的距离为2，动直线交于两点. （1）求的方程； （2）若的方程为，点在上，且其横坐标与点的横坐标均不相等，证明：直线与直线的斜率之积为定值； （3）若经过点，直线与轴分别交于点，且的中点为，证明：为定点，并求点到的距离最大时的方程. 19. 设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程； （II）若，求的极值； （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $