专题01 三角形9考点（期末真题汇编，新疆专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形 9大高频考点概览 考点01 三角形的边 考点02 三角形的高相关计算 考点03 三角形的中线 考点04 三角形的角平分线 考点05 三角形稳定性 考点06 三角形内角和定理的应用 考点07 与角平分线有关的三角形内角和问题 考点08 与平行线有关的三角形内角和问题 考点09 三角形的外角 地 城 考点01 三角形的边 1．(23-24八上·新疆喀什·期末)下列三条线段，能组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．8，8，5 C．1，4，7 D．1，2，3 2．(23-24八上·新疆阿克苏·期末)下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 地 城 考点02 三角形的高相关的计算 1．(22-23八上·新疆乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期末)如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ）． A．1 B． C．2 D．4 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十六中学教育集团·期末)如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 3．(24-25八上·新疆喀什·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出中边上的中线，并写出点M的坐标； (2)在图中画出中边上的高，并写出点N的坐标； (3)在图中画出线段关于x轴对称的图形． 4．(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)画出与关于轴对称的图形； (2)画出的边上的高． 5．(23-24八上·新疆阿克苏·期末)如图，在平面直角坐标系中，其中，点，，的坐标分别为，，． (1)作关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出将向下平移个单位长度得到的，并求的面积． 6．(24-25八上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴的轴对称图形（的对称点分别是、、），并直接写出、、的坐标； (2)求的面积． 7．(23-24八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的． (2)请计算的面积． (3)在轴上求作一点，使点到A、B两点的距离和最小，请标出点，并直接出点的坐标______． 8．(23-24八上·新疆喀什·期末)在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 地 城 考点03 三角形的中线 1．(24-25八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，的面积为平分于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)如图，已知是的中线，且的面积为6，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 3．(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏·期末)如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 4．(24-25八上·云南昆明·)如图，在中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．(24-25八上·新疆哈密·期末)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________．（写出详细解答过程．） （3）如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：． 地 城 考点04 三角形的角平分线 1．(23-24八上·新疆喀什·期末)在中，平分，交于D，E是上一点，，交于F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十三中学·期末)如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 地 城 考点05 三角形的稳定性 1．(24-25八上·新疆喀什·期末)以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 地 城 考点06 三角形内角和定理的应用 1．(24-25八上·新疆昌吉回族·期末)如图，在中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在中，，为上任意一点（不与点重合），将点分别以为对称轴，画出对称点，并连接，则的度数为 ． 3．(24-25八上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，连接，，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列结论：①；②；③．其中正确的有 ．（填序号） 4．(24-25八上·新疆喀什·期末)在△ABC中，，，则 ． 5．(24-25八上·新疆阿克苏阿瓦提第七中学·期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，， ，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 6．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十三中学·期末)如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 7．(23-24八上·新疆乌鲁木齐新疆师大附中·期末)（1）操作实践；如图，中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可） （2）分类探究：已知中的最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请直接写出中最大内角的所有可能值． 8．(22-23八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期末)线段上有一点C，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接交于M，连接交于N，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)判断的形状，并证明． 地 城 考点07 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．(23-24八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，在中，，点分别在边上，并且分别是的角平分线，请写出之间的数量关系 ． 2．(24-25八上·新疆生产建设兵团·期末)如图，在中，是的平分线，是三角形的高，且， ，求和的度数 3．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第八中学·期中)如图，在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 4．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期末)如图，中，，，中线与角平分线相交于点F，求的度数． 地 城 考点08 与平行线有关的三角形内角和问题 1．(24-25八上·新疆吐鲁番·期中)如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点09 三角形的外角 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，是某平板电脑支架，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小，若增大．则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 3．(24-25八上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中)如图，在中，，，则的度数为 ． 5．(24-25八上·新疆昌吉回族·期末)如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ． 6．(23-24八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，在中，，，则外角 度． 7．(22-23八上·新疆乌鲁木齐新区第七十中学·期末)如图，一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．若这条船继续向正北航行，再航行 海里，小船与灯塔的距离最短．    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 9大高频考点概览 考点01 三角形的边 考点02 三角形的高相关计算 考点03 三角形的中线 考点04 三角形的角平分线 考点05 三角形稳定性 考点06 三角形内角和定理的应用 考点07 与角平分线有关的三角形内角和问题 考点08 与平行线有关的三角形内角和问题 考点09 三角形的外角 地 城 考点01 三角形的边 1．(23-24八上·新疆喀什·期末)下列三条线段，能组成三角形的是（    ） A．2，4，6 B．8，8，5 C．1，4，7 D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是2、4、6的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是5、8、8的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是1、4、7的线段能不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是1、2、3的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2．(23-24八上·新疆阿克苏·期末)下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形的三边关系定理． 【详解】解：、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 地 城 考点02 三角形的高相关的计算 1．(22-23八上·新疆乌鲁木齐天山区新疆生产建设兵团第一中学·期末)如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴ ∵是中线，即点是的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得． 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十六中学教育集团·期末)如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 3．(24-25八上·新疆喀什·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出中边上的中线，并写出点M的坐标； (2)在图中画出中边上的高，并写出点N的坐标； (3)在图中画出线段关于x轴对称的图形． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析， (3)图见解析 【分析】本题考查了轴对称变换作图及点的坐标特征，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键． （1）利用网格即可画出图形，确定点的坐标； （2）利用网格即可画出图形，确定点的坐标； （3）根据轴对称图形的做法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示：点M即为所求；； （2）如图所示，高即为所求，； （3）线段关于x轴对称的图形为线段，如图所示． 4．(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． (1)画出与关于轴对称的图形； (2)画出的边上的高． 【答案】(1)画图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是画轴对称图形，画三角形的高，全等三角形的判定与性质； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）如图，取格点，连接交于，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴为的边上的高． 5．(23-24八上·新疆阿克苏·期末)如图，在平面直角坐标系中，其中，点，，的坐标分别为，，． (1)作关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)画出将向下平移个单位长度得到的，并求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，5 【分析】本题考查作图—轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求， ，的面积为． 6．(24-25八上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴的轴对称图形（的对称点分别是、、），并直接写出、、的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，，， (2) 【分析】本题主要考查轴对称变换的作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C的对称点，，，顺次连接即可得，然后直接写出对应点的坐标即可； （2）利用割补法求解可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图知：，，； （2）解：． 7．(23-24八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的． (2)请计算的面积． (3)在轴上求作一点，使点到A、B两点的距离和最小，请标出点，并直接出点的坐标______． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)点P的坐标作图见解析， 【分析】本题考查了作图，轴对称变换，求一次函数解析式，掌握轴对称变换的定义和性质，是解答本题的关键． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接，得到答案； （2）依据割补法进行计算，即可得到的面积； （3）作点A关于轴的对称点，连接，与轴交于点P，设直线的函数解析式，分别将代入，求出解析式，令，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）根据割补法的面积为： （3）如图所示：作点A关于轴的对称点，连接，与轴交于点P， ， 由两点之间线段最短得：当点，P，B共线时，取最小值， 设直线的函数解析式为， 将，代入得： 解得： 所在直线的函数解析式为， 当时时，，即点P的坐标为． 故答案为： 8．(23-24八上·新疆喀什·期末)在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解， (2)见详解， (3) 【分析】本题主要考查作已知图形的轴对称图形和求网格中三角形面积， （1）根据关于x轴对称的性质分别求得对应点，顺次连接即可求得对称图形； （2）根据关于y轴对称的性质分别求得对应点，顺次连接即可求得对称图形； （3）将三角形放入矩形中，利用网格的特性结合等面积求解， 【详解】（1）解：根据关于x轴对称的性质得，如图， （2）根据关于y轴对称的性质得，如图， （3）． 地 城 考点03 三角形的中线 1．(24-25八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，的面积为平分于，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于点，证明，得到，根据三角形的中线平分面积，推出的面积为的面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点， ∵平分于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．(24-25八上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)如图，已知是的中线，且的面积为6，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，因为是的中线，且的面积为6，所以，即可作答． 【详解】解：∵是的中线，且的面积为6， ∴， 故选：D． 3．(24-25八上·新疆阿克苏阿克苏·期末)如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．(24-25八上·云南昆明·)如图，在中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线求三角形的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵点D是边的中点，的面积等于8， ， ∵E是的中点， ， 故选：A． 5．(24-25八上·新疆哈密·期末)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，证明：． 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________．（写出详细解答过程．） （3）如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据是的中线，得，再结合，通过定理证明； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长到，使，连接，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质和等腰三角形的判定可得结论； 【详解】（1）解：，理由如下： 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是：； 故答案为：； （3）解：延长到，使，连接，如图②所示： 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，中线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 地 城 考点04 三角形的角平分线 1．(23-24八上·新疆喀什·期末)在中，平分，交于D，E是上一点，，交于F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角定理以及角平分线的性质．根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十三中学·期末)如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可． 【详解】解：， ， 分别平分， ， ， ，故正确； 在上取一点，使， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故②正确； 无关联， 不一定成立，故③错误； 延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 不一定相等， 不一定成立，故④错误； 如上图，， ， ，即， ，故⑤正确． 综上，结论①②⑤正确, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线性质、角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，通过构造辅助线证三角形全等是解题的关键． 地 城 考点05 三角形的稳定性 1．(24-25八上·新疆喀什·期末)以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形的稳定性，关键在于熟记三角形具有稳定性的特征． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得A、B、D都具有稳定性，不具有稳定性的是C选项． 故选：C． 地 城 考点06 三角形内角和定理的应用 1．(24-25八上·新疆昌吉回族·期末)如图，在中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得是线段的垂直平分线，得到，再根据，，由三角形内角和定理可得，由，即可求解． 【详解】解：根据作图可得是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了尺规作垂直平分线，等边对等角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握垂直平分线的性质，等边对等角的性质是解题的关键． 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在中，，为上任意一点（不与点重合），将点分别以为对称轴，画出对称点，并连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质和三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，由对称得，由三角形内角和求得即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由对称得， ∴ ； ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，连接，，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列结论：①；②；③．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以①正确，对应角相等可得，运用三角形内角和性质列式，即可得出，然后证明与全等，本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形内角和性质，难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键． 【详解】解：∵在同侧分别作等边三角形和等边三角形， ∴，，， ∴ 即， 在与中， ， ∴ ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴ 即， 故②是错误的； ∵（已证）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ 故③小题正确； 故答案为：①③． 4．(24-25八上·新疆喀什·期末)在△ABC中，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 5．(24-25八上·新疆阿克苏阿瓦提第七中学·期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，， ，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°． (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【答案】(1)12 (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设这个三角形中最小的内角为，根据题意结合三角形内角和定理得出，求解即可； （2）分两种情况：当是“开心角”时，当不是“开心角”时；分别求解即可； （3）由题意可得另一个“开心角”是，由三角形内角和定理可得第三个内角是，由题意可得，求解即可． 【详解】（1）解：设这个三角形中最小的内角为， ∵为开心三角形，， ∴， 解得：， ∴这个三角形中最小的内角为； （2）解：∵为开心三角形，， ∴当是“开心角”时，最小角为； 当不是“开心角”时，设这个三角形中最小的内角为， 则， 解得：，此时最小角为， 综上所述，这个三角形中最小的内角为或 （3）解：∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个“开心角”是， ∴第三个内角是， ∵是最小的内角， ∴， ∴， ∴． 6．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第十三中学·期末)如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ， 即， 在和中，， ， ； （2）解：∵， ， ， ． 7．(23-24八上·新疆乌鲁木齐新疆师大附中·期末)（1）操作实践；如图，中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可） （2）分类探究：已知中的最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请直接写出中最大内角的所有可能值． 【答案】（）画图见解析；（）画图见解析；的最大内角可能值是或或或． 【分析】（）根据要求作出图形即可； （）分四种情形，分别作出图形求解即可； 本题考查作图-应用与设计作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（）如图， （）设分割线为， 图的最大角， 图的最大角， 图的最大角， 图的最大角， 故的最大内角可能值是或或或． 8．(22-23八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期末)线段上有一点C，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接交于M，连接交于N，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)判断的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）由，，可得，再结合可得答案； （3）由，根据平角的等于可求得，即可得，证明，根据全等三角形的性质可得；根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形，即可判定是等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即： ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． （3）∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平角的性质，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平角的性质． 地 城 考点07 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．(23-24八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，在中，，点分别在边上，并且分别是的角平分线，请写出之间的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，延长到点，使，连接，如图所示，由题中条件及三角形内角和得到各个角度，再由角平分线性质确定角的和差倍分关系，进而由两个三角形全等的判定定理确定，利用全等性质等量代换即可得到答案，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵分别是的角平分线，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．(24-25八上·新疆生产建设兵团·期末)如图，在中，是的平分线，是三角形的高，且， ，求和的度数 【答案】； 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据角平分线的定义可以求得的度数，再根据三角形内角和定理可以求得的度数，然后根据直角三角形两个锐角互余可以求得的度数． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 3．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第八中学·期中)如图，在中，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第七十中学·期末)如图，中，，，中线与角平分线相交于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 地 城 考点08 与平行线有关的三角形内角和问题 1．(24-25八上·新疆吐鲁番·期中)如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 地 城 考点09 三角形的外角 2．(24-25八上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，是某平板电脑支架，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小，若增大．则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键．根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，和各增加， ∵， ∴当增加时，减小， 故选：D ． 3．(24-25八上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，30度所对的直角边是斜边的一半，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键，先算出，则，运用三角形外角性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 4．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中)如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·新疆昌吉回族·期末)如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】先由三角形的内角和定理得，又是的角平分线，则，从而证明，再由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．(23-24八上·新疆伊犁哈萨克·期末)如图，在中，，，则外角 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解此题的关键． 根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】在中，，， ， 故答案为：107． 7．(22-23八上·新疆乌鲁木齐新区第七十中学·期末)如图，一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．若这条船继续向正北航行，再航行 海里，小船与灯塔的距离最短．    【答案】15 【分析】首先根据题意求出，然后根据等边对等角得到，过点C作于点P，得到线段的长为小船与灯塔C的最短距离，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】∵一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处， ∴海里， ∵，， ∴， ∴海里， 如图，过点C作于点P．    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，． 又∵， ∴． 在中，， ∴（海里）， ∴再航行15海里，小船与灯塔的距离最短． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $