专题一 微专题2 向量模几何意义与三角形四心讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题一 三角函数与解三角形 微专题2 向量模几何意义与三角形四心 一、考点透析 考点1 平面向量模的几何意义 1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（    ） A．-3 B．0 C．1 D．4 【答案】A 【详解】 法1：因为,所以， 即，点P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，由极化恒等式知， =-=-4=-3，故选：A 法2：设点，则， ，所以， 因为，所以， 整理可得， 所以 故选：A 2.（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 3．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 故选：D 考点2 重心问题 1．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 2．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【详解】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 考点3 外心 1．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【详解】因为， 所以， 设的中点为，则，则， 即，所以，所以点在线段的中垂线上， 故点的轨迹过的外心. 故选：C． 2． 中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【详解】设，， 以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系， ， ，， 则，，，，则， 设，则， ， ，即， 即点的轨迹方程为， 而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心， 故选：A. 考点4 内心 1．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】延长交于，延长交于，延长交于， ， 又因为，所以， 而共线，则存在实数，使得， 所以. 因为不共线，所以，， 所以，所以是的平分线，同理都是的内角平分线， 所以为的内心. 故选：B. 考点5 垂心 1．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 2．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 考点6 奔驰定理 1．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【详解】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 2．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即，所以.故选：A 2、 跟踪练习 1．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【详解】由 ，则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 2．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】由， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D 3．已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由 得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 4．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意，设等边的边长为，以的中点为原点，以分别为轴建立直角坐标系，可作图如下： 由为等边的重心，则，，即，， 设，则，， ， 对于，，故. 故答案为：. 5．设点在内部，且，则与的面积之比为 . 【答案】 【详解】因为点在内部，满足奔驰定理，且， 所以与的面积之比为， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 三角函数与解三角形 微专题2 向量模几何意义与三角形四心 一、考点透析 考点1 平面向量模的几何意义 1．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（    ） A．-3 B．0 C．1 D．4 2.（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 3．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 考点2 重心问题 1．已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 2．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 考点3 外心 1．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2． 中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 考点4 内心 1．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 考点5 垂心 1．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 考点6 奔驰定理 1．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 2．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 2、 跟踪练习 1．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 4．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 ． 5．设点在内部，且，则与的面积之比为 . 学科网（北京）股份有限公司 $