微专题 垂直弦、平行弦和弧中点模型（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

微专题 垂直弦、平行弦和弧中点模型 题型1 垂直弦模型 题型2 平行弦模型 题型3 弧中点模型（已知弧中点得垂直） 题型4 弧中点模型（已知弧中点得角相等） 【模型解读】 相关定理与性质 图示 相交弦定理： 弦的中点与垂直关系：连接的中点与点并延长后可得，反之由垂直亦可得中点；过点作于点，则到其中一连线（）的距离等于另一连线（）的一半，即 线段平方和性质： （为的半径） 平行弦定理： 在同圆中，圆中的两条平行弦所夹的弧相等；反之，连接圆中两等弧端点的不相交的弦是平行弦. 题型一、垂直弦模型 1．已知四边形内接于圆，对角线与垂直相交于点，点分别为的中点，求证：．    【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、圆周角定理 【分析】作直径，根据三角形中位线定理求得，根据直角三角形斜边中线的性质求得，再利用等角的余角相等求得，推出，据此即可证明． 【详解】证明，作直径，连接，    ∵点G、O分别为、的中点， ∴， ∵，点F为的中点， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、利用垂径定理求解其他问题、圆周角定理 【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）利于等边对等角的性质得到，，利用三角形的内角和得到，即可得到，再由圆周角的性质等量代换即可； （2）连接，由垂径定理推出，，利用勾股定理建立式子运算出的长，再利用中位线定理即可推出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，则，如图所示： ∵， ∴， ∴，， 在中，，在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴为的中位线， ∴． 3．已知四边形内接于，对角线与交于点． (1)如图1，若为直径，点是中点，． ①求证：； ②求的长； (2)如图2，若，，且、不过点，、分别为、的中点，连接，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)①见解析；② (2)四边形为菱形，理由见解析 【知识点】证明四边形是菱形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）①根据两个角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； ②作，垂足为，证明为等腰直角三角形，求出，根据，得出，求出结果即可； （2）连接，，，，证明、为直角三角形，得出，，证明，得出，证明，同理，即可证明结论． 【详解】（1）证明：①∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ②作，垂足为，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 为等腰直角三角形 ， ， ∵， ∴， ∴， ； （2）解：四边形为菱形，证明如下： 连接，，，，如图所示： ， ， ， 即， ， ∵分别为的中点， ， ， ∴、为直角三角形， ∴，， ， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∵， ， ∵点P为的中点， ∴， 同理， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 4．问题背景：如图①，在中，为直径，为上一点，过点的弦，点是弧上一点（不与B、C重合）． (1)如图②，当点P与点O重合， ①__________； ②若半径为2，设与交于点的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由； ③当点E位置发生变化时，试证明：． (2)如图③，若为常数，且， ①__________．（用含有的代数式表示）； ②存在一个大小确定的，对于点E的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的大小． 【答案】(1)①；②为定值，定值为8；③证明见解析 (2)①；②45 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由圆周角定理即可求解；②证明，根据边成比例即可求解；③连接，设半径为r．证明，根据边成比例，用表示出，从而可表示出；证明，根据边成比例用表示，从而表示出，从而可证明； （2）①连结，证明，由，及相似三角形对应边的比例关系即得，再证明，同理可得；②由，得，由是定值．可知的值与无关，则，此时为定值1，此时点与点重合，可得． 本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理等． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 故答案为：45； ②∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为定值8； ③连接，设半径为r， 由②知， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连结 是直径， ∴． ， ， ， ∵ ． 又∵是的直径， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ； （2）由（1）得， ，即． ∴． 若是定值，则的值与无关． ∴，此时为定值1，且点与点重合，如图： ∵， 是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴存在半径为1的，对于点的任意位置，都有的值是定值1，此时的度数为． 题型二、平行弦模型 5．如图，线段是内两条平行弦，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补、等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理以及等边对等角，平行线的性质，先根据，得出，因为半径相等，所以，结合两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ 故选：B 6．如图，是的直径，为的弦，且．若，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】连接，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据，可得，，即，问题随之得解． 【详解】连接，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 7．如图，、是的直径，弦，弧为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】连接，利用等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质计算即可. 【详解】连接， 解：∵弧为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，圆的性质是解题的关键. 8．如图，是的一条弦，点C是的中点，连接，交于点D，连接，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质，连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B．    题型三、弧中点模型（已知弧中点得垂直） 9．如图，是的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】连接交于F，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到BC的长． 【详解】解：连接交于F，如图， D是弧的中点， ， ， 是直径， ， ， ， E是的中点， ， ， ， ， ∵点为的中点， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，也考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 10．如图，是的直径，点为圆上一点，，是的中点，与交于点，若，则的长为． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接交于点，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据可得，推出，根据直径所对的圆周角为90度可得，通过证明可得，设，则，通过证明可得，进而可得，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ，点为圆心，为弦， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 即， ， ，， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得或（负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等．涉及知识点较多，有一定难度，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质，确定点的位置是解答本题的关键．连接，，，作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，根据圆周角定理可求得的度数，根据垂径定理得，得到的度数，进而得到、的度数，过点作交于点，利用勾股定理解直角三角形即可求得的长，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，，作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长． ， ， 为弧的中点， ， 根据垂径定理得， ， ， ， ， ， 过点作交于点， ， ， ，即的最小值为． 故答案为：． 12．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为． 【答案】15 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 题型四、弧中点模型（已知弧中点得角相等） 13．如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接，过点B作直线交于E，交于F，若点F是弧的中点，连接 (1)求证： (2)当时，求圆O的面积 (3)若，试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，理由见详解 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】（1）根据弧中点性质得到，根据平行弦性质得到，得到，得到，即得； （2）作于点M，连接，则，根据平行弦性质和弧中点特得到，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得； （3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得． 【详解】（1）∵点F是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作于点M，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）．理由如下： 同（2），作于点M，连接， 由（2）知，，，， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键． 14．如图，在中，是的外接圆，连接并延长交于点，连接．在上取一点，使，连接与交于点． (1)试求与的数量关系． (2)求证：． (3)已知的半径为2，若， ①试判断的形状；②求的面积． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 (3)①为等腰直角三角形；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，从而得出，进而得出，由直径所对的圆周角等于得出，从而得出； （2）连接，由得出垂直平分，从而得到，再证明，即可得出结论； （3）①由，得出，从而得出，进而得出，由平行线的性质可得，结合，即可得出结论；②接并延长交于点，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得，再由即可得出答案． 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ， ． ， ． 是直径， ， ． ， ． （2）证明：连接， ， 垂直平分， ， ． ， ． ， ， ． （3）解：①， ． ． ， ， ． ， 为等腰直角三角形． ②连接并延长交于点， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ， ． 15．如图，点P是等边三角形的边上的动点（），作的外接圆交于D．点E是上一点，且，连接，且交于F． ‍   (1)求证：； (2)当点P运动变化时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (3)探究线段间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)∠BFD的度数不变，为60° (3)BF＝CE+EF，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质可得，，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得，从而利用证明，进而可得，最后利用等量代换可得，从而可得，再利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，即可解答； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用三角形的外角性质可得，即可解答． （3）延长交于点，先证明是等边三角形，然后证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示，    是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ； （2）解：当点运动时，的度数不会变化，理由如下： ， ， ， ， 的度数为． 当点运动时，的度数不会变化． （3）解：，理由如下： 延长交于点，    ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， 连接， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2/28 1/28 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题 垂直弦、平行弦和弧中点模型 。目录预览核心知晓。 题型1垂直弦模型 题型2平行弦模型 题型3孤中点模型（已知孤中点得垂直） 题型4孤中点模型（已知孤中点得角相等) 。微点突破提升能力。 【模型解读】 相关定理与性质 图示 相交弦定理：PA·PB=PC·PD 弦的中点与垂直关系：连接AC的中点H 与点P并延长后可得HG⊥BD,反之由 垂直亦可得中点；过点O作OE⊥BD于点 E,则O到其中一连线(BD)的距离等 B 于另一连线（AC)的一半，即 AC=20E ⊙ 线段平方和性质： PA2+PB2+PC2+PD2=4r2 0 B (r为⊙O的半径) 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平行弦定理： B 在同圆中，圆中的两条平行弦所夹的弧相 等；反之，连接圆中两等弧端点的不相交 的弦是平行弦 题型一、垂直弦模型 C∠例1已知四边形ABCD内接于圆O,对角线AC与BD垂直相交于点E,点F,G分别为AB,CD的 中点，求证：EF=OG. D 【变式1-1】如图，ABC内接于OO,AB为O0的直径，点D在OO上，连接CD、BD,BD=BC，,延 长DB到点E,使得BE=BD,连接CE. (1)求证：LA+∠E=90°： ②老o0的半径为2，BC=5,求cE的长」 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-2】己知四边形ABCD内接于⊙0，对角线AC与BD交于点E. E D B B 图1 图2 (I)如图1，若AC为直径，点B是AC中点，AD=2,BD=3√2. ①求证：△BCE∽△BDC; ②求DC的长； (②)如图2，若AC=BD,AC1BD,且AC、BD不过点O,P、Q分别为AB、CD的中点，连接 PE、EQ、QO、OP,试猜想四边形PEOO的形状，并证明你的猜想. 【变式1-3】问题背景：如图①，在O0中，AB为直径，P为AB上一点，过点P的弦CD⊥AB,点E是 弧BC上一点（不与B、C重合）. B B D 图① 图② 图③ (1)如图②，当点P与点O重合， ①∠DEB= ②若⊙O半径为2，设DE与AB交于点F,DF·DE的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说 明理由； ③当点E位置发生变化时，试证明：DE-CE=√2BE· 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图③，若AP=1,BP=m(m为常数，且m>O),AH⊥DE, ①BE ·(用含有m的代数式表示)： DH ②存在一个大小确定的O0,对于点E的任意位置，都有BE2-2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠E的 大小 题型二、平行弦模型 心（例2如图，线段AB、CD是00内两条平行弦，若LA=23°，LB=34°，则L0DB的度数为(） B D A.9° B.11° C.13 D.15° 【变式2-1】如图，CD是⊙0的直径，AB为⊙0的弦，且AD∥OB,若∠BAD=110°，则∠D的度数为 (). D B A.45° B.40° C.35 D.30° 【变式2-2】如图，AB、CD是⊙0的直径，弦CE∥AB,CE弧为100°，则∠AOC的度数为() 48 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E A.30 B.39 C.40° D.45° 【变式2-3】如图，AB是⊙0的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC,BD∥OA交⊙0于点D,连 接AD,若LABD=20°，则∠BAD的度数为() D A.50 B.55 C.60° D.65° 题型三、孤中点模型（已知弧中点得垂直） C∠例3如图，AB是00的直径，点C为圆上一点，AC=42,D是弧AC的中点，AC与BD交于点 E.若E是BD的中点，则BC的长为() D B A.5 B.4 C.3 D.2 【变式3-1】如图，AB是⊙F的直径，点C为圆上一点，AC=4,D是AC的中点，AC与BD交于点E, 若FE⊥BD,则BC的长为. D 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】如图，MN是⊙0的直径，MN=2,点A在O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，AP是 直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为， 【变式3-3】如图，AB为OO的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交OO于 点F,若AC=12,AE=3,则O0的直径长为. D B 题型四、弧中点模型（已知弧中点得角相等) △（∠例4如图，已知点D是ABC外接圆O0上的一点，AC⊥BD于G,连接AD,过点B作直线 BF∥AD交AC于E,交OO于F,若点F是弧CD的中点，连接OG,OD,CD 6/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F G (I)求证：BE=CE (2)当CD=3时，求圆O的面积 ③)若4G=6GE,试探究∠G0D与∠ADC之间的数量关系，并证明. 2 【变式4-1】如图，在ABC中，AB=AC,⊙O是ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙0于点D,连接 AD,CD·在CD上取一点F,使DF=AD,连接BF,CF,BF与AC交于点G. D D G 备用图 (I)试求∠ACD与∠ABC的数量关系. (2)求证：CF∥AB (3)己知O0的半径为2，若S.4cp=S.cr, ①试判断△ABG的形状；②求△ABG的面积. 718 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-2】如图，点P是等边三角形ABC的AC边上的动点(0°<∠ABP<30°)，作△BCP的外接圆O0交 AB于D.点E是OO上一点，且PD=PE,连接DE,BE,CE,且DE交BP于F. E 0 P B (I)求证：∠ADE=∠BEC; (②)当点P运动变化时，∠BFD的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数： (3)探究线段BF,CE,EF间的数量关系，并证明. 8/8