重难点 直线与圆的位置关系3类高频考法（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

重难点 直线与圆的位置关系3类高频考法 目 录 题型1 判断直线和圆的位置关系 1 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 5 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 10 题型1 判断直线和圆的位置关系 例1已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式1-1】已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【变式1-2】已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式1-3】如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【变式1-4】如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是 ． 【变式1-5】已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 【变式1-6】如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 例2如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【变式2-2】如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【变式2-4】已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为 . 【变式2-5】已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 【变式2-6】已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 例3如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（     ）． A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R 【变式3-2】已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【变式3-3】已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【变式3-4】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【变式3-5】已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 【变式3-6】如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 直线与圆的位置关系3类高频考法 目 录 题型1 判断直线和圆的位置关系 1 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 5 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 10 题型1 判断直线和圆的位置关系 例1已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【详解】解：∵的半径为，线段，线段 ∴点在以为圆心长为半径的圆上，点在以O圆心长为半径的上 当时，如左图所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如右图所示，过点作于点，则所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【变式1-1】已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可； 【详解】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6， 圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D. 【变式1-2】已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【变式1-3】如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图所示：过的中点作于． 则， ∵， ∴， ∵，即圆心到直线的距离半径， ∴直线与相交； 故答案为：相交． 【变式1-4】如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，此时AB＞8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8＜AB≤10． 【详解】解：当AB与小圆相切， ∵大圆半径为5，小圆的半径为3， ∴． 当AB过圆心时最长即为大圆的直径10， ∴8＜AB≤10． 故答案为：8＜AB≤10． 【点睛】本题综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长． 【变式1-5】已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】运用因式分解来解出的两根，舍去负数，再与比较，即可作答，此题考查了因式分解来解一元二次方程，以及判断圆与直线的关系：记圆心到直线的距离为，圆的半径为，如果，相离；如果，相切；如果，相交． 【详解】解：∵的半径分别为一元二次方程的两根， ∴ 则，（舍）， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交 【变式1-6】如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)2 (2)相离．理由见解析 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，如果圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． （1）作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，根据直线与圆的位置关系得到答案； （2）求出的长，根据直线与圆的位置关系进行判定． 【详解】（1）作于，连接， 则， 则， 答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2； （2）作于， 则， ， ， 所作的圆与直线相离． 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 例2如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 【变式2-1】已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， ∵的面积， ， 即圆心到的距离， ， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式2-2】如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 【变式2-3】已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 【变式2-4】已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为 . 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD. 【详解】设切点为D，连接CD，如图所示 ∵∠C=90º，AC=3，BC=4， ∴ 又∵⊙C与斜边AB相切， ∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径 ∴ ∴ 故答案为. 【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 【变式2-5】已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 【答案】r＞2 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2， ∴r＞2． 故答案为：r＞2． 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的三种位置关系的判定方法是解题的关键. 【变式2-6】已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 例3如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 【变式3-1】若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（     ）． A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R 【答案】D 【分析】直线l与⊙O有公共点，则可得圆与直线相交或相切，根据圆和直线的位置关系，可以得出d与R的大小关系. 【详解】∵直线l与⊙O有公共点， ∴直线l与⊙O相交或相切. ∵圆心到直线l的距离是d， ∴可得d≤R. 故选D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，解决本题的关键是熟记位置关系及名称. 在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断.直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交. 【变式3-2】已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 【变式3-3】已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 【变式3-4】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 5 【分析】（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，于是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1， ， 当点在圆外且，，三点共线时，点到直线的距离最大， 最大值为； （2）如图2，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时， 线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 【变式3-5】已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 【答案】3 【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数． 【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即， ∴， 在上截取，过点D作，交于A、B两点， ∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故答案为：3．    【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键． 【变式3-6】如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 【答案】1或9 【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算． 【详解】解：设将沿轴向下平移个单位后，根据题意作图， ， 由勾股定理：， ， 解得或9， 应将沿轴向下平移1或9个单位后圆与轴交于点． 故答案为：1或9． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系及平移的性质，解题的关键是运用方程的思想解决更简单． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $