重难点 切线17类高频考法（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

重难点 切线17类高频考法 目 录 题型1 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1 题型2 求直线平移到与圆相切时运动的距离 2 题型3 切线的应用 3 题型4 有关切线的概念辨析 4 题型5 判断或补全使直线为切线的条件 5 题型6 证明某直线是圆的切线 6 题型7 切线的性质定理 7 题型8 切线的性质和判定的综合应用 9 题型9 应用切线长定理求解 10 题型10 应用切线长定理求证 11 题型11 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 12 题型12 圆外切四边形模型 13 题型13 三角形内心有关应用 13 题型14 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 14 题型15 三角形内切圆与外接圆综合 15 题型16 圆的综合问题 16 题型17 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 17 题型1 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 例1如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 题型2 求直线平移到与圆相切时运动的距离 例2如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【变式2-2】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【变式2-3】已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 题型3 切线的应用 例3如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（    ） A．              B．                 C．                 D．3 【变式3-2】已知点P是直线上一点，与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果，那么点P的坐标是 ． 【变式3-3】如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 题型4 有关切线的概念辨析 例4下列命题中，真命题是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【变式4-1】下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【变式4-2】当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 题型5 判断或补全使直线为切线的条件 例5如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【变式5-2】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【变式5-3】如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 题型6 证明某直线是圆的切线 例6下列命题中真命题是（    ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【变式6-1】如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【变式6-2】如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【变式6-3】如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．    (1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明） (2)若，求的正切值． 【变式6-4】如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 题型7 切线的性质定理 例7已知矩形，，，点在矩形内，与矩形的一条边相切，且矩形的四个顶点中有两个在内，另外两个在外，那么的半径长可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-1】如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【变式7-3】如图，已知AB是半圆O的直径，AC是弦，将图形ABC沿直线AC翻折，点B落在点D的位置，过点D作DE∥AB．如果DE与圆O相切，那么∠BAC的度数等于 ． 【变式7-4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A'、D'，如果直线A'D'与⊙O相切，若AB=2，那么BC的长为 【变式7-5】如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 题型8 切线的性质和判定的综合应用 例8已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 【变式8-1】如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连接BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠ADC= 度. 【变式8-3】如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【变式8-4】如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 题型9 应用切线长定理求解 例9如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式9-1】如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【变式9-2】如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 【变式9-3】如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 题型10 应用切线长定理求证 例10如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【变式10-1】如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【变式10-2】如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【变式10-3】如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 【变式10-4】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 题型11 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 例11已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【变式11-1】如图，在中，，则内切圆的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【变式11-2】设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【变式11-3】如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 题型12 圆外切四边形模型 例12如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式12-1】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【变式12-2】如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【变式12-3】如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 题型13 三角形内心有关应用 例13如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列说法正确的是（   ） A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等 C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等 【变式13-2】如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 【变式13-3】在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 【变式13-4】已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度． 题型14 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 例14一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【变式14-1】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【变式14-2】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【变式14-3】已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为 ． 【变式14-4】已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 77．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 题型15 三角形内切圆与外接圆综合 例15已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝ ． 【变式15-1】在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 【变式15-2】边长为4的正三角形的内切圆半径为 ． 【变式15-3】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 题型16 圆的综合问题 例16在中，若，，则的面积的最大值为 ． 【变式16-1】在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =. 若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于 . 【变式16-2】如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【变式16-3】如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．   (1)求的半径长； (2)试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 题型17 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 例17如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【变式17-1】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【变式17-2】（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【变式17-3】过圆外一点P作的切线，尺规作图保留作图痕迹，用两种方法． 【变式17-4】如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 2 / 66 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 切线17类高频考法 目 录 题型1 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1 题型2 求直线平移到与圆相切时运动的距离 3 题型3 切线的应用 7 题型4 有关切线的概念辨析 12 题型5 判断或补全使直线为切线的条件 13 题型6 证明某直线是圆的切线 17 题型7 切线的性质定理 21 题型8 切线的性质和判定的综合应用 26 题型9 应用切线长定理求解 31 题型10 应用切线长定理求证 34 题型11 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 38 题型12 圆外切四边形模型 42 题型13 三角形内心有关应用 44 题型14 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 48 题型15 三角形内切圆与外接圆综合 52 题型16 圆的综合问题 56 题型17 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 63 题型1 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 例1如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 题型2 求直线平移到与圆相切时运动的距离 例2如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【变式2-2】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 【变式2-3】已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 题型3 切线的应用 例3如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再判断一元二次方程解的情况即可求解． 【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切， ∴x＝y或x＝﹣y， 当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数解； 当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解； 综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关键． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（    ） A．              B．                 C．                 D．3 【答案】B 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ． 根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短， 又∵A（−4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4． ∴AB＝． ∴OP＝AB＝． ∴PQ＝． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 【变式3-2】已知点P是直线上一点，与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果，那么点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点P作x轴的垂线，垂足为M，然后由垂径定理及勾股定理可得圆的半径，由此可得答案． 【详解】解：根据题意，画出图形如下： ∴，， 过点P作x轴的垂线，垂足为M， ∴，， 在中，， ∵与y轴相切， ∴轴，， ∵与x轴负半轴交于A、B两点， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是切线的性质、垂径定理及坐标与图形的性质，正确作出图形是解决此题的关键． 【变式3-3】如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 【答案】(1) 直线与相切；见解析（2）①3；②6. 【分析】（1）首先由圆的性质得出，然后由圆内接直角三角形得出，，进而得出，即可判定其相切； （2）①首先根据根据元的性质得出，，进而可判定，即可得出半径； ②首先由OP、OB得出OC，然后由切线性质得出，再由判定进而利用相似性质构建方程，即可得解. 【详解】直线与相切； 理由:连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 即， 为上的一点， 直线与相切； ①， ， ， ， ， ， ， 圆的半径为; ②， ， ∵过点作的切线交的延长线于点， ， ，即 【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。即可解题. 题型4 有关切线的概念辨析 例4下列命题中，真命题是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧 C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等 D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题； D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识． 【变式4-1】下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 【变式4-2】当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 题型5 判断或补全使直线为切线的条件 例5如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【变式5-1】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式5-2】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【变式5-3】如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线： （1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案； （2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 题型6 证明某直线是圆的切线 例6下列命题中真命题是（    ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可． 【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题； B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题； C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题； D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键． 【变式6-1】如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 【变式6-2】如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 【变式6-3】如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．    (1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明） (2)若，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，，，然后利用等量代换即可得出，从而证明结论； （2）首先根据勾股定理求出的长度，然后证明，最后利用求解即可． 【详解】（1）连接，如图，   是的直径， ， ， ∵E为的中点， ， ， ， ， ∵切于点，， ， 是的切线 （2）在中， ， ， ， ， ， 即， 连接，则， ，    【变式6-4】如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，平行线的性质，先由垂径定理得到，再由，即可证明，进而可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 点A是的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 题型7 切线的性质定理 例7已知矩形，，，点在矩形内，与矩形的一条边相切，且矩形的四个顶点中有两个在内，另外两个在外，那么的半径长可能是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质．画出图形，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、如图，的半径长为4时，点在边上，不在矩形内，此选项不符合题意； C、如图，的半径长为2时，矩形的四个顶点中最多有一个在内，此选项不符合题意； D、如图，的半径长为1时，矩形的四个顶点中没有一个在内，此选项不符合题意； B、如图，的半径长为3时，矩形的四个顶点中有两个在内，另外两个在外，此选项符合题意； 故选：B． 【变式7-1】如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：，，， ∵， ∴ ∴； 的周长 故选：D 【变式7-2】如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】如图，已知AB是半圆O的直径，AC是弦，将图形ABC沿直线AC翻折，点B落在点D的位置，过点D作DE∥AB．如果DE与圆O相切，那么∠BAC的度数等于 ． 【答案】15°/15度 【分析】过O点作OH⊥DE于H点，过D点作DF⊥AB于F点，如图，利用切线的性质得到OH为⊙O的半径，再证明四边形OHDF为矩形，所以DF=OH，接着利用折叠的性质得到AD=AB，∠BAC=∠DAC，然后根据正弦的定义求出∠DAF=30°，从而得到∠BAC的度数． 【详解】解：过O点作OH⊥DE于H点，过D点作DF⊥AB于F点，如图， ∵DE与圆O相切， ∴OH为⊙O的半径， ∵DE∥AB， ∴OH⊥AB， ∴四边形OHDF为矩形， ∴DF=OH， ∵图形ABC沿直线AC翻折，点B落在点D的位置， ∴AD=AB，∠BAC=∠DAC， 在Rt△DAF中，∵sin∠DAF=， ∴∠DAF=30°， ∴∠BAC=∠DAF=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、折叠的性质和解直角三角形． 【变式7-4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A'、D'，如果直线A'D'与⊙O相切，若AB=2，那么BC的长为 【答案】 【分析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，根据折叠的性质得到AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，根据垂径定理得到CH＝CD，根据切线的性质得到OG⊥A′D′，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E， 如图所示: ∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折， ∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B， 过O作OH⊥CD， ∴CH＝CD， ∵直线A′D′与⊙O相切， ∴OG⊥A′D′， ∵BC∥A′D′， ∴OG⊥BC， ∴四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC， ∴CH＝OE， ∵AB＝CD＝CD′＝A′B＝2， ∴OE＝1， ∴OC＝OG＝， ∴CE＝， ∴BC＝2CE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质,矩形的性质,折叠的性质,垂径定理,勾股定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式7-5】如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】解：连接， ∵切于C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，，， ∴． 题型8 切线的性质和判定的综合应用 例8已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解. 【详解】根据题意可知分两种情况讨论： ①O1A＞O2A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A-O1 O2=2 ①O2A＞O1A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A+O1 O2=8 故选D. 【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论. 【变式8-1】如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-2】如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连接BD并延长交AC于点C，若∠DAC=40°，则∠ADC= 度. 【答案】80° 【分析】根据弦切角定理得出∠B=∠DAC，再利用三角形的外角求出∠ADC=∠B+∠BAD即可得出答案． 【详解】解答： ∵AC是圆O的切线,∠DAC=40°， ∴∠B=40°， ∵∠BAC的平分线交圆O于D， ∴∠BAD=∠DAC=40°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80° 故答案为80. 【点睛】此题主要考查了弦切角定理以及角平分线的性质和三角形的外角，熟练应用弦切角定理是解决问题的关键． 【变式8-3】如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 【变式8-4】如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明与相切； （2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：延长到点，使，连接，，设的半径为， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为2． 题型9 应用切线长定理求解 例9如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理、正方形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据切线长定理得：，，，先证明四边形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接， 的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去， ， 圆的半径为3， 故选：D． 【变式9-1】如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 【变式9-2】如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线长定理．根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 【变式9-3】如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 题型10 应用切线长定理求证 例10如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 【变式10-1】如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 【变式10-2】如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 【变式10-4】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． 【详解】连接， ∵分别与小圆相切于点D、E， ∴，，， ∵是大圆的弦， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 题型11 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 例11已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【详解】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【变式11-1】如图，在中，，则内切圆的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图，      在中，， 根据勾股定理. 四边形中，，， ∴四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，； ∴； ∴． 故选：C． 【变式11-2】设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点． 【详解】解：如图， 由得该三角形为直角三角形，设，作出的内切圆，设切点为，连接，则，，设， ∵， ∴， 解得：， 进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点， 当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图， 故答案为：4． 【变式11-3】如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 题型12 圆外切四边形模型 例12如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 【变式12-1】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 【变式12-2】如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 【变式12-3】如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m. 【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC， (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【详解】(1)AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 题型13 三角形内心有关应用 例13如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 【变式13-1】下列说法正确的是（   ） A．垂直平分弦的半径平分弧 B．圆心角相等，对应弧相等 C．三角形的内心到三边距离相等 D．三角形的外心到三边距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，三角形的内心和外心及圆周角定理，掌握相应定理的内容及应用条件是解题的关键．分别根据垂径定理、三角形外心内心和圆周角定理逐项判断即可． 【详解】A、当直径所平分的弦也是直径时则这两条直径不一定垂直，故A不正确，不符合题意； B、只有在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧才相等，故B不正确，不符合题意； C、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，则到三边的距离相等，故C正确，符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，则到三个顶点的距离相等，故D不正确，不符合题意； 故选：C 【变式13-2】如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数． 【详解】解：如图， ∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等， 即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3） =180°-65° =115°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，掌握三角形内心的性质是解答此题的关键． 【变式13-3】在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的判定定理，三角形内角和定理，根据题意得出点是的内心是解题关键．本题考查了点为与的交点，过点作，，，由题意可得，进而得出和分别平分和，再利用角平分线定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点为与的交点，过点作，，， 截三边所得的线段相等， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：．    【变式13-4】已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度． 【答案】2 【分析】连接，可得出，由三角形内心的定义可得出，，由同弧所对的圆周角相等可得出，进而利用三角形外角的定义以及等量代换，等边对等角得出，再证明，由相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵I是的内心， ∴，， ∵和都对应弧， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义以及性质等知识．掌握三角形内心的定义是解题的关键． 题型14 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 例14一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 【变式14-1】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 【变式14-2】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式14-3】已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，      设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式14-4】已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 77．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 【答案】 【分析】作，根据勾股定理求解，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】如图，作，设，则， 由勾股定理可知：， 则，解得，则， 故， 由三角形的内切圆性质，可得： ． 【点睛】本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 题型15 三角形内切圆与外接圆综合 例15已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝ ． 【答案】 【分析】根据题意作如图，连接OD、OE，利用HL可得△AEO≌△ADO，进而可得∠DAO＝∠EAO，再根据等边三角形的性质即可得∠OAC＝30°，进而可求解． 【详解】解：如图，连接OD、OE， ∵AB、AC切圆O与E、D， ∴OE⊥AB，OD⊥AC， 在Rt△AEO和Rt△ADO中， ， ∴△AEO≌△ADO（HL）， ∴∠DAO＝∠EAO， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴， ∴OD：AO＝1：2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，三角形外接圆与内切圆的综合，熟练掌握全等三角形的判定及性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【变式15-1】在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式15-2】边长为4的正三角形的内切圆半径为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，根据正三角形的内切圆的性质可得OD⊥BC，且BD=CD=2，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，圆O为正三角形ABC的内切圆，与BC相切于点D，连接OB， ∵圆O与BC相切于点D，BC=4， ∴OD⊥BC，且BD=CD=2， ∵O是等边三角形ABC的内切圆的圆心， ∴， ∴OB=2OD， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正三角形的内切圆的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【变式15-3】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 【答案】DB＝DI，理由见解析 【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：DB＝DI， 理由如下：连接BI， 由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC， ∵I是△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD， 由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴DB＝DI． 【点睛】此题考查的是三角形的内接圆的性质、圆周角定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握三角形的内心是三个角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等和等角对等边是解决此题的关键． 题型16 圆的综合问题 例16在中，若，，则的面积的最大值为 ． 【答案】9+9 【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案． 【详解】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M， ∵弦AB已确定， ∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可， 如图所示，当CM过圆心O时，CM最大， ∵CM⊥AB，CM过O， ∴AM＝BM（垂径定理）， ∴AC＝BC， ∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°， ∴OM＝AM＝AB＝×6＝3， ∴OA＝， ∴CM＝OC＋OM＝＋3， ∴S△ABC＝AB•CM＝×6×（＋3）＝9+9． 故答案为：9+9． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键． 【变式16-1】在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =. 若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于 . 【答案】3或5 【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论． 【详解】解：分两种情况考虑： （i）如图1所示， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO垂直平分BC， ∴OA⊥BC，D为BC的中点， 在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝＝， 设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52， 解得x＝1， ∴BD＝3，AD＝4， 在Rt△BDO中，OD＝，BD＝3， 则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5； （ii）如图2所示，AO＝AD−OD＝4−1＝3； 综合上述，OA的长为3或5． 故答案为3或5． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 【变式16-2】如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 【变式16-3】如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．   (1)求的半径长； (2)试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的经过点，见解析 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与的交点为． 和⊙相交于点、，， ，， 在中，， ； ， 在中，， ； 即的半径长为； （2）以为直径的经过点． ，， ，又， ， ， 取的中点，连接、， ， 又垂直平分，， 以为直径的经过点． 题型17 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 例17如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 【变式17-1】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的作法、正确理解题意是解题的关键．根据题意画图即可． 【详解】解：①作的垂直平分线． ②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点． ③以点为圆心，长为半径作， 即为所求． 【变式17-2】（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，基本作图； （1）先确定直径，进而根据网格的特点作，即可求解； （2）连接，以为直径作圆，交于点，连接，则即为所求的切线． 【详解】（1）如图1所示， 即为圆的切线， （2）如图所示，即为所求的切线 【变式17-3】过圆外一点P作的切线，尺规作图保留作图痕迹，用两种方法． 【答案】见解析 【分析】方法一：如图1中，连接，以为直径作圆交于D、，根据圆周角定理可判断为的切线； 方法二：先以O点为圆心，为半径作圆，再作大圆O的直径，交小圆于A、B，然后以为圆心，为半径画弧交大圆于点E、，利用圆周角定理和三角形中位线性质可得到为的切线． 本题考查作图-复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则和即为所求． 【变式17-4】如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 【答案】(1)作图见解析 (2)12 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题不，属于中考常考题型． （1）过点C作交的延长线于点D即可； （2）证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：是切线，的半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 故的直径为12． 2 / 66 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $