21.2.1配方法2 课件 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，课堂导入通过复习平方根意义、完全平方公式，结合填空练习（如x²+2x+__=(x+__)²）搭建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知，梳理知识脉络。 其亮点在于以长方形面积问题驱动，培养数学眼光发现现实中的数量关系，通过方程转化（如x²+4x-12=0→(x+2)²=16）发展数学思维，结合中考真题（如2024东营中考题）强化数学语言表达。采用“问题-探究-总结”教学法，学生能提升抽象能力与运算能力，教师可直接利用系统资源提升教学效率。

21.2.1 配方法 复习导入 如果一个数的平方等于 4，则这个数是____， 若一个数的平方等于 7，则这个数是_____. 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 3. 平方根的意义. ±2 两个平方根，互为相反数. 如果 x2 = a ( a ≥ 0 )，那么 x = . 4.用字母表示因式分解的完全平方公式. a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 复习导入 在下列等式内填上适当的数，使等式成立 x2 + 2x+ = (x+ )2; 2) x2 + 12x+ = (x+ )2; 3) x2﹣4x+ = (x﹣ )2; 4)x2﹣6x+ = (x﹣ )2; 探究新知 判断下列解一元二次方程的方法是否正确 x2 = 5 2x2 + 3 = 5 解：开平方，得 解：2x2 + 3 = 5 移项，得 2x2 = 2 x2 = 1 x1 = 1 x2 = -1 x2 + 2x + 1 = 5 (x+6)2 + 72 = 102 你会解下列一元二次方程吗？说一说你是怎么做的？ 探究新知 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 解： (x+6)2 + 72 = 102 (x+6)2 = 102 -72 (x+6)2 = 51 都是先化为平方等于数的形式，即(x＋n)2＝p 【问题】已知长方形面积为12 平方米，长比宽多4米，求长方形的宽？ 解决问题 整理得 x2 + 4x -12 = 0 解：设长方形的宽为x，则长为（ x + 4 ） 得 x（x+4）= 12 你能解方程 x2 + 4x-12 = 0 吗？你遇到的困难是什么？ 你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流. 如何配方 x2 + 4x -12 = 0 移项，得 x2 + 4x = 12 两边都加 22，得 x2 + 4x +22 = 12+22 即 ( x + 2 )2 = 16 两边开平方，得 x + 2= ±4 即 x+2 = 4，或 x+2 = -4. 所以 x1 = 2，x2 = -6. 解一元二次方程的基本思路是什么？ x2 + 4x -12 = 0 ( x + 2 )2 = 16 解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+n)2 = m(常数 ）的形式. 一元二次方程 (x＋n)2=m 一元一次方程 转化 开平方 降次 做一做 填上适当的数，使下列等式成立： 1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2 2. x2 - 4x +_____= (x - ___)2 3. x2 + 8x +_____= (x +___)2 62 22 2 42 4 上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 一次项系数一半的平方 对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 例1 解方程：x2 + 8x–9 = 0. 解: 可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9. 两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， (x+4)2 = 25. 两边开平方，得 x + 4 = ±5， 即 x+4 = 5，或 x+4 = -5. 所以 x1 = 1，x2 = -9. 我们通过配成完全平方式的方法，得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. x2 + 4x -12 = 0 ( x + 2 )2 = 16 (x+4)2 = 25 x2 + 8x–9 = 0 思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 1.移项:把常数项移到方程的右边 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方 5.求解:解一元一次方程 6.定解:写出原方程的解 达标检测 【选自教材P37 随堂练习】 （1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8； 解下列方程： （1）解: 移项，得 x2 -10x = -18． 两边都加52，得 x2-10x+52 = -18+52． 即 (x-5)2 = 7． 两边开平方，得 ． 达标检测 【选自教材P37 随堂练习】 （1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8； 解下列方程： （2）解：两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72． 即 (x-7)2 = 57． 两边开平方，得 【选自教材P37 随堂练习】 （3）x2 + 3x = 1； 解下列方程： 达标检测 （3）解：两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 ． 即 (x + )2 = ． 两边开平方，得 返回 【提问4】解方程2x2+1=3x，你有什么新发现？如何处理？ 归纳得出：需要用等式性质将二次项系数化为1,然后再配方 一元二次方程用配方法解方程的步骤为： 1:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方 6.求解:解一元一次方程 7.定解:写出原方程的解 中考考法 15 返回 1. D 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　) A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝16 D．x＋6＝－4 练习或作业： 中考考法 返回 2. D 如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　) A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－4 D．m≥－4 中考考法 返回 3. [教材P36做一做变式] 填空： (1)x2＋8x＋________＝(x＋4)2； (2)x2－12x＋________＝(x－________)2； 16 36 6 中考考法 返回 4. D 用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　) A．(x＋6)2＝28　 B．(x－6)2＝28 C．(x＋3)2＝1　 D．(x－3)2＝1 中考考法 返回 5. D [2024东营中考] 用配方法解一元二次方程x2－2x－ 2 023＝0时，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为(　　) A．－2 024 B．2 024 C．－1 D．1 中考考法 6. [教材P37随堂练习变式] 用配方法解下列方程：   (1)x2＋8x＋3＝5x＋7； 中考考法 21 返回 (2)x2－x－1＝0. 中考考法 返回 7. B 对于任意的实数x，代数式x2－4x＋5的值是一个(　　) A．非负数 B．正数 C．负数 D．整数 中考考法 23 8. 【阅读材料】（选做题） 对于某些二次三项式可以通过配方，利用完全平方式的非负性求其最值． 例如，x2－6x＋10＝(x2－6x＋9)－9＋10＝(x－3)2＋1. ∵(x－3)2≥0，∴(x－3)2＋1≥1，即x2－6x＋10有最小值1. 【尝试运用】 (1)利用配方法求－x2－6x＋5的最值； 中考考法 解：－x2－6x＋5＝－(x2＋6x)＋5＝－(x2＋6x＋9－9)＋5 ＝－(x＋3)2＋9＋5＝－(x＋3)2＋14. ∵－(x＋3)2≤0， ∴－(x＋3)2＋14≤14， 即－x2－6x＋5有最大值14. 中考考法 解：∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝0， ∴x2＋2x＋1＋y2－4y＋4＝0， ∴(x＋1)2＋(y－2)2＝0， ∴x＋1＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2， ∴(x－2)y＝(－1－2)2＝9. 【拓展应用】 (2)已知方程x2＋y2＋2x－4y＋5＝0，求(x－2)y的值； 中考考法 26 解：∵a2－4b＝7，b2－4c＝－6，c2－6a＝－18， ∴a2－4b＋b2－4c＋c2－6a＝7－6－18， 整理，得a2－6a＋9＋b2－4b＋4＋c2－4c＋4＝0， ∴(a－3)2＋(b－2)2＋(c－2)2＝0. ∴a－3＝0，b－2＝0，c－2＝0， ∴a＝3，b＝2，c＝2. ∴此三角形为等腰三角形． (3)已知三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2－4b＝7, b2－4c＝－6, c2－6a＝－18，请判断此三角形的形状． 返回 中考考法 27 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 课堂小结 用配方法解一元二次方程 一元二次方程 (x+n)2=m(常数) 一元一次方程 配方 开平方 降次 m≥0 $