1.3 正方形的性质与判定 期中复习专项训练 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

期中备考——正方形的性质与判定 专项训练 一．选择题 1．如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（　　） A． B． C． D．9 2．如图，边长为2的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则它们公共部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，边长为12的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且∠BAE＝∠FAE．则AF的长为（　　） A．15 B．16 C． D． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是边BC的中点，点F是边AB的中点，连接DF，过点B作BG⊥DF交DF延长线于点G，连接AG、EG，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M，N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 6．如图，在正方形ABCD中，点E为正方形ABCD内一点，连接BE、CE、AE、DE．若△BCE为等边三角形，则∠EAD的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 7．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（　　） A． B． C．10 D．20 8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，延长CB至点F，使BF＝DE，连接AF和EF，取EF的中点H，连接AH并延长，与BC交于点G．若BG＝1.5，CG＝1，则DE的长为（　　） A． B． C．4 D． 9．如图，在边长为5的正方形ABCD中，BE＝AF＝3，连接AE，DF交于点H，连接AC交DF于点G，连接BG交AE于点M，则HM＝（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF＝BE，CE，BF交于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH．下列结论：①BF⊥CE；②BM＝CN；③∠FHO＝45°；④CH﹣BHOH，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 11．如图，边长为2的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥BD于点G，则PF+PG的值为 　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF．若BC＝10，则正方形ADEF的面积为 　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　 　 ． 14．如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，则∠AFD＝ 　 　 °． 15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则等于　 　 ． 16．如图，正方形ABCD的面积为9，正方形AEFG的面积为8，∠DAE＝45°，连接BE、CF，交于点O，则△BOC与△EOF的面积之差为　 　 ． 三．解答题 17．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：CE＝CF． 18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：四边形CEDF是正方形． 19．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）求四边形ABCD的面积． 20．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP． （1）求证：AE＝CE； （2）若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长． 21．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，DF⊥AE交AB于点F，交AE于点G． （1）如图1，求证：AE＝DF； （2）如图2，设Q是线段BF上的动点，QH⊥AE于M，交DC于H．试猜想线段AQ，DH，BE间的数量关系． 22．如图，在正方形ABCD中，，FG垂直平分CE，交AD与点G，交BC与点F． （1）求证：BE+DG＝CF； （2）若BE＝BF，求DG的长． 23．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当n＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为 　 　 ；如图2，当n＝5时，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为 　 　 ；如图3，当n＝10时，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为 　 　 ． （2）小周想沿着正方形纸片A2B2C2D2边的方向能否裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由． 参考答案 一．选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C A B B D D 二．填空题 11．． 12．25． 13．． 14．60． 15．． 16．3.5． 三．解答题 17．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝DC＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝DC﹣DF， 即CE＝CF． 18．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC＝∠ACB＝∠CFD＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF为正方形． 19．（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABE＝∠ADF， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠F＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠BAE+∠DAE＝∠DAF+∠DAE，即∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠AEC＝∠F＝∠EAF＝90°， ∴四边形AECF是矩形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是正方形； （2）解：设DF＝x，则AE＝CF＝7+x， 由（1）知△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF＝x，S△ABE＝S△ADF， ∴S四边形ABCD＝S正方形AECF， ∵BC＝17， ∴EC＝BC﹣BE＝17﹣x． 由（1）知四边形AECF是正方形， ∴AE＝EC， ∴7+x＝17﹣x， 解得x＝5， ∴CE＝17﹣5＝12， ∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝CE2＝144， ∴四边形ABCD的面积为144． 20．（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：∵正方形ABCD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵∠PBC＝15°，EP⊥BD， ∴∠EBP＝30°，∠EPD＝45°＝∠EDP， ∴BP＝2EP，DE＝EP， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形ABCD的边长为x，则BC＝x，CP＝x﹣2， 由勾股定理得，BP2＝BC2+CP2，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形ABCD的边长为． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DAF＝90°，AD＝AB， ∵DF⊥AE， ∴∠AGD＝90°， ∴∠DAG+∠ADF＝∠DAG+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴AE＝DF； （2）解：猜想AQ＝BE+DH，证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵QH⊥AE，DF⊥AE， ∴DF∥QH， ∴四边形DHQF是平行四边形， ∴QF＝DH， ∵△ABE≌△DAF， ∴AF＝BE， ∵AQ＝AF+QF， ∴AQ＝BE+DH． 22．（1）证明：在正方形ABCD中，FG垂直平分CE，交AD与点G，交BC与点F．过点G作GM⊥BC于点M， ∴∠GMF＝∠GMC＝90°， ∴∠FGM+∠GFC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB，∠EBC＝∠D＝∠DCB＝90°， ∴四边形CDGM为矩形， ∴CD＝GM，DG＝CM， ∴GM＝BC， ∵FG垂直平分CE， ∴∠FOC＝90°， ∴∠GFC+∠FCO＝90°， ∴∠FGM＝∠FCO， 又∵∠GMF＝∠B＝90°， ∴△CBE≌△GMF（AAS）， ∴BE＝MF， 又∵CF＝CM+FM， ∴BE+DG＝CF； （2）解：设BE＝BF＝x， 又∵GF是CE的垂直平分线， ∴EF＝FC，∠FOC＝90°， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得x＝4， ∴BE＝BF＝x＝4，， ∵BE+DG＝CF， ∴． 23．解：（1）∵n＝2， ∴即用2个面积为1dm2的小正方形纸片剪拼成一个面积为2dm2的大正方形， ∴大正方形ABCD的边长为； ∵n＝5， ∴即用5个面积为1dm2的小正方形纸片剪拼成一个面积为5dm2的大正方形， ∴拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为； ∵n＝10， ∴即用10个面积为1dm2的小正方形纸片剪拼成一个面积为10dm2的大正方形， ∴拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为； 故答案为：；；； （2）假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，且它的长宽之比为3：2，设长为3xdm，则宽为2xdm，则有： 2x×3x＝4.86， 解得，x＝±0.9， ∵3x为长方形的长， ∴x＞0， ∴x＝0.9， 则长为3x＝2.7， ∵要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框， ∴长方形的长应当为2×0.3+2.7＝3.3（dm）， ∵3.32＝10.89＞10， ∴假设错误，不能． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/4 23:35:01；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $