专题03 二次函数与方程及不等式重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 二次函数与方程及不等式重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型五 求x轴与抛物线的截线长 题型六 图象法解一元二次不等式 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型九 根据交点确定不等式的解集 拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题 拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合 拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题 知识点一：求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海金山·期中）下表是用计算器探索函数时所得的数值；则方程的一个解x的取值范围为（    ） x 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1.31 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 根据表格中的数据，可以发现一元二次方程的一个解x的范围． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口方向向上， ∵对称轴， 时y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 方程的一个正根：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系．根据在与之间可得方程有一个解的取值范围为，由此即可得． 【详解】解：由表可知，在与之间， 方程有一个解的取值范围为， ， 故答案为：． 知识点二：二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数自变量与函数值的变化情况是解题的关键． 根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：∵时，，时，， ∴关于的一元二次方程的一个根的取值范围是， 故选：B ． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 知识点三：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得答案． 【详解】解；∵抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴关于的一元二次方程的根是， 故答案为：． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）若直线是二次函数图象的对称轴，则下列结论错误的是（    ） A．一定等于2 B．有可能为0 C．该抛物线顶点的纵坐标最大为0 D．在时，最大值为2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向及与函数最大值，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质． 首先求出二次函数与x轴的交点坐标为，，然后根据二次函数的对称轴为直线，得到，即可得到，即可判断A；根据得到此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的交点，即可判断B；根据题意得到二次函数与x轴一定有交点，然后结合图象开口向上即可判断C；根据题意得到当时，y随x的增大而增大，进而判断D即可． 【详解】∵二次函数 ∴当时，即 解得， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， ∵直线是二次函数图象的对称轴， ∴ ∴，故A正确； 当时，即 ∴此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的顶点 ∴此时，符合题意，故B正确； ∵二次函数与x轴的交点坐标为， ∴二次函数与x轴一定有交点 ∵二次项系数为 ∴图象开口向上 ∴当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点在x轴上 ∴此时该抛物线顶点的纵坐标最大为0，故C正确； ∵图象对称轴为直线，且开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y取得最大值，即，不一定等于2，故D错误． 故选：D． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）二次函数（）图象的一部分如图所示，该函数图象的顶点坐标是，与轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象可知抛物线开口向上，即，再由顶点坐标得到抛物线对称轴为，从而确定抛物线与轴的一个交点坐标为，进而由得到，数形结合，逐项验证即可得到答案．熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，抛物线开口向上，则，故A选项正确，不符合题意； 二次函数（）图象的顶点坐标是， 抛物线对称轴为， 抛物线与轴的一个交点的横坐标是3， 抛物线与轴的一个交点的横坐标是，即抛物线与轴的一个交点坐标为， 将代入得到，故B选项正确，不符合题意； ，，， ， ，故C选项错误，符合题意； ，对称轴为，抛物线与轴的一个交点坐标为， 当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”．抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可． 【详解】在中，令得 解得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）当时，，解得，，即可作答． （3）运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为； （3）解：∵中的 ∴开口向上， 由（2）得抛物线与x轴的交点坐标分别为； 当时，x的取值范围为． 【经典例题二 抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．抛物线关于直线对称 C．抛物线顶点坐标为 D．抛物线与轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的顶点式的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵ 抛物线为，且, ∴ 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项不符合题意，C选项符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点为， 故D选项不符合题意， 故选：C 1．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）二次函数与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，当时，求出即可，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故答案为：． 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知抛物线与轴交于A，B两点（在左侧），与轴交于点． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)直线（为常数，且）与抛物线交于点E，F（在左侧），轴于． ①如图1，连接，若，求的值； ②如图2，连接，过点作的平行线交直线于点，当时，求的坐标． 【答案】(1)， (2)①② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）令，，求出A，B，C的坐标即可； （2）①设，作轴于点，证明，得到，根据同底三角形的面积比等于底边比得到，进而求出点坐标，根据在抛物线上，列出方程组进行求解即可；②令，设，，根据根与系数的关系得到，进而得到，作轴，轴，于点，证明，求出点坐标，根据平行线分线段成比例推出，，进而得到，根据点在抛物线上，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，解得， ∴，； （2）①设，作轴于点，则：， ∵轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵均在抛物线上， ∴，解得或（不合题意，舍去）； 故； ②令，整理得，， 设，，则：， ∴， 作轴，轴，于点，如图，则，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】①先求出抛物线于x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、，运用分类讨论思想，求出a的值，再将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q，推出当点O，点P，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线经过点，顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，， 故①正确； ②方程有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下，由图可知，这两个图象没有交点， 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，，，，，， ∵为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， ∴只能或， 若，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； ∵点B在与之间（不含端点）， ∴， 解得， ∴， ∴，， 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点O、P、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知函数，当 时，函数值等于5． 【答案】 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数自变量的值．解题的关键，是将二次函数的函数值代入解析式，解一元二次方程求出自变量的值． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点，，，…，都在直线：上； ②抛物线依次经过点，，，…，. 问题：顶点的坐标为 ； 顶点的坐标为（ ， ） 【答案】 【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点的坐标为，设点的坐标为，则以点为顶点的抛物线解析式为，由点的坐标利用待定系数法，即可求出值，将其代入点的坐标即可得出结论． 【详解】解：抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，，，， 点的坐标为． 设点的坐标为，则以点为顶点的抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：或（舍去）， 的坐标为， ， 的坐标为． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出值是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）定义：当抛物线的顶点不在原点时，我们把抛物线的顶点与原点连接的线段，称为该抛物线的“顶原线段”，如图1，抛物线的顶点是点A，则线段就是抛物线的“顶原线段”． (1)求图1中抛物线顶原线段所在直线的函数表达式． (2)双曲线过抛物线的顶原线段的端点，求k的值． (3)抛物线与x轴正半轴交于点A，顶点为点B，C是抛物线顶原线段的中点，D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形， ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)2 (3)①；② 【分析】（1）求出A点坐标，设直线的解析式为，将A点代入即可求n的值，从而求出函数的解析式； （2）求出二次函数的顶点坐标，再求k的值即可； （3）①分别求出，，设，代入求解即可；②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，推出四边形是平行四边形，当B，G，F三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求出，从而得出结果． 【详解】（1）解：， 顶点为． 设直线的函数表达式为， ， ， 抛物线顶原线段所在直线的函数表达式为． （2）， 顶点为． 双曲线过抛物线的顶原线段的端点， 双曲线过点，即， ． （3）①， 顶点为． 为的中点， ． 四边形是平行四边形， 点C与点F的纵坐标相同． 设， 点F落在抛物线上， ， 解得，（舍去）， 故． ②如图，过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接， 则四边形是矩形， ，． 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ． ，故当B，G，F三点共线时，取得最小值， ， 的最小值就是的最小值，且最小值就是的长． 延长交y轴于点M． ， ． ， ，． ， ， ， ， 故的最小值是． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，勾股定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求解函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 【经典例题四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例4】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 【详解】解：二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线， 二次函数（为常数）的图象与x轴的一个交点为， 二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 故选：B． 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断②；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断①；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③；根据和时，，可判定④，进而可得出答案． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为直线，故②错误； ∴为最低点，抛物线的开口向上，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确； ∵和时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海虹口·期中）阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： (1) 方程的根；（填“是”或“不是”） (2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； (3)在同一坐标系中画出两个函数的图象； (4)观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)， (4) 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象、二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原方程验证方程两边是否相等；（2）将原方程变形为；（3）画出函数与函数的图象；（4）观察函数图象，确定方程的解． （1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点，确定方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． （2）解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． （3）解：画出两函数图象，如图所示． 画的图象 列表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 描点、连线，如图，                画函数的图象 列表： x ⋯    1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ 描点、连线，如图； （4）解：观察图象可得：方程的实数根约为． 故答案为：． 【经典例题五 求x轴与抛物线的截线长】 【例5】（2025·上海普陀·模拟预测）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和 解：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x2-，y=x2- ，y=x2-，…；分别解得x1=1，x2==x3，x4=，x5=∴A1B1=1-，A2B2=-，A3B3=-，…，A2009B2009=∴A1B1+A2B2+…+A2009B2009= 故选D 考点：抛物线和X轴的交点 点评：自变量的坐标变换和与各轴的交点是常考点，此类试题之中要注意分析各个抛物线和图形的基本关系，二次函数的性质和交点公式 1．（2025·上海静安·模拟预测）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 2．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【答案】(1) (2)①，；②见解析 (3)①；② 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、O三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过， 即可求出的长度；通过，F即可求出的长度； （3）①根据题意分别表示出，的坐标，进而求得， ，根据，建立方程，解方程，即可求解． ②由点是的中点时，建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； （3）①依题意，，在上，对称轴为直线 ∴，， ∵在上，对称轴为直线 当时， 解得： ∴ ，， ∴， ， ∵ ∴ 解得或 （舍去） ∴ ②由①可得，， 当点是的中点时， ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 【经典例题六 图象法解一元二次不等式】 【例6】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是熟记二次函数与x轴的交点情况和的关系．本题只需根据题意列出一元二次不等式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得： A的值始终比B的值大， ∴， 即， 即的函数图象与x轴无交点， ∴， ∴， ∴整数的最小值为． 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（   ）    A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题； 结合函数图象，利用二次函数的对称性，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】二次函数的图象经过点A，B，C，由此可知，抛物线开口向下，所以①正确； 若当时，取最大值，则由于点和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，图中点A和点C的纵坐标相等，所以②正确； 当时，二次函数的图象与有两个交点，则关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；所以③是正确的； 直线经过点A，B，当时，的取值范围是或，从而④错误； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线上有点和，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，求出点关于对称轴的对称点，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点坐标为， ， ， 故选：． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若，对称轴是直线．则下列结论：①；②；③；④若实数，则；⑤若直线（）过点C和点，则当时，，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断①；根据与x轴的交点可判断②；由当时，，结合，，可判断③；由当时函数的值最大可判断④；由直线（）过点C可知，然后利用当时，一次函数图象在二次函数图象上方可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴． ∵， ∴，代入，得 ， ∴，故②不正确； ∵当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时函数的值最大， ∴， ∴，故④不正确； ∵直线（）过点C， ∴， ∵当时，一次函数图象在二次函数图象上方， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上可知，正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，利用函数图象解不等式，以及一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，求此时抛物线的对称轴； (2)若该抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若当时，点都在该抛物线上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【分析】（1）把代入解析式，确定a，b的关系，再根据对称轴为直线，计算解答即可； （2）根据经过点，确定抛物线的对称轴，分和两种情况求解即可； （3）根据题意，确定，结合，构造不等式且．求解不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点就是， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线． （2）解：∵根据经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，范围在对称轴的右侧，满足y随x的增大而增大， 解得， ∴a的取值范围是； 当时，抛物线开口向下， ∴抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，范围在对称轴的左侧，满足y随x的增大而增大， ∵， 解得， ∴a的取值范围是； 综上所述，当时，y随x的增大而增大，a的取值范围是或． （3）解：当时，抛物线开口向上， ∵抛物线经过点， ∴． ∵点都在该抛物线上， ∴两点是对称点，， ∴对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． ∵， ∴且， ∴且， ∴且， 解得且． 令， 当时， 解得， 画函数图象如下： 故时，m的取值范围是或， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了抛物线对称轴的计算，抛物线的增减性，抛物线与不等式的关系，分类思想的应用，数形结合思想的应用，熟练掌握增减性，抛物线与不等式的关系是解题的关键． 【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例7】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：令抛物线解析式， 当，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，， ∴抛物线与交点，横坐标为，， ∵，， ∴如图， ∴， 故选：． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，关键是观察表格，确定代数式值由负到正时，对应的的取值范围．由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，故可判断时，对应的的值在之间，然后利用根与系数的关系即可求得另一个根． 【详解】解：设方程的两个根、， ， 由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正， 关于的方程的一个根约为， 则， 则另一个根约为， 故答案为：，0.7． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 描点并连线，得函数 的图象，如图所示： 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 【经典例题八 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例8】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，根据题意可以得到关于的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以求得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而双曲线分布在第一、三象限， ∵，， ∴时，，解得： 时，，解得：， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，以下结论：①；②；③关于x不等式的解集：；④；⑤若点在此函数图象上，则．其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会图象法解不等式是解题的关键．由抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为分别得到a、b、c的符号，再判断①；由图象过点即可判断②；由题意得，抛物线与轴的另一个交点为，再结合图象法解不等式可判断③；当，，代入即可判断④；计算可得关于直线对称，再判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 对称轴为， ，即， ，故①正确； 图象过点， ， ，即，故②错误； 抛物线与轴的交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为， 由图象得，的解集为，故③错误； 由图可知，当，， ，故④正确； 点，， 点关于直线对称， 又点在此函数图象上， ，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：D． 2．（2025·上海崇明·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根据函数图象可得，得出方程的两个根为和，进而根据当时，，得出当时，，则，对称轴为直线，即可判断①②；根据与无交点即可判断③，根据根与系数的关系可得，结合，即可判断④． 【详解】解：根据函数图象可得， ∴方程的两个根为和， 又∵当时，， 设，当时，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，故①正确； ∵的函数图象的对称轴为直线， 又，关于直线对称， ∴若，两点均在此函数图象上，则，故②正确； 如图 与无交点， ∴关于的一元二次方程无实数根，故③不正确； ∵方程的两个根为和， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误； ③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶ 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： ，整理得∶，即， ∵开口向上， ∴ ， ∴， 解得：， 而抛物线与轴负半轴相交， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ④由抛物线的对称性，B点的坐标为， 当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点， 当抛物线经过B点时， ∵其与线段恰有一个公共点， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， 即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误； 故答案为：①③④． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数． (1)请填写表中空格处的数值； (2)结合表格，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象、利用图象求函数值的取值范围． 根据表中的自变量求出函数值，填表即可； 根据中表格中的数据列表、连线，即可得到二次函数的图象； 利用函数图象得出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： （2）解：画函数图象如下： （3）解：由函数图象可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时， 【经典例题九 根据交点确定不等式的解集】 【例9】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是（   ）    A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找出二次函数的图象在轴下方的部分即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，当时，自变量的取值范围是， 故选：A． 1．（24-25九年级上·上海长宁·期中）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当 时， D．函数的最大值为5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据对称性可得对称轴为直线，再由增减性可得抛物线的开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故B结论正确，符合题意； ∵当时的函数值大于当时的函数值，当时的函数值小于时的函数值， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∴抛物线的开口向上，故A结论错误，不符合题意； ∴当 时，，函数的最小值为，且没有最大值，故C和D的结论错误，不符合题意； 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线与直线两个交点分别为，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，理解二次函数与一次函数的交点与不等式解集的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图象在一次函数的图象的上方直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由不等式， 可得：， 由函数图象可知在点的左侧，点的右侧时，二次函数的图象在一次函数图象的上边， 当或时， 不等式成立． 故答案为： 或． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据题意得出二次函数的对称轴为直线是解题的关键；根据函数与方程及不等式的关系求解即可. 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴为直线． ∵当时，， ∴当时，， ∴方程的解是或． ∵当时，， ∴当时，． ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或；或． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图所示，二次函数的图像交轴于、两点． (1)若，即：，那么的取值是_____；若，即：，那么的取值范围是_____． (2)当取何值时，代数式的值最小？求出这个最小值． 【答案】(1)，3； (2)当时，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用函数图象解不等式． （1）令，解即可求解的取值，那么得到抛物线与轴交点坐标，再由图象即可求解时，的取值范围； （2）设，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像交轴于、两点， ∴当时，的取值是，3； ∵抛物线与轴交点为， ∴时，由图象可得，那么的取值范围是， 故答案为：，3；； （2）解：设， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，即代数式的值最小，最小值为． 【拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题】 1．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）（1）解方程：． （2）已知抛物线与轴只有一个交点，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，抛物线与一元二次方程的关系，是解题的关键： （1）分解因式后得到，推出方程，，求出方程的解即可． （2）根据题意，得到方程一元二次方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， ，， 解方程得：，， 方程的解是，． （2）解：抛物线与轴只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， 解得，． 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是抛物线的图象，根据图象回答下列问题． (1)___________，___________； (2)方程的根是什么？ (3)当x取何值时，？ 【答案】(1)1；2 (2) (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，体现数形结合的思想解决问题． （1）代入与x轴的交点坐标，建立b、c的二元一次方程组，求得答案即可； （2）观察图象抛物线与x轴交于和两点，所以方程的解为，； （3）若，则函数的图象在x轴的上方，找到对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：由图象可知：与x轴的交点坐标为，， 代入得， 解得， ∴抛物线． 故答案为：1；2； （2）解：观察图象可知抛物线与x轴交于和两点， ∴方程的根是，， ∴方程的根是，； （3）解：由图象得，当时．． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征； (3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值． 【答案】(1) (2)有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一），它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点； (3) 【分析】（1）抛物线的函数表达式为，用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的图象与x轴交于两点，得到抛物线图象的对称轴为，设有别于的抛物线的表达式为，只需令即可求解； （3）根据题意可得轴，联立，则，得到，设为方程的两个实数根，求出，进而得到，利用完全平方公式变形建立关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 则，即， 解得：， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点， ∴抛物线图象的对称轴为， 设有别于的抛物线的表达式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴， ∴有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一）， 它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点； （3）解：∵是平行于x轴的直线，直线与抛物线交于E，F两点， ∴轴， 联立，则， ∵， ∴，即， 设为方程的两个实数根， ∴， ∴， ∵线段的长度为5， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴（符合题意）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合】 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数与二次函数图象相切于第二象限的点A． (1)求二次函数的解析式及切点A的坐标； (2)当时，求二次函数函数值的取值范围； (3)记二次函数图象与轴正半轴交于点，问在抛物线上是否存在点（异于）使，若有则求出坐标，若无则说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)有，． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，灵活利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）联立一次函数与二次函数表达式并整理得：，再求出时m的值，然后将m的值代入计算即可； （2）由抛物线的表达式知，其顶点为，当时，；当时，，据此即可解答； （3）求出直线的表达式为：，而，则直线和直线关于x轴对称，进而得到直线的表达式为：，然后与抛物线联立即可解答． 【详解】（1）解：联立一次函数与二次函数表达式并整理得：， 称该直线与此抛物线相切于点A， 则，解得：或， 当时，由，解得：； 当时，由，解得：（舍去）， 故点，二次函数表达式为：． （2）解：∵， ∴该抛物线的顶点为， 当时，；当时，， 故函数值的取值范围是：． （3）解：∵二次函数图象与轴正半轴交于点， ∴， 设直线的表达式为：， 把点、点代入可得： ，解得， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线和直线关于x轴对称， ∴点关于x轴的对称点在直线上， 设直线的表达式为：， 把点、点代入可得： ，解得， ∴直线的表达式为：， ∴，即， 解得：（舍去）或1， ∴点． 2．（25-26九年级上·上海宝山·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)图见解析 (4) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）将配成顶点式得，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，由图象可知，当时，y随x的增大而减小，所以当时，则； （3）当时，则，整理得，可知该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标，画出这两个交点即可； （4）由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，则， 解得， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，； 当时，， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为， 故答案为：， 画出该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）得，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：当时，则， ∴， 该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作于点，连接．若，，，当点与点，重合时，．下表给出了，，的一些数据（近似值精确到0.01） (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题：（结果均精确到0.1） ①当时，的值约为_________； ②过点作于点，当时，的长度约为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，解直角三角形，函数的图象，点的坐标的特征，正确理解点的坐标的几何意义是解题的关键． （1）当时，点与点重合，即，利用菱形的性质和直角三角形的边角关系定理求得，即可得出结论； （2）利用表格中的，值作为点的横纵坐标在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线连接即可； （3）①作出函数的图象，观察图象得到直线与函数的图象交点的横坐标约为，再利用的图象解答即可； ②利用三角形的面积公式得到，观察图象可知：与的图象的交点的横坐标即为所求的值． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，，如图， 四边形为菱形， ，， ， ， ． 故答案为：； （2）在同一平面直角坐标系中描出了部分点，，得到与关于的函数图象，如图， （3）①当时，即：， 作出函数的图象，如图， 观察图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标约为， 由的图象可知：当时，的值约为． 故答案为：； ②过点作于点，则， ， ， 此时， 观察图象可知：与的图象的交点的横坐标为或， 或， 即的长度约为或． 故答案为：或． 【拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题】 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．    【答案】（1）点C在圆上，见解析；（2）直线CM与⊙D相切，见解析；（3）不存在，见解析 【分析】（1）先用待定系数法求出a的值，然后求出点A和点B的坐标，求得AD、CD的长进行比较即可判定； （2）求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定； （3）过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE＝AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C（0，4）， ∴4＝9a+， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+， 令y＝0，则﹣ (x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0）； ∴AB＝10， ∴AD＝5， ∴OD＝3. ∵C（0，4）， ∴CD＝＝＝5， ∴CD＝AD， ∴点C在圆上； （2）由抛物线y＝a(x﹣3)2+，可知：M(3，)， 设直线CM的解析式为：y=kx+b， ∵C（0，4），M(3，)， ∴， ∴，   ∴直线CM为y＝+4， 设直线CM的解析式为：y=kx+b， ∵C（0，4），D(3，0)， ∴， ∴，   ∴直线CD为：y＝﹣x+4， ∵， ∴CM⊥CD， ∵CD＝AD＝5， ∴直线CM与⊙D相切； （3）不存在，理由如下： 如图，过点C作CE∥AB，交抛物线于E，    ∵C（0，4）， ∴当y=4时，4＝﹣ (x﹣3)2+， 解得：x＝0，或x＝6， ∴CE＝6， ∴AD≠CE， ∴四边形ADEC不是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，勾股定理，平行四边形的判定，点与圆的位置关系，切线的判定等知识.熟练掌握待定系数法及切线的判定方法是解答本题的关键. 2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的图象如图所示，把的图象沿y轴翻折，得到抛物线的图象．    (1)求抛物线的解析式： (2)若直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线与抛物线相切，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象和点的坐标的规律可得、、，再利用待定系数求得的解析式即可； （2）根据题意联立方程组可得，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，抛物线经过点、、， ∵点、、关于y轴的对称点分别为、、， 设抛物线的解析式为， 把、代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意可得，联立方程组得， 整理得，， ∵直线与抛物线相切， ∴， 解得． 【点睛】本题考查函数图象的几何变换、直线与抛物线的交点问题，根据题意求得的解析式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【答案】(1)的解是，． (2)画图见解析 【分析】本题考查的是利用图象法求解一元二次方程的解，掌握数形结合的方法是关键； （1）由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，，即方程的解； （2）由方程可得其解是函数函数与直线的交点的横坐标；或函数与直线的交点的横坐标；再画图即可． 【详解】（1）解：由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，， ∴，是方程的解； ∴的解是，． （2）解：如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； 如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； ； 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 将已知交点代入抛物线解析式，求出参数关系，从而求出该函数的对称轴为直线，再根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而求出方程的两实数根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， 把代入得， ，可得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标， ∴方程的根是，． 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质找出最值、增减性区间、对称轴等是关键． 根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为、与x轴的一个交点坐标为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，则，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与x轴的一个交点为． A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为， ∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，故此选项正确，不合题意； B、∵二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与x轴有一个交点， ∴二次函数与x轴的另一个交点为． ∴当时，函数值，故此选项错误，符合题意． C、当时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数的图象关于直线对称，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论：①；②；③；④若方程两根为，则；正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，即， ∴， ∵与y轴的交点B在之间（不含端点）， ∴， ∴，故①不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点为， ∴当时，，故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∴， ∵， ∴，解得：，故③正确； 由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图， 由图象可知：若方程两根为，则，故④正确； 综上所述，正确的结论是③④，有2个， 故答案为：B． 6．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据图象求得答案即可． 【详解】解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程的解是二次函数与轴交点的横坐标，结合已知点求解； （2）方程的解是一次函数与二次函数图象交点的横坐标，结合已知交点求解； （3）不等式的解集是二次函数图象在一次函数图象下方时的取值范围，结合交点位置求解． 【详解】解：（1）二次函数过点，原点 所以方程为解为． （2）一次函数与二次函数交于和， 所以方程的解为． （3）由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 所以不等式的解集是． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，掌握方程的解与函数交点横坐标的关系，以及不等式解集与函数图象上下位置的关系是解题的关键． 11．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）对于抛物线， (1)抛物线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标为______； (2)请用配方法求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)和， ； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、配方法求二次函数顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象性质、配方法的步骤是解题的关键． （1）求抛物线与轴交点，令解一元二次方程；求与轴交点，令代入抛物线解析式． （2）利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】（1）解：中，令，则， ， 解得或， ∴与轴交点坐标为和， 令，则 ∴ 与轴交点坐标为． 故答案为：和；． （2）解：， ∴ 顶点坐标为． 12．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量值， 依据题意，由，可令，则，从而，进而可以判断得解； 【详解】解：令，即． 整理，得， 解得， ∴时，， ∴可被该设备清晰捕捉的时长为． 答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为； 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； （3）解：观察图象可知，当时，或； （4）解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 14．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，利用抛物线的函数图像，解决下列问题： (1)当方程时，方程的根是 ． (2)当随的增大而减小时，的取值范围是 ． (3)当时，的取值范围是 ． (4)当总有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】此题考查了二次函数与x轴的交点坐标与对应一元二次方程的解的关系、通过图像观察抛物线的增减性、利用画图解决抛物线与直线的交点个数问题、求函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，随的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到的取值范围； （3），x的取值范围，就是曲线在x坐标轴上面的曲线部分； （4）方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点，据此即可直接求出的取值范围． 【详解】（1）解：方程的根即抛物线与轴交点的横坐标， 由图可知； （2）解：， 故对称轴， ∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小； （3）解：对应抛物线的图像的两部分，分别为1的左侧，3的右侧， 即或； （4）解：根据题意抛物线顶点坐标为， 根据图象可知，当时，直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线向下移动，与抛物线无交点； 当时，直线向上移动，与抛物线有两个交点； 故当方程有两个不相等的实数根时，． 15．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）某同学对函数的图象和性质进行探究：无论为何值，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如下表． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 2 0 2 2 0 ．．． (1)补全上表． (2)根据表中数据，画出函数图象位于轴左侧的部分． (3)由图象可知，方程有___________个实数根． (4)由图象可知，方程有两个不相等的实数根时，的取值范围为___________． (5)随增大而增大时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 (4)或 (5)或 【分析】（1）分别把的值代入所给函数式即可得解； （2）描点即可得出函数图象； （3）结合图象和表格可得出结论； （4）根据函数图象可直接得到； （5）由图象可直接求得结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 2 2 0 2 2 0 ．．． （2）图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，或或， 故答案为：3； （4）解：由图象可知，当时，方程有两个不相等的实数根， 函数，最大值在或时取得，此时； ∴当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：或； （5）解：由图象可知，当或时，随的增大而增大； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与方程及不等式重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型五 求x轴与抛物线的截线长 题型六 图象法解一元二次不等式 题型七 图象法确定一元二次方程的近似根 题型八 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型九 根据交点确定不等式的解集 拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题 拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合 拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题 知识点一：求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海金山·期中）下表是用计算器探索函数时所得的数值；则方程的一个解x的取值范围为（    ） x 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1.31 3 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 知识点二：二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： ．．． ．．． ．．． ．．． 则根据以上信息可判断，关于的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 知识点三：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是 ． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）若直线是二次函数图象的对称轴，则下列结论错误的是（    ） A．一定等于2 B．有可能为0 C．该抛物线顶点的纵坐标最大为0 D．在时，最大值为2 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）二次函数（）图象的一部分如图所示，该函数图象的顶点坐标是，与轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”．抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”，则 ． 4．（25-26九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【经典例题二 抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．抛物线关于直线对称 C．抛物线顶点坐标为 D．抛物线与轴交于点 1．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）二次函数与轴的交点坐标为 ． 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知抛物线与轴交于A，B两点（在左侧），与轴交于点． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)直线（为常数，且）与抛物线交于点E，F（在左侧），轴于． ①如图1，连接，若，求的值； ②如图2，连接，过点作的平行线交直线于点，当时，求的坐标． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海静安·模拟预测）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知函数，当 时，函数值等于5． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点，，，…，都在直线：上； ②抛物线依次经过点，，，…，. 问题：顶点的坐标为 ； 顶点的坐标为（ ， ） 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）定义：当抛物线的顶点不在原点时，我们把抛物线的顶点与原点连接的线段，称为该抛物线的“顶原线段”，如图1，抛物线的顶点是点A，则线段就是抛物线的“顶原线段”． (1)求图1中抛物线顶原线段所在直线的函数表达式． (2)双曲线过抛物线的顶原线段的端点，求k的值． (3)抛物线与x轴正半轴交于点A，顶点为点B，C是抛物线顶原线段的中点，D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形， ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，请直接写出的最小值． 【经典例题四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例4】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： … －3 －2 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是关于的一元二次方程的一个根． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是 ． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 4．（25-26九年级上·上海虹口·期中）阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： (1) 方程的根；（填“是”或“不是”） (2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； (3)在同一坐标系中画出两个函数的图象； (4)观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 【经典例题五 求x轴与抛物线的截线长】 【例5】（2025·上海普陀·模拟预测）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ） A． B． C． D． 1．（2025·上海静安·模拟预测）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交点间的距离为 ． 4．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【经典例题六 图象法解一元二次不等式】 【例6】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（   ）    A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 2．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线上有点和，若，则的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若，对称轴是直线．则下列结论：①；②；③；④若实数，则；⑤若直线（）过点C和点，则当时，，其中结论正确的序号是 ． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，求此时抛物线的对称轴； (2)若该抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若当时，点都在该抛物线上，且，求m的取值范围． 【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例7】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知代数式（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表： 0.0142 0.0832 根据表中数据，可知关于x的方程的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1） 4．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【经典例题八 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例8】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，以下结论：①；②；③关于x不等式的解集：；④；⑤若点在此函数图象上，则．其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤ 2．（2025·上海崇明·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数． (1)请填写表中空格处的数值； (2)结合表格，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象可知，当时，的取值范围是___________． 【经典例题九 根据交点确定不等式的解集】 【例9】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是（   ）    A． B． C． D．或 1．（24-25九年级上·上海长宁·期中）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当 时， D．函数的最大值为5 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线与直线两个交点分别为，，则关于的不等式的解集为 ． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图所示，二次函数的图像交轴于、两点． (1)若，即：，那么的取值是_____；若，即：，那么的取值范围是_____． (2)当取何值时，代数式的值最小？求出这个最小值． 【拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题】 1．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）（1）解方程：． （2）已知抛物线与轴只有一个交点，求的值． 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是抛物线的图象，根据图象回答下列问题． (1)___________，___________； (2)方程的根是什么？ (3)当x取何值时，？ 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征； (3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值． 【拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合】 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数与二次函数图象相切于第二象限的点A． (1)求二次函数的解析式及切点A的坐标； (2)当时，求二次函数函数值的取值范围； (3)记二次函数图象与轴正半轴交于点，问在抛物线上是否存在点（异于）使，若有则求出坐标，若无则说明理由． 2．（25-26九年级上·上海宝山·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作于点，连接．若，，，当点与点，重合时，．下表给出了，，的一些数据（近似值精确到0.01） (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题：（结果均精确到0.1） ①当时，的值约为_________； ②过点作于点，当时，的长度约为_________． 【拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题】 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．    2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的图象如图所示，把的图象沿y轴翻折，得到抛物线的图象．    (1)求抛物线的解析式： (2)若直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线与抛物线相切，求b的值． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 5．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在之间（不含端点），则下列结论：①；②；③；④若方程两根为，则；正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集是 ． 11．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）对于抛物线， (1)抛物线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标为______； (2)请用配方法求抛物线的顶点坐标． 12．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 14．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，利用抛物线的函数图像，解决下列问题： (1)当方程时，方程的根是 ． (2)当随的增大而减小时，的取值范围是 ． (3)当时，的取值范围是 ． (4)当总有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 15．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）某同学对函数的图象和性质进行探究：无论为何值，函数均有意义，所得自变量与函数的对应值如下表． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 2 0 2 2 0 ．．． (1)补全上表． (2)根据表中数据，画出函数图象位于轴左侧的部分． (3)由图象可知，方程有___________个实数根． (4)由图象可知，方程有两个不相等的实数根时，的取值范围为___________． (5)随增大而增大时，的取值范围是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $