精品解析：河北省张家口市宣化区2025-2026学年九年级上学期 期中数学试题

河北省张家口市宣化区2025-2026学年九年级上学期+期中数学试题 （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：（本大题共14个小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） ①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是． A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 3. 按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 8. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 12. 如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（ ） A. B. C. D. 13. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 15. 已知，则的值是______________. 16. 某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，若依次按照的比例确定成绩，则该选手的成绩是__________分． 17. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 18. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 三、解答题：（本大题共6个小题，共46分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 21. 如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 23. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 24. 综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 （1）请直接写出的位置关系：__________； （2）将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口市宣化区2025-2026学年九年级上学期+期中数学试题 （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：（本大题共14个小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） ①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是． A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的定义，熟练掌握平均数与方差的定义是解题的关键． 根据方差算式可知数据为2、4、5、5，据此计算平均数、众数、中位数和样本容量即可． 【详解】解：由于方差算式中有四个平方项，分母为4， 则数据点为5、2、5、4，即数据为2、4、5、5，样本容量为4，则④错误； 根据数据之和为，个数为4，平均数，则①正确； 在这组数据中5出现次数最多，则众数为5，②正确； 将数据排序后为2、4、5、5，则中位数为，故③错误； 综上，正确的有①②． 故选：A． 3. 按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据流程图以及锐角三角函数的定义，逐一判定选项，即可得到答案． 【详解】A. ，时，y=sin60°=， B. ，时，y=cos45°=， C. ，时，y=sin30°=， D. ，时，y=cos45°=， 故选C． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 4. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 6. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得到，求出的长，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 7. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 9. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，新定义，解题关键是理解新定义．把，， ，代入，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴ 即 化简整理得： 解得：，（舍去）， 即， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，由等边三角形的性质得出，，进而得出，即可判断选项①；由等腰三角形的性质得出，由正方形对角线的性质得出，得，得出，由平行线的性质得出，得出，即可判断选项②；证明，由相似三角形的性质即可判断选项③；利用含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系求出与的数量关系从而判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，，， ∴，，， ∴，， ∴结论①正确； ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴结论③正确； 在中，，则：， ∴， 在中，，则，， ∴， ∴， ∴；故④正确 ∴正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 11. 如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， 解方程得， ∴线段的长是方程的一个根． 故选：C． 12. 如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，作于，由菱形，，可得，，则，由折叠的性质可知，，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵菱形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切等知识．熟练掌握菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切是解题的关键． 13. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 14. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点C作轴，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 15. 已知，则的值是______________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意表示出x，y的值，进而代入求出答案． 【详解】∵，∴设x=2a，则y=3a，∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题的关键． 16. 某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，若依次按照的比例确定成绩，则该选手的成绩是__________分． 【答案】82 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分以及依次按照的比例确定成绩，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，且依次按照的比例确定成绩， ∴（分）， ∴则该选手的成绩是82分． 故答案为：82． 17. 已知是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即：， ， ， 故答案为：2021． 18. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题：（本大题共6个小题，共46分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 则， 即或， 解得． 20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）93；88.5；30 （2） 九年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定． （3）845 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可; （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；88.5；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有900名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有845人． 21. 如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长． 【答案】（1）答案见解析；（2）2． 【解析】 【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得，再由BC=CD得，所以，又，从而∽； （2）根据∽可求出结果. 试题解析：（1）证明： BO是的角平分线 BC=CD 又 ∽ （2） ∽ 又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD OC=2 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据5月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元／个， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 23. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 （1）请直接写出的位置关系：__________； （2）将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）设与交于点，与交于点，由四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形，所以，证明，得出，进而证明； （2）设与交于点，与交于点，先由角度和差证明，从而可证，再由相似三角形的性质可得，然后通过角度和差即可求解． 【小问1详解】 解：， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $