精品解析：天津市田家炳高级中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

滨海新区田家炳中学2025-2026-1高三年级期中考试 数学试卷 一､单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则“"是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 令，，，则三个数、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 10. 函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 是虚数单位，复数________. 12. 的展开式中的系数是______． 13. 求值：___________． 14. 已知与之间的一组数据： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于y与x的线性回归方程 ，则的值为___． 15. 某次社会实践活动中，甲､乙两个班同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是__________，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是__________. 16. 设是等差数列，若，，则_______；若，则数列的前项和________. 17. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的4个小球，其中白色球2个，黑色球2个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为__________；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ，则随机变量ξ的期望为_______. 18. 在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则的取值范围是__________. 三､解答题（本大题4小题，共60分.每题15分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 19. 在中，角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 20. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 21. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. （3）若，求数列的前项和. 22. 已知函数. （1）当时， （i）求函数在点处的切线方程； （ii）求函数单调区间和极值； （2）若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区田家炳中学2025-2026-1高三年级期中考试 数学试卷 一､单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，，则，而， 所以. 故选：C 2. 已知，则“"是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 分析】由“"成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案. 【详解】由“"成立可推出，继而可得到； 当时，比如，推不出成立， 故“"是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量，可得，所以A不正确； 由，所以与不共线，所以B不正确； 由，所以，所以C不正确； 由，所以，所以D正确. 故选：D. 4. 令，，，则三个数、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知得，，，判断可得选项. 【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以， 故选：D． 【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据直线与平面垂直的性质得到C正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，再计算即可判断. 【详解】由题意有：的定义域为，，所以为奇函数，故排除AC； 又，故排除B， 故选：D. 7. 如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的半径为，高为，母线长为，结合题意面积比得到，再计算二者的体积比即可. 【详解】设圆锥的半径为，高为，母线长为， 则母线长为， 所以圆锥的侧面积是， 半球的面积， 由题意可得， 解得， 所以圆锥的体积为，半球的体积为， 所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为， 故选：B. 8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 9. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 10. 函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分离参数得，，引入函数，用导数研究函数的单调性极值后可得结论． 【详解】由题意方程（）有两个实根， 即在上有两个实根， 设，则， 当时，，单调递减，时，，单调递增， ，又，而时，， ∴当时，的图象与直线在上有两个交点， 即原函数有两个零点． 故选：C 二､填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 是虚数单位，复数________. 【答案】 【解析】 【分析】 分子分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 12. 展开式中的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得二项式展开式的通项公式，令即可得出答案． 【详解】解：由题意，的展开式的通项公式， 令得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数，属于基础题． 13. 求值：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算求解. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知与之间的一组数据： x 0 2 4 6 y a 3 5 3a 已求得关于y与x的线性回归方程 ，则的值为___． 【答案】2.15 【解析】 【分析】首先求出这组数据横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出的值． 【详解】由表可得，，将带入方程得： ，解得：，故答案为． 【点睛】本题主要考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数， 属于中档题. 15. 某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是__________，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，利用全概率公式即可求解，利用条件概率即可求解. 【详解】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 16. 设是等差数列，若，，则_______；若，则数列的前项和________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求. 【详解】由题意得：. 因为， 所以，，， 所以. 故答案为：；. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 17. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同4个小球，其中白色球2个，黑色球2个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为__________；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ，则随机变量ξ的期望为_______. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出连续取球四次，恰好取到两次白球的概率；可得随机变量的可能取值为0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出数学期望. 【详解】由题可得每一次取到白球的概率为， 连续取球四次，恰好取到两次白球的概率为， 随机变量的可能取值为0，1，2， 则，，， . 故答案为:;1. 【点睛】思路点睛: 求离散型随机变量的数学期望时，应首先分析出变量的可能取值，然后求出每次取值下的概率，结合数学期望公式即可求解. 18. 在中，为线段上一点.，则__________；若在线段上运动，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据三点共线的知识来求得，设，利用向量数量积运算求得的表达式，然后根据二次函数的性质来求得 【详解】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为：； 三､解答题（本大题4小题，共60分.每题15分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 19. 在中，角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果； （2）根据条件，利用同角三角函数间的关系，得到，再利用正弦定理即可求出结果； （3）法一，利用二倍角公式，求出，利用同角三角函数间的关系求出，即可求出结果；法二，利用，得到，再计算出即可求出结果. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理可得，整理得， 解得. 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，可得， 解得. 【小问3详解】 （法一）由（2）得，， ， ， 所以， 所以． （法二）由余弦定理可得， ∴， ∴ . 20. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值.. （3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解. 【小问1详解】 在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 21. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求出，设等差数列的公差为，求出，进而求得； （2）由（1）有，利用分组求和即可求解； （3）由（1）有，利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以数列是公比的等比数列， 所以， 即， 设等差数列的公差为， 由，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）有， 所以； 【小问3详解】 由（1）知， 所以，① ② ①-②得 ， 所以. 22. 已知函数. （1）当时， （i）求函数在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （2）若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）增区间为；减区间为，极大值为，极小值为. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数求出切线斜率，再由点斜式写出方程即可；（ii）利用导数研究函数的单调性，进而确定单调区间和极值. （2）将问题转化为，在上恒成立，利用导数求最值，即可求参数范围. 【小问1详解】 当时，， ， （i）， 所以函数在点处的切线方程为， 整理为： （ii）令得，， 的变化如下表： 2 + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 的增区间为；减区间为， 极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由，则， 令， ，由， 所以时单调递减；时单调递增. 只需恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $