4.4 第2课时 二项式系数的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，涵盖对称性、单调性与最大值、二项式系数的和等核心知识点，通过情境导学让学生用计算工具观察系数规律，衔接二项式定理基础，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境问题激发探究（数学眼光），合作探究中用赋值法求系数和、不等式组确定最大项，培养逻辑推理与数学运算（数学思维），分层作业适配不同水平。学生提升问题解决能力，教师获得系统教学资源，提高教学效率。

第4章 计数原理 4.4　二项式定理 第2课时　二项式系数的性质 学习任务 核心素养 1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点) 2．理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点) 1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养． 第2课时　二项式系数的性质 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，然后观察系数，有没有明显的规律？上下两行有什么关系？你能发现其他规律吗？ 必备知识·情境导学探新知 第2课时　二项式系数的性质 知识点　二项式系数的性质 对称性 二项式系数f (r)关于直线对称，即f (r)＝f (n－r)．在二项展开式中，与首末两端“______”的两项的二项式系数相等，即 r＝ 等距离 ＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 单调性和最大值 二项式系数f (r)从两端向中间逐渐增大， ①当n是偶数时，展开式的项数n＋1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值； ②当n是奇数时，展开式的项数n＋1是偶数，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 各二项式系数的和 ＋＋…＋＝___； ②n为偶数时＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝______； ③n为奇数时＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋  2n 2n-1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 体验　1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二项展开式的二项式系数和为＋＋…＋． (　　) (2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (　　) × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 体验　2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 √ D　[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项， ∴n＝8．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 体验　3．(2－x)10的展开式中的各项系数和为________． 1　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 类型1　求展开式的系数和 【例1】　设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024·x2 024(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 024的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|的值． 关键能力·合作探究释疑难 第2课时　二项式系数的性质 [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝(－1)2 024＝1． ① (2)令x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024＝32 024． ② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 023)＝1－32 024， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝． (3)∵Tr＋1＝(－2x)r＝·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 024| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024． [母题探究] (变设问)在本例条件不变的情况下．求a2＋a4＋a6＋…＋a2 024的值． [解]　由 得2(a0＋a2＋…＋a2 024)＝32 024＋1， ∴a0＋a2＋…＋a2 024＝． 又令x＝0得a0＝1，∴a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 反思领悟　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 [跟进训练] 1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7． 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 [解]　令x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ① 令x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37 ． ② (1)∵a0＝＝1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094． (3)由(①＋②)÷2，得 a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093． (4)法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093＋1 094＝2 187． 法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187． 类型2　二项式系数性质的应用 【例2】　已知f (x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 [解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n．由题意知，4n－2n＝992． ∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5． (1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝()3(3x2)2＝90x6， T4＝()2(3x2)3＝． (2)展开式的通项公式为Tr＋1＝3r·． 假设Tr＋1项系数最大， 则有∴ ∴∴r，∵r∈N＋，∴r＝4． ∴展开式中系数最大的项为T5＝(3x2)4＝． 反思领悟　1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． 3．求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系 数最大，应用解出r，即得系数的最大项． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 [跟进训练] 2．已知的展开式中前3项的系数为等差数列． (1)求展开式中含x2的项； (2)求展开式中系数最大的项． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 [解]　(1)∵已知的展开式中前3项的系数为等差数列，而的展开式的通项公式为 Tr＋1＝··xn-2r， 故 T1＝xn＝xn，T2＝··xn-2＝·xn-2， T3＝··xn-4＝·xn-4， ∴2×＝1＋，解得n＝8 或n＝1(舍去)． ∴n＝8，Tr＋1＝··x8-2r，令8－2r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2的项为··x2＝7x2． (2)设第r＋1项系数最大，Tr＋1＝··x8-2r， 则求得r＝2 或r＝3，故展开式中系数最大 的项为··x4＝7x4，或··x2＝7x2．即展开式中系数最大的项为7x4 或7x2． 类型3　利用二项式定理证明整除问题或求余数 【例3】　(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求除以9的余数． [解]　(1)证明：1110－1＝(10＋1)10－1 ＝－1 ＝102＋102 ＝＋1)， 显然上式括号内的数是整数，所以1110－1能被100整除． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 ＝＝89－1＝(9－1)9－1＝－1 ＝－2 ＝－1)＋7， 显然上式括号内的数是整数，故除以9的余数为7． 反思领悟　1．利用二项式定理解决整除问题的基本思路 利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理． 2．利用二项式定理求余数的注意点 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数．利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 [跟进训练] 3．(1)用二项式定理证明：32n+3－24n＋37能被64整除； (2)求9192除以100的余数． [解]　(1)证明：32n+3－24n＋37＝3×9n+1－24n＋37＝3(8＋1)n+1－24n＋37＝8＋1)－24n＋37＝－24n＋40＝＋64， 显然上式是64的倍数，故原式能被64整除． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 (2)法一：9192＝(100－9)92＝992，显然展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数． 992＝(10－1)92＝·10＋1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81． 法二：9192＝(90＋1)92＝， 前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81． 1．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝ (　　) A．8 B．9 C．10 D．11 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10．] 第2课时　二项式系数的性质 2．在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 √ C　[在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项，所以n＝6．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 3．在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________． 10　[由题意得2n＝32，所以n＝5，则(x＋1)5的通项Tr＋1＝x5-r1r，令5－r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为＝10．] 10　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 4．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为________． 9　[由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n+1＝1 024，故n＝9．] 9 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 5．已知(1＋2 023x)100＋(2 023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0k100且k∈N，当ak<0时，k的最大值为________． 49　[xk的系数为ak＝2 023100-k(－1)k＝2 023k[1＋2 023100-2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100， 要使ak<0，则k必为奇数，且>1， ∴100－2k>0，即k<50， ∴k的最大值为49．] 49 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)怎样确定二项式系数的最大值？ [提示]　n为偶数时，展开式的中间一项的二项式系数 最大；n为奇数时，展开式中间两项的二项式系数， 最大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 (2)在项的系数均为正的前提下怎样求项的系数的最大值？ [提示]　设第r＋1项的系数最大，则 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是(　　) A．56 B．160 C．80 D．180 课时分层作业(四十一)　二项式系数的性质 37 B　[由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为Tr＋1＝(2x)r＝xr，令r＝3得＝160．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　) A．第9项 B．第8项 C．第7项 D．第6项 B　[展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 39 3．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，① 当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，② 得a0＋a2＋a4＝41．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 40 √ 4．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　) A．5 B．10 C．20 D．40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 41 B　[因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5．所以的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝＝x10-3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为＝10．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 √ 5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[a＝＝70，设b＝2r，则得5r6， 所以b＝26＝7×28，所以＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 43 二、填空题 6．在二项式的展开式中，各项系数的和为________，含x的一次项的系数为________．(用数字作答) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　 －10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 44 －1　－10　[在二项式中，取x＝1，可得各项系数的和为－1； 二项式的展开式的通项Tr＋1＝·＝． 由＝1，得r＝1． ∴含x的一次项的系数为＝－10．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 7．若n是正整数，则除以9的余数是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7或0　＝＝8n－1＝(9－1)n－1＝90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7．] 7或0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 46 8．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1， ① 令x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36， ② ①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝， 36 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 47 ①－②得a1＋a3＋a5＝． |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝＝36．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 三、解答题 9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 49 [解]　(1)令x＝0，则a0＝－1， 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128． ① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129． (2)令x＝－1，则 －a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7， ② 由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256． (3)由，得a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 10．已知(n∈N＋)的展开式中，它的二项式系数和与各项系数和之比是512． (1)求此展开式中的有理项？ (2)求此展开式中系数的绝对值最大的项． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 51 [解]　(1)由二项式系数和与各项系数和之比是512，可得2n∶1＝512，解得n＝9， 所以展开式的通项Tr＋1＝r＝ (－1)r， 当r－18为整数，r可取0，3，6，9， 则有理项为T1＝512x-18，T4＝－5 376x-11，T7＝672x-4，T10＝－x3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 (2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则 解得，于是r只能为3． 所以展开式中系数的绝对值最大的项为 T4＝－5 376x-11． √ 11．(多选题)若(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则 (　　) A．a0＝64 B．a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝1 C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36 D．a3是a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中的最大值 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 54 ABC　[∵(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6， ∴令x＝0，有26＝a0＝64，故选项A正确； 令x＝1，有(2－1)6＝1＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，故选项B正确； 令x＝－1，有(2＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36，故选项C正确， 又a3＝·23(－1)3＜a0，故选项D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 12．若＝(n∈N)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　) A．81 B．27 C．243 D．729 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由＝得n＝4， 取x＝－1得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81． 故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 56 13．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8　－2　[x2系数之和为(－1)3＋(－1)2＝8，即a2＝8； 令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0；令x＝0，得a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．] 8 －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 57 14．如果的展开式中各项系数之和为128，则n的值为________，展开式中的系数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7 21 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 58 7　21　[由的展开式中各项系数之和为128，令x＝1得(3－1)n＝128，解得n＝7． 又Tr＋1＝·37-r·(－1)r·， 令7－r＝－3，得r＝6，从而得展开式中的系数为·37-6·(－1)6＝21．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 15．已知的展开式的二项式系数之和为256． (1)求n； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　二项式系数的性质 60 [解]　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8． (2)设常数项为第r＋1项，则 Tr＋1＝＝mrx8-2r，令8－2r＝0，即r＝4，则，解得m＝±． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 (3)易知m>0，设第r＋1项系数最大． 则 化简可得． 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以即 所以m只能等于2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $