3.3.1 抛物线的标准方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及参数p的几何意义，通过直尺、绳子和三角板的动手操作情境导入，引导学生观察轨迹形成过程，类比椭圆、双曲线定义构建圆锥曲线知识支架，自然衔接前后知识点。 其亮点在于以核心素养为导向，情境导学培养数学眼光（从操作抽象定义），例题中距离转化训练数学思维（逻辑推理求最值），表格梳理标准方程强化数学语言表达。分层设计体验题、跟进训练及分层作业，教师可直接用于教学，学生能提升抽象与运算能力。

第3章 圆锥曲线与方程 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 学习任务 核心素养 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．(重点) 2．明确抛物线方程中参数p的几何意义．(易混点) 3．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(难点) 通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，提升数学抽象及数学运算素养． 3.3.1　抛物线的标准方程 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线． 图中是一条什么曲线？由画图过程你能给出此曲线的定义吗？ 必备知识·情境导学探新知 3.3.1　抛物线的标准方程 知识点1　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)________的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的____，直线l叫作抛物线的____． 距离相等 焦点 准线 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 思考　1．抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F? [提示]　当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 体验　1．(1)若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　　 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 (2)平面内到点A(2，3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是 (　　) A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 (1)B　(2)A　[(1)由抛物线定义知，动点P的轨迹是抛物线，故选B． (2)由题意知，直线l经过点A，则点的轨迹是过点A且垂直于直线l的一条直线，故选A．] 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _________________ _________________ y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ___________________ ___________________ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 思考　2．抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？ [提示]　p(p>0)的几何意义是焦点到准线的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 体验　2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)抛物线y2＝－2px(p>0)中p是焦点到准线的距离． (　　) (2)方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线． (　　) (3)抛物线y2＝x的准线方程为x＝． (　　) √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 类型1　求抛物线的标准方程 【例1】　【链接教材P142例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 关键能力·合作探究释疑难 3.3.1　抛物线的标准方程 [解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y． (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y． (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15． ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x． 【教材原题·P142例2】 例2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F (0，－4)； (2)准线方程为x＝； (3)焦点在坐标轴上，经过点M(－2，－4)． [解]　(1)因为焦点F (0，－4)在y轴的负半轴上，并且－＝－4，即p＝8． 因此，所求抛物线的标准方程为x2＝－16y． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 (2)由准线方程为x＝知，焦点在x轴的负半轴上，并且＝， 即p＝1． 因此，所求抛物线的标准方程为y2＝－2x． (3)若抛物线的焦点在x轴上，由于它过第三象限的点M(－2，－4)，可知抛物线开口向左(如图3.3-3)，因此可设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 把点M的坐标代入，得到 (－4)2＝－2p·(－2)， 解得p＝4．从而抛物线的方程为y2＝－8x． 若抛物线的焦点在y轴上，由于它过第三象限的点M(－2，－4)，可知抛物线开口向下(如图3.3-3)，因此可设其方程为 x2＝－2py(p>0)． 把点M的坐标代入，得到 (－2)2＝－2p·(－4)， 解得p＝．从而抛物线的方程为x2＝－y． 因此，所求抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y． 反思领悟　1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 2．求抛物线标准方程时应注意 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数； (3)注意p与的几何意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 [跟进训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (2)经过点(－3，－1)． [解]　(1)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 (2)∵点(－3，－1)在第三象限， ∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y． 类型2　抛物线定义的应用 【例2】　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 (1)A　[由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．] (2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝＝． [母题探究] 若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值． [解]　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±． 所以点A在抛物线内部． 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d． 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是． 即|PA|＋|PF|的最小值是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 反思领悟　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 [跟进训练] 2．(1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 (2)若点P到点F (4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是(　　) A．y2＝－16x　　　　　　 B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝32x √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 (3)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________． (1)C　(2)C　(3)　[(1)由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F (2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1， 所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 (2)由题意知点P到点F (4，0)和直线x＝－4的距离相等． 所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，又p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x．故选C． (3)抛物线的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－．设M(x0，y0)，则有y0＋＝1，解得y0＝．] 1．(教材P143练习T2(2)改编)准线为y＝－的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝3y　　　　　　　 B．y＝－x2 C．x＝3y2 D．x＝－y2 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[准线是y＝－的抛物线的标准方程是x2＝3y，故选A．] 3.3.1　抛物线的标准方程 2．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是(　　) A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9 √ D　[抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，可得xM＝9，则点M到y轴的距离是9．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 3．若点P(x，y)到点F (0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y √ C　[依题意得点P(x，y)到点F (0，2)的距离与它到直线y＋2＝0的距离相等，并且点F (0，2)不在直线y＋2＝0上，所以点P的轨迹是抛物线，并且F是焦点，y＋2＝0是准线，于是抛物线方程为x2＝8y．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 4．抛物线y2＝16x的焦点坐标为________． (4，0)　[由题意，知p＝8，则＝4，所以抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4，0)．] (4，0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 5．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为____________________． (－9，6)或(－9，－6)　[由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝．设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x．由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6， 故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．] (－9，6)或(－9，－6) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)抛物线是如何定义的？试写出其标准方程． [提示]　平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线． 焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝±2px(p>0)， 焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)． (2)当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？ [提示]　可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 一、选择题 1．抛物线y＝－x2的准线方程为(　　) A．x＝　　　　　　　　 B．x＝1 C．y＝ D．y＝2 课时分层作业(二十九)　抛物线的标准方程 35 C　[抛物线的标准方程为x2＝－3y，则准线方程为y＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 2．若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．2 D　[抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0，解得y0＝2．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 37 3．已知抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，则实数a的值为(　　) A．8 B． C．－8 D．－ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 C　[因为抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，所以－＝4，解得a＝－8，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 38 √ 4．已知抛物线的焦点为F (a，0)(a<0)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 B　[因为抛物线的焦点为F (a，0)(a<0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 39 二、填空题 5．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 40 6．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (－6，6)或(－6，－6)　[设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6． 代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6． 因此P(－6，6)或P(－6，－6)．] (－6，6)或(－6，－6) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 41 7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (1，0)　x＝－1　[圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．] (1，0) x＝－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 42 三、解答题 8．试求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 43 [解]　(1)因为点(－3，2)在第二象限， 所以抛物线的标准方程可设为 y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)， 把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，即2p＝或2p＝． 所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 44 (2)令x＝0，解得y＝－2； 令y＝0，解得x＝4． 故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)． 当焦点为(4，0)时，＝4，即2p＝16， 此时抛物线方程为y2＝16x． 当焦点为(0，－2)时，＝2，即2p＝8， 此时抛物线方程为x2＝－8y． 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4．所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 46 法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F． ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 47 √ 10．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 B　[设P(x0，y0)，由题意得x0＋1＝5，解得x0＝4． 则＝16，∴P(4，±4)， 从而S△PFO＝×1×4＝2，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 48 √ 11．已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 49 B　[连接MF，MC，过点M作准线的垂线MP，如图所示，由抛物线的定义知|MP|＝|MF|．当M，A，P三点共线时，|MA|＋|MF|的值最小，且最小值为|CP|－1．因为抛物线的准线方程为y＝－1，而C(1，4)，所以|CP|＝4＋1＝5．所以(|MA|＋|MF|)min＝5－1＝4．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 50 12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则||＋||＋||＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 6　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F (1，0)． 由＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3， 所以||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6．] 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 51 13．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2　[如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F (1，0)到直线l1的距离d＝＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 52 14．已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点． (1)求|AM|＋|AN|的值． (2)是否存在这样的a，使2|AP|＝|AM|＋|AN|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.3.1　抛物线的标准方程 53 [解]　(1)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝xM＋xN＋2a．又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2(4－a)，∴|AM|＋|AN|＝8． (2)不存在．假设存在这样的a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|．过点P作PP′垂直抛物线的准线，垂足为P′(图略)． 根据梯形中位线定理及抛物线的定义得，|AM|＋|AN|＝2|PP′|，∴|AP|＝|PP′|．由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 54 $