7 3.3.1　抛物线的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦抛物线的定义、标准方程及应用核心知识点，通过信息技术作图引入定义，引导学生发现几何条件，再通过坐标系建立推导四种标准方程，最后结合动圆轨迹、距离最值等问题深化定义应用，辅以对点练和课时测评，构建完整学习支架。 资料特色在于以问题链驱动数学抽象，如通过动态演示点M轨迹帮助抽象定义，结合正方体模型培养直观想象，例题变式训练提升数学运算。课中助力教师引导探究，课后学生可借练习巩固，有效查漏补缺。

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.掌握抛物线定义的应用，体会数形结合思想和提升直观想象的核心素养. 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　抛物线的定义 问题1.利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示：点M随着点H运动的过程中，始终有｜MF｜＝｜MH｜，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似. 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (1)已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是(　　) A.射线 B.直线 C.抛物线 D.椭圆 (2)正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，P为面ABCD所在平面上的一个动点，且点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，则动点P的轨迹是(　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为｜MF｜，又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径｜MF｜， 因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，所以动圆圆心M的轨迹是抛物线.故选C. (2)如图，因为ABCD􀆼A1B1C1D1是正方体， 所以D1D⊥面ABCD， 而PD⊂面ABCD， 所以D1D⊥DP， 即点P到直线D1D的距离是DP的长度， 过点P作PM⊥BC于M，因为ABCD􀆼A1B1C1D1是正方体， 所以面BCC1B1⊥面ABCD，而面BCC1B1∩面ABCD＝BC，所以PM⊥面BCC1B1， 则PM的长为P到平面BCC1B1的距离， 点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离， 即P到定点D的距离等于P到定直线BC的距离， 所以点P的轨迹为抛物线. 故选D. 对点练1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 答案：A 解析：设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A.因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A. 任务二　抛物线的标准方程 问题2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示：我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设｜KF｜＝p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}. 则M到F的距离为｜MF｜＝，M到直线l的距离为， 所以 ＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0). 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p＞0) x＝－ y2＝－2px (p＞0) x＝ x2＝2py (p＞0) y＝－ x2＝－2py (p＞0) y＝ 学生用书⬇第92页 [微提醒]　四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点M(－6，6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上. 解：(1)由于点M(－6，6)在第二象限， 所以过M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)， 所以p＝3.所以抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6， 所以p＝3，所以抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①因为直线l与x轴的交点为(2，0)， 所以抛物线的焦点是F(2，0)，所以＝2， 所以p＝4， 所以抛物线的标准方程是y2＝8x. ②因为直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)， 所以＝3，所以p＝6， 所以抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2.求抛物线的标准方程的注意点 (1)把握开口方向与方程间的对应关系； (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论的次数； (3)注意p与的几何意义. 对点练2.抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为　　　　，准线方程为　　　　. 答案：　x＝－ 解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x， 所以2p＝，p＝， 所以焦点坐标为， 准线方程为x＝－. 对点练3.抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5，求抛物线的标准方程. 解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3). 由抛物线的定义得｜AF｜＝＝5， 又(－3)2＝2am，所以a＝±1或a＝±9. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 任务三　抛物线定义的应用 (1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1. 因为两圆外切， 所以｜MC｜＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以｜MC｜＝d＋1. 即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离. 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4， 故其方程为y2＝8x. (2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小值为 d＝＝. [变式探究]　 若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2).其他条件不变，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 解：将x＝3代入 y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d. 则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知，当PA⊥l时， ｜PA｜＋d最小，最小值是. 即｜PA｜＋｜PF｜的最小值为. 学生用书⬇第93页 抛物线定义的2种应用 1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 对点练4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为(　　) A.12　　　　 B.8　　　　 C.6　　　　 D.4 答案：B 解析：因为点P到y轴的距离为6，所以点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8.根据抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离为8. 对点练5.已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与直线l相切的圆的圆心的轨迹方程为　　　　. 答案：x2＝－8y 解析：设圆的圆心为C，则｜CA｜＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以原点为顶点，A为焦点，l为准线的抛物线.所以所求动圆圆心的轨迹方程为x2＝－8y. 1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为(　　) A.(－1，0) B.(1，0) C.(0，－1) D.(0，1) 答案：B 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－， 因为准线经过点(－1，1)，所以－＝－1，p＝2， 所以抛物线焦点坐标为(1，0)，故选B. 2.以双曲线－＝1的右顶点为焦点的拋物线的标准方程为(　　) A.y2＝16x B.y2＝－16x C.y2＝8x D.y2＝－8x 答案：A 解析：因为双曲线－＝1的右顶点为(4，0)，即拋物线的焦点坐标为(4，0)，所以拋物线的标准方程为y2＝16x. 3.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A.y2＝x B.y2＝8x C.y2＝－8x D.x2＝－8y 答案：AD 解析：当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1＞0)， 则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2＞0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y. 4.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标. 解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－(－9)＝10，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6). 课时测评33　抛物线的标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　) A.(1，0)　　　　　　 B. C. D. 答案：D 解析：抛物线的方程可化为x2＝y，可知焦点在y轴上，且＝，所以焦点坐标是.故选D. 2.已知抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，则实数a的值为(　　) A.8　 　　 B.　 　　 C.－8　 　　 D.－ 答案：C 解析：因为抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，所以－＝4，解得a＝－8，故选C. 3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.抛物线 答案：D 解析：由题可知动点到点(3，0)的距离与到直线x＝－3的距离相等，故动点的轨迹为抛物线. 4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 答案：B 解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交准线l于点B，则｜AB｜＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离｜PB｜＝4＋2＝6，所以点P到焦点F的距离｜PF｜＝｜PB｜＝6.故选B. 5.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件中满足抛物线方程y2＝10x的有(　　) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) 答案：BD 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，所以C不满足；若由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足为(2，1)，则该直线斜率存在，又抛物线y2＝10x的焦点坐标为，可设过该焦点的直线方程为y＝k，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足.所以满足抛物线y2＝10x的有BD. 6.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为　　　　. 答案： 解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为. 7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝　　　　，准线方程为　　　　. 答案：2　x＝－1 解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－.由题意知3＋＝4，所以p＝2.准线方程为x＝－1. 8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　　. 答案：(－6，6)，(－6，－6) 解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6.) 9.(10分)分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上. 解：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).又＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)因为点(3，－4)在第四象限， 所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0). 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 10.(13分)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解：设动点M(x，y)，☉M与直线l：x＝－3的切点为N， 则｜MA｜＝｜MN｜，即动点M到定点A的距离与到定直线l：x＝－3的距离相等， 所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以＝3，所以p＝6，所以动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线l上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　) A.2 B.4 C.6 D.4 答案：D 解析：如图，因为△FPM是等边三角形，所以｜PF｜＝｜PM｜＝｜FM｜， 由抛物线的定义知PM⊥l. 在Rt△MQF中，｜QF｜＝2，∠QMF＝30°，所以｜MF｜＝4， 所以S△PMF＝×42＝4.故选D. 12.已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A.3 B.4 C. D. 答案：A 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离.过焦点F作直线4x－3y＋11＝0的垂线，如图，当点P为该垂线与抛物线的交点时，d1＋d2取得最小值.由F(1，0)，直线方程为4x－3y＋11＝0，得(d1＋d2)min＝＝3.故选A. 13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么｜PF｜＝　　　　. 答案：8 解析：如图，∠AFE＝60°， 因为F(2，0)， 所以E(－2，0)， 则＝tan 60°， 即｜AE｜＝4， 所以点P的坐标为(6，4)， 故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8. 14.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程. 解：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 则 而点P(x0，y0)在抛物线C上， 所以＝8x0， 所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)， 所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1). 15.(17分)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求｜PA｜＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求｜PB｜＋｜PF｜的最小值. 解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知｜PF｜＝d， 于是问题转化为求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 如图，连接AF，交抛物线于点P，此时｜PA｜＋d最小，最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2， 因为2＞2，所以点B在抛物线内部. 过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图). 由抛物线的定义， 知｜P1Q｜＝｜P1F｜， 则｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝3＋1＝4. 即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $