2.7 用坐标方法解决几何问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“用坐标方法解决几何问题”，涵盖坐标法定义、步骤及证明、轨迹方程、实际应用等核心内容。通过圆拱桥水面宽度等情境问题导入，衔接直线与圆方程知识，构建从定义到应用的递进式学习支架。 其亮点在于以情境导学培养数学眼光，通过例题（如三角形证明、追击问题）训练数学思维，结合船过桥洞等实际问题强化数学语言表达。分层作业与步骤小结助力学生构建体系，提升运算和直观想象素养，也为教师提供结构化教学方案。

第2章 平面解析几何初步 2.7　用坐标方法解决几何问题 学习任务 核心素养 1．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究几何问题．(重点) 2．进一步掌握用解析法处理平面几何问题．(难点) 1．通过利用坐标法解决几何问题，培养数学运算素养． 2．借助于几何问题与代数运算的相互转化，培养直观想象素养． 2.7　用坐标方法解决几何问题 有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？ 如何才能正确地解决上述问题？ 必备知识·情境导学探新知 2.7　用坐标方法解决几何问题 知识点　坐标法及其应用 (1)坐标法的定义：平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用____表示，将直线与圆等曲线用____表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法． (2)用代数方法解决几何问题的基本过程： 坐标 方程 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 体验　一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 D　[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 类型1　用坐标法证明几何问题 【例1】　△ABD和△BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|． 关键能力·合作探究释疑难 [证明]　如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系． 2.7　用坐标方法解决几何问题 设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，则 A(－a，0)，E，C(c，0)，D， 于是|AE|＝ ＝＝， |CD|＝ ＝＝． 所以|AE|＝|CD|． 反思领悟　用坐标法解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关量． 第二步：进行有关代数运算． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 [跟进训练] 1．已知等腰△ABC中，AB＝BC，P是底边AC上的任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，CD⊥AB于点D．求证：|CD|＝|PE|＋|PF|． [证明]　如图所示，以AC的中点为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，设A(a，0)，B(0，b)，C(－a，0)，其中a>0，b>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 则直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，直线BC的方程为bx－ay＋ab＝0． 设底边AC上任意一点为P(x，0)(－axa)， 则|PE|＝＝，|PF|＝＝，|CD|＝＝， ∵|PE|＋|PF|＝＝ ＝|CD|， ∴|CD|＝|PE|＋|PF|． 类型2　利用坐标法求动点的轨迹方程 【例2】　已知坐标平面上点M与两个定点M1，M2的距离之比等于5． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为C，线段AB，点A为C上一点，点B，求AB的中点P的轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 [解]　(1)由題意可得：＝5⇒＝5， 即x2＋y2－2x－2y－23＝0⇒＋＝25． 故所求轨迹是以为圆心，5为半径的圆． (2)设P，A．∵B且AB的中点为P， ∴ ⇒ ∵点A为C上一点，∴＋＝25， 即＋＝25，故＋＝，即为所求的轨迹方程． 反思领悟　1．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系． 2．求动点的轨迹方程的一般方法有：定义法、直接法和代入法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 [跟进训练] 2．已知过点P(2，2)的直线l和圆C：(x－1)2＋y2＝6交于A，B两点． (1)若AB⊥PC，求直线l的方程； (2)若Q为圆C上的任意一点，求线段PQ中点M的轨迹方程． [解]　(1)由题意，C(1，0)且P在圆C内， ∴由AB⊥PC知：kAB·kPC＝－1， 而kPC＝＝2，得kAB＝－， ∴直线l：y－2＝－(x－2)，整理得x＋2y－6＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 (2)设M(x，y)，又M为PQ中点，即Q(2x－2，2y－2)， ∵Q为圆C上的任意一点， ∴(2x－3)2＋(2y－2)2＝6，整理得＋(y－1)2＝． 即M的轨迹方程为＋(y－1)2＝． 类型3　坐标法的实际应用 【例3】　树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，AB＝BC＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ＝∠DAC)的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 [解]　(1)如图建立坐标系xOy， 设A(0，2a)，B(0，a)，M(x，y)， 由得x2＋， 所以M在以为圆心， 半径为的圆及其内部，所以S(a)＝π． (2)设lAD：y＝kx＋2a，由兔子要想不被狼吃掉， 则>，解得：k∈(－，0)∪(0，)， 可得0<∠ADC<， 所以θ∈． 反思领悟　利用坐标法解决实际问题的一般步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 [跟进训练] 3．如图所示，船行前方的河道上有一座圆拱桥，正常水位时，拱圈的最高点距水面9 m，拱圈内水面宽22 m，船体在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，此时船可以通行无阻．近日水位暴涨了 2.7 m，船已经不能通过桥洞，船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，则船身至少降低多少才能通过桥洞？(精确到0.01 m) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 [解]　在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为(－11，0)，(11，0)，(0，9)， 又圆心C在y轴上，故可设C(0，b)． 因为|CD|＝|CB|，所以(9－b)2＝112＋b2，解得b＝－，所以圆拱桥所在圆的方程为x2＋＝． 当x＝2时，求得y≈8.820，即拱桥宽为4 m的地方距正常水位时的水面约8.820 m，距涨水后的水面约8.820－2.7＝6.120(m)，因为船体在水面以上部分原高6.5 m， 所以船身至少降低6.5－6.120＝0.38(m)，船才能顺利通过桥洞． 1．长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．y2＝16x D．x2＋y2＝25 学习效果·课堂评估夯基础 √ 2.7　用坐标方法解决几何问题 D　[由题意，若A(x0，0)，B(0，y0)，则 ＝100， ∴设M(x，y)，即x＝，y＝，有x0＝2x，y0＝2y， ∴(2x)2＋(2y)2＝100，得x2＋y2＝25，即线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝25．] 2．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　) A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米 √ B　[以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62， 得y≈3.5(负值舍去)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 3．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h，这艘外籍轮船能被海监船监测到的持续时间长约为(　　) A．1 h B．2 h C．3 h D．4 h √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 B　[根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴， 所以A，B，圆O：x2＋y2＝676，记从N处开始被监测，到M处监测结束， 所以lAB：＝1，即lAB：3x＋4y－120＝0， 因为O到lAB：3x＋4y－120＝0的距离为|OO′|＝＝24， 所以|MN|＝2＝20，所以监测时间持续＝2 h，故选B．] 4．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 　[∵点A(1，2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)坐标法是如何实现几何问题向代数问题转化的？ [提示]　利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题．适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标．很多实际问题也可采用这种方法转化． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 (2)用坐标法解决实际应用问题的一般步骤是什么？ [提示]　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．方程y＝－表示的曲线是(　　) A．一条射线 　　　　　 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆 课时分层作业(二十三)　用坐标方法解决几何问题 31 D　[由y＝－得x2＋y2＝25． ∵y＝－0，∴曲线表示半个圆．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知△ABC的三个顶点是A(5，5)，B(1，4)和C(4，1)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 33 B　[∵|AB|＝＝，|BC|＝＝3， |AC|＝＝，∴|AB|＝＋|AC|2≠|BC|2，∴△ABC为等腰三角形．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 34 3．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米，当水面下降1米后，桥在水面的跨度为(　　) A．2米 B．20米 C．4米 D．12米 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 35 C　[以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则圆拱桥所在圆的圆心位于y轴负半轴上， 设该圆的圆心为，a>0， 则该圆的方程为x2＋＝a2． 记水面下降前与圆的两交点为A，B，记水面下降1米后与圆的两交点为C，D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36 由题意可得，A，则＋(－4＋a)2＝a2，解得a＝， 所以圆的方程为x2＋＝， 水面下降1米后，可知C点纵坐标为y＝－5， 所以x2＋＝，解得x2＝120， 则此时的桥在水面的跨度为CD＝2＝2＝4米．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．已知直线x＋y－a＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的取值为(　　) A．－1或 B．1或－1 C．2或－2 D．1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[∵△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°， ∴斜边AB上的高为sin 45°，∴圆心C到直线x＋y－a＝0的距离等于sin 45°＝，∴＝，解得a＝±1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 38 √ 5．已知点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为(　　) A．24 B．16 C．8 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 39 C　[∵四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2， ∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，|OP|min＝＝2． 此时，四边形PAOB的面积的最小值为2＝8．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 40 二、填空题 6．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为C，则△CEF的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[圆心(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝， ∴|EF|＝2×＝2＝4，∴S△CEF＝×4×＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 41 7．已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(0，12)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M形成曲线的方程为______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x2＋(y－6)2＝4　[设M(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， ∵点A，且M是线段PA的中点，∴x0＝2x，y0＝2y－12， ∴P(2x，2y－12)，∵P在圆上运动， ∴(2x)2＋(2y－12)2＝16，即x2＋＝4， ∴线段PA的中点M的轨迹方程为x2＋＝4．] x2＋(y－6)2＝4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 42 8．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[表示点P(x，y)和点(－2，－3)的距离， 则的最小值为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0的距离，d＝＝＝2．] 2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 43 三、解答题 9．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 44 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由两点间的距离公式，得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)， 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c． 所以△ABC为等腰三角形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 10．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地相距10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 46 [解]　如图，以A，B所确定的直线为x轴，线段AB中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)， 设某地P的坐标为(x，y)，假设居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费3a元/千米，B地的运费为a元/千米，则商品价格＋xA地运费商品价格＋xB地运费， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 ∴3aa． ∵a>0，∴3． 化简为＋y2． ∴以点C为圆心，为半径的圆是这两条购货区域的分界线． 圆C内的居民，从A地购货便宜，圆C外的居民，从B地购货便宜， 圆C上的居民，从A，B两地购货的总费用相等，因此可随便从A，B两地之一购货． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 11．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心不超过30 km地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 49 B　[如图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系， 则B(40，0)，以B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，B城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为y＝x，它与圆B的相交弦为MN，则可求得|MN|＝2＝20(km)，＝1(h)，所以B城市位于危险区内的时间为1 h．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 12．一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　[A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，A′与圆心的距离为＝5，故所求最短距离为5－1＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 51 13．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P的斜坐标定义如下：若＝，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则点P的斜坐标为(x，y)．那么，以O为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程是_________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x2＋xy＋y2－4＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 52 x2＋xy＋y2－4＝0　[设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则＝＝＋y2＝4，∴x2＋y2＋xy－4＝0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 14．两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　[由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则＝－1，得m＝5，∴弦中点坐标为(3，1)，∴3－1＋c＝0，得c＝－2，∴m＋c＝3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 54 15．如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝． (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.7　用坐标方法解决几何问题 55 [解]　(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy． 由条件知，A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－． 又因为AB⊥BC， 所以直线AB的斜率kAB＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝＝－，① kAB＝＝，② 联立①②，解得a＝80，b＝120． 所以BC＝＝150． 因此新桥BC的长为150 m． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0d60)． 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0． 由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r＝＝． 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 所以即 解得10d35． 故当d＝10时，r＝最大， 即圆面积最大． 所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $