2.2.2 直线的两点式方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过商业中心修建大道的情境问题导入，引导学生从点斜式方程过渡到两点式方程，再延伸至截距式方程，构建层层递进的知识支架。 其亮点在于以情境导学培养数学眼光，结合三角形中线方程、光线反射等实例，通过逻辑推理推导方程形式，借助数学运算解决实际问题。采用反思总结步骤、分层训练等方法，帮助学生形成结构化知识，提升直观想象与运算素养，也为教师提供清晰的教学路径与效果检测工具。

第2章 平面解析几何初步 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 学习任务 核心素养 1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(重点、易混点) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(重点) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(难点) 1．通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养． 2．借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养． 2.2.2　直线的两点式方程 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km．现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处， 并使商业中心O到A，B两处的距离之和最短． 在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？ 必备知识·情境导学探新知 2.2.2　直线的两点式方程 知识点1　直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2， y1≠y2 斜率存在且不为0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 思考　1．不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？ [提示]　平行于坐标轴或与坐标轴重合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 体验　1．已知直线l过点A(3，1)，B(2，0)，则直线l的方程为___________． x－y－2＝0　[过A(3，1)，B(2，0)两点的直线方程为＝，整理得x－y－2＝0．] x－y－2＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 知识点2　直线的截距式方程 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距，直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a和b确定，称为直线的截距式方程． ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 思考　2．一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？ [提示]　当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 体验　2．直线＝1在y轴上的截距是________． －b2　[直线的截距式方程为＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2．] －b2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 类型1　直线的两点式方程 【例1】　【链接教材P68例5】 (1)过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D．2 (2)已知△ABC的三个顶点分别为A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程． 关键能力·合作探究释疑难 √ 2.2.2　直线的两点式方程 (1)A　[由直线的两点式方程得过点(－1，1)和(3，9)的直线方程为＝，即2x－y＋3＝0．令y＝0，得x＝－，故选A．] (2)[解]　直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB所在直线的方程．直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC所在直线的方程．直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，由两点式得＝，整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC所在直线的方程． 因为A(－5，0)，B(3，－3)，所以AB的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程．由直线的两点式方程得＝，即＝，所以y－2＝x，即7x－2y＋4＝0． 【教材原题·P68例5】 例5　如图2.2-4，三角形的顶点分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 [解]　(1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝．整理得2x＋5y＋10＝0． 这就是BC边所在直线的方程． (2)BC中点M的坐标为＝． 过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝． 整理得10x＋11y＋8＝0． 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程． 反思领悟　利用两点式求直线方程的步骤 (1)首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等． (2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解． 提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 [跟进训练] 1．已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程． [解]　直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝， 整理，得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程． 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1．直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 类型2　直线的截距式方程 【例2】　(1)一条光线从A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　　　 B．y＝－2x＋1 C．y＝x－ D．y＝－x－ (2)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 (1)B　[由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，由截距式可得反射光线所在的直线方程为＝1，整理得y＝－2x＋1，故选B．] (2)[解]　①当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距相等且为0，此时直线l的斜率k＝－，直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0． ②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0且相等时，设直线l的方程为＝1， 由点(4，－3)在直线l上，得＝1，解得a＝1． 此时直线l的方程为x＋y－1＝0． 综上知，所求直线l的方程为3x＋4y＝0或x＋y－1＝0． 反思领悟　利用截距式求直线方程的注意事项 (1)用截距式求直线方程时，纵截距b和横截距a都必须存在且都不为0． ①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0； ②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0； ③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)． (2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a； 截距相反且不为零，可设x－y＝a； 截距相等且均为零，可设y＝kx． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 [跟进训练] 2．求经过点P(－2，3)，且满足下列条件的直线方程： (1)在x轴、y轴上的截距之和等于6； (2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足b＝2a． [解]　(1)设直线方程为＝1，因为直线过点P(－2，3)，所以＝1，整理得a2－a－12＝0，解得a＝－3或4． 于是所求直线方程为＝1或＝1． 即3x－y＋9＝0或x＋2y－4＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 (2)①当a≠0时，设直线方程为＝1， 将P(－2，3)代入，得＝1，解得a＝－， 此时直线方程为＝1，即2x＋y＋1＝0． ②当a＝0时，直线过点(0，0)和(－2，3)， 所以直线的斜率为－，此时直线的方程为y＝－x． 即3x＋2y＝0． 综上可知，所求直线方程为2x＋y＋1＝0或3x＋2y＝0． 类型3　直线方程的灵活应用 【例3】　(1)两条直线＝1与＝1的图形可能是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D (2)已知直线l过点P(－2，1)． ①当直线l与点B(－5，4)，C(3，2)的距离相等时，求直线l的方程； ②当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 尝试与发现 直线的截距式方程有明显的几何意义，由此思考如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题． (1)B　[两直线方程可分别化为＝1和＝1， 由此可知其一条直线在x轴与另一条直线在y轴上的截距互为相反数且两直线的斜率符号相同，结合图形知选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 (2)[解]　①(ⅰ)当直线l∥BC时，kl＝kBC＝＝－．所以直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋4y－2＝0． (ⅱ)当直线l过线段BC的中点时，由线段BC的中点为M(－1，3)，所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，即2x－y＋5＝0． 综上可知，直线l的方程为x＋4y－2＝0或2x－y＋5＝0． ②设直线l的方程为＝1． 则解得或所以直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋4y－2＝0． 反思领悟　求直线方程时方程形式的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程． (2)已知直线的斜率，通常选用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距． (3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程． (4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 [跟进训练] 3．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条． 2　[设直线的两截距都是a，则有 ①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2，3)代入得k＝， ∴直线l的方程为3x－2y＝0． ②当a≠0时，直线设为＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入得a＝5，∴直线l的方程为x＋y＝5． ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0． ∴满足题意的直线共有2条．] 2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 1．(教材P68练习T1改编)过两点(1，2)和(3，4)的直线的方程为(　　) A．＝　　　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[由直线的两点式方程知，选C．] 2.2.2　直线的两点式方程 2．已知直角坐标系xOy平面上的直线＝1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 √ A　[直线经过第一、二、四象限，则a>0，b>0，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 3．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝－1 √ B　[直线的截距式方程为＝1，即＝1，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 √ D　[由题意知a≠0，令x＝0，得y＝a＋2， 令y＝0，得x＝1＋，由已知得a＋2＝1＋， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 5．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_____________________． 2x－y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0． 当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0． 所以直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0．] 2x－y＝0或x－y＋1＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)试写出直线的两点式方程． [提示]　＝(x2≠x1，y2≠y1)． (2)试写出直线的截距式方程． [提示]　＝1(ab≠0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 (3)如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？ [提示]　可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为(　　) A．x＝2　　　　　　　　　 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6 课时分层作业(十四)　直线的两点式方程 35 B　[由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．直线－＝－1在x轴、y轴上的截距分别为(　　) A．2，3 B．－2，3 C．－2，－3 D．2，－3 D　[直线方程可化为＝1，因此，直线在x轴、y轴上的截距分别为2，－3，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 37 3．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 38 √ 4．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(1 012，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．2 025 B．2 024 C．2 023 D．2 022 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由直线的两点式方程得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1，将点(1 012，b)代入方程， 得b＝2×1 012＋1，解得b＝2 025．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 39 √ 5．经过点M(1，1)且在两坐标轴上截距相等的直线是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y＝1 C．x＋y＝2或y＝x D．x＝1或y＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是y－1＝x－1，即y＝x． 当直线不过原点时，设直线的方程是＝1， 把点M(1，1)代入方程得a＝2，直线的方程是x＋y＝2． 综上，所求直线的方程为y＝x或x＋y＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 40 二、填空题 6．直线＝－1在两坐标轴上的截距之和为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1　[方程可化为＝1，∴在x轴和y轴上的截距分别为－4和3，故－4＋3＝－1．] －1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 41 7．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为__________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0　[设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为a－1，由截距式可得＝1，将(6，－2)代入直线方程，解得a＝2或3， 所以代入直线方程化简可得，x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0．] x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 42 8．(教材P68例5改编)已知三角形三个顶点分别为 A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x＋13y＋5＝0　[∵B(3，－3)，C(0，2)，∴线段BC中点的坐标为D，即D． 则BC边上的中线应过A(－5，0)，D两点， 由两点式，得＝，整理得x＋13y＋5＝0．] x＋13y＋5＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 43 三、解答题 9．求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　过A，B两点的直线的两点式方程是＝． 化为点斜式为：y＋1＝－(x－4)， 斜截式为：y＝－x＋，截距式为：＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 44 10．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 45 [解]　(1)设C(x，y)，∵A(－1，2)，B(4，3)， ∴AC的中点坐标为M，BC的中点坐标为N， 又AC中点在y轴上且BC中点在x轴上， ∴x＝1，y＝－3，故C(1，－3)． (2)由(1)可知M，N， 由截距式方程得＝1， 整理得MN的方程为2x－10y－5＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 √ 11．直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)和直线l2：＝1在同一坐标系中可能是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　B　　　　C　　　　D D　[由直线l1，l2在y轴上的截距相等排除B，C．由k>0排除A，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 47 12．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　) A．无最小值，且无最大值 B．无最小值，但有最大值 C．有最小值，但无最大值 D．有最小值，且有最大值 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 48 D　[线段AB的方程为＝1(0x3)，∴y＝4，∴xy＝4x＝－＋3． ∴当x＝时，xy取最大值3；当x＝0或x＝3时，xy取最小值0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 13．直线l过点P(－1，2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2x－y＋4＝0　[设A(x，0)，B(0，y)． 由P(－1，2)为AB的中点， ∴∴ 由截距式方程得l的方程为＝1，即2x－y＋4＝0．] 2x－y＋4＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 50 14．直线y＝－x＋(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝， ∴S＝·＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 51 15．过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点． (1)若△ABO的面积为9，求直线l的方程； (2)若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的两点式方程 52 [解]　设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)， 将点P(1，4)代入直线l的方程，得＝1．(*) (1)依题意得，ab＝9，即ab＝18，由(*)式得，b＋4a＝ab＝18，从而b＝18－4a，∴a(18－4a)＝18，整理得，2a2－9a＋9＝0， 解得a1＝3，a2＝，所以b1＝6或b2＝12． 因此直线l的方程为＝1或＝1，整理得，2x＋y－6＝0或8x＋y－12＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 (2)S＝ab＝ab＝＝(8＋8)＝8， 当且仅当＝，即a＝2，b＝8时取等号， 因此直线l的方程为＝1，即4x＋y－8＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $