1.1 第1课时 数列的概念及简单表示-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类、通项公式及与函数的关系，通过三角形数、古语等情境导入，引导学生从现实问题抽象数列特征，构建从概念理解到通项应用的学习支架，衔接后续数列性质学习。 其亮点是结合数学抽象、逻辑推理与数学运算素养，采用情境导学、分层训练及反思总结法，如通过“根据前几项归纳通项公式”的步骤提炼，助学生掌握规律，既提升学生探究能力，也为教师提供高效教学支持。

第1章 数列 1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念及简单表示 学习任务 核心素养 1．理解数列的概念．(重点) 2．掌握数列的通项公式及应用．(重点) 3．理解数列是一种特殊的函数，理解数列与函数的关系．(易混点、难点) 4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点) 1．通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养． 2．借助数列通项公式的应用，培养逻辑推理及数学运算素养． 第1课时　数列的概念及简单表示 在生活与学习中，为了方便，我们常常用一组有规律的数记录某一活动或数量关系．如三角形数、正方形数．古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排列在一起，就可以组成一个数列，同样，对“磨刀之石”用精密仪器测量，则每日的质量按日期排起来，也可得到一个数列． 你能举出几组有规律的数列吗？试想什么是数列？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　数列的概念及简单表示 知识点1　数列的概念及分类 1．数列及其相关的概念 (1)数列：按照一定顺序排成的一列数叫作____． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的__，排在第一位的数叫作数列的____或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第__项． 2．数列的一般形式 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为________． 数列 项 首项 n {an} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 3．数列的分类 只有有限多项的数列称为____数列，有无穷多项的数列称为____数列． 有穷 无穷 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 思考　1．(1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 [提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数． (2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 知识点2　数列的通项公式、数列与函数的关系 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的____公式． 通项 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 2．数列与函数的关系 定义域 ____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f (1)，f (2)，f (3)，… 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)______；(3)______ 正整数集N＋ 列表法 图象法 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 思考　2．数列的通项公式an＝f (n)与函数解析式y＝f (x)有什么异同？ [提示]　如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f (n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 体验　根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式． (1)2，4，6，8，…； (2)2，4，8，16，…． [解]　(1)an＝2n(n∈N＋)． (2)an＝2n(n∈N＋)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 类型1　数列有关概念 【例1】　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0，1，2，3，4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列； (4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1． 关键能力·合作探究释疑难 第1课时　数列的概念及简单表示 [解]　(1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列． (2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． (3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成． (4)错误．数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1． 反思领悟　1．数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f (n)；而项数是指该数列中项的总数． 2．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 [跟进训练] 1．已知下列数列： (1)2 008，2 012，2 016，2 020，2 024； (2)0，，…，，…； (3)1，，…，，…； (4)1，－，…，，…； (5)1，0，－1，…，sin ，…． 其中，有穷数列是_____，无穷数列是___________． (1) (2)(3)(4)(5) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 类型2　根据数列的前几项求通项公式 【例2】　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． (1)1，3，7，15，31，…； (2)9，99，999，9 999，…； (3)－，－，－，…； (4)2，－，－，－，…； (5)1，2，1，2，1，2，…． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 [解]　(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1． (2)各项加上1后，数列变成10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝10n－1． (3)数列的符号负正相间，可用(－1)n调整，分数的分子依次为自然数，而分母则是分子加上1后的平方，故可表示为，所以该数列的通项公式为an＝(－1)n． (4)数列的符号规律是正负相间，使各项分子为4，数列变为，－，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，－，…，所以an＝． (5)法一：可写成分段函数形式： an＝ 法二：an＝＝，即an＝． 反思领悟　复杂数列的通项公式的归纳方法 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号． (4)对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 [跟进训练] 2．写出下列数列的一个通项公式． (1)1，，…； (2)2，4，6，8，…； (3)4，44，444，4 444，…； (4)－，－，…． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 [解]　(1)分数的分子均为1，分母为正奇数数列，所以通项公式为an＝． (2)整数部分为自然数的2倍，分数部分的分子均为1．分母是2的正整数次幂，即2n．所以通项公式为an＝2n＋． (3)各项都乘以后变为9，99，999，9 999，…再均加上1变为10n．故该数列的通项可写为an＝(10n－1)． (4)各项符号呈负正相间，可表示为(－1)n，分数的分子均为1，分母为n(n＋1)．故通项公式可写成an＝． 类型3　通项公式的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n． (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 尝试与发现 (1)数列是一种特殊的函数，是否可考虑求函数值的方法求第n项呢？ (2)由于数列的定义域必须是N＋或{1，2，…，n}，为此可通过解方程解n，观察是否为正整数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60． (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． [母题探究] 1．(变结论)若本例中的条件不变． (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？ [解]　(1)因为an＝3n2－28n， 所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32． (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)， 所以20是该数列的第10项． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 2．(变条件，变结论)设数列{bn}的通项公式为bn＝2n2－27n＋6，那么在数列{an}和{bn}中是否存在相同的项，若存在，求出这些项；若不存在，说明理由． [解]　由题意，令an＝bn，即3n2－28n＝2n2－27n＋6，可得n2－n－6＝0， 解得n＝3(n＝－2不合题意，舍去)， 所以在数列{an}和{bn}中存在相同的项，这一项为a3＝－57． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 反思领悟　1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通 项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件，否则，就会造成错误． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 1．(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的第k项是1＋ D．数列0，2，4，6，8，…，可表示为an＝2(n－1)(n∈N＋) 学习效果·课堂评估夯基础 √ √ CD　[A错，{1，3，5，7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．CD正确．] 第1课时　数列的概念及简单表示 2．已知数列1，，…，，则3是它的(　　) A．第22项　　　　　　 B．第23项 C．第24项 D．第28项 √ B　[令＝3，解得n＝23．所以3是它的第23项，故应选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　) A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0 √ A　[当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 4．(教材P4例2(3)改编)猜想数列，－，－，－，…的通项公式为an＝____________． (－1)n+1　[各项呈正负相间，可用(－1)n+1表示，分式的分子为自然数的平方，分母是以3开头的奇数列，可用2n＋1表示，故an＝(－1)n+1．] (－1)n+1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 5．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 026－a2 025＝__________，199是数列的第________项． 27　4　50　[a7＝4×7－1＝27，a2 026－a2 025＝(4×2 026－1)－(4× 2 025－1)＝4(2 026－2 025)＝4．令4n－1＝199，解得n＝50．] 27 4 50 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？ [提示]　数列是按一定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征即：有序性、确定性和可重复性． (2)数列是如何分类的？ [提示]　按照项数是否有限可以分为：有穷数列和无穷数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 (3)所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出一个例子？ [提示]　并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…．当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，…． 可以用an＝ 也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin ，an＝cos (n－1)π表示等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 一、选择题 1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是(　　) A．an＝1＋(－1)n+1　　　 B．an＝1－(－1)n C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ 课时分层作业(一)　数列的概念及简单表示 35 C　[经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 2．已知数列－1，，－，…，(－1)n·，…，则它的第5项为(　　) A．　　　B．－　　　C．　　　D．－ D　[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 37 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 C　[n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 38 √ 4．(教材P5练习T3(2)改编)数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式an等于(　　) A．(10n－1) B．(10n－1) C．(1－) D．(10n－1) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 C　[代入n＝1检验，排除A、B、D，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 39 √ 5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　) A．20 B．28 C．0 D．12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 A　[a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 40 二、填空题 6．数列{an}中，若an＝，则a4＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[a4＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 41 7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2　[∴a2－a＝2， ∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1． 又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3， ∴a3＝(－1)3＋3＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 42 8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 9　[由an＝19－2n>0，得n<． ∵n∈N＋，∴n9．] 9 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 43 三、解答题 9．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式． (1)2，4，6，8，10，…； (2)1，3，5，7，9，…； (3)0，2，0，2，0，…； (4)－，－，－，…． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 44 [解]　(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n． (2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，所以数列的一个通项公式为an＝2n－1． (3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，所以它的一个通项公式为 an＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 45 (4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是 2，4，6，8，10，…， 其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 10．(多选题)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3可以是(　　) A．数列{an}中的第1项 B．数列{an}中的第2项 C．数列{an}中的第4项 D．数列{an}中的第6项 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 BD　[由an＝n2－8n＋15＝3得n2－8n＋12＝0， 解得n＝2或6．故应选BD．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 47 √ 11．已知数列1，，…，则是该数列的(　　) A．第127项 B．第128项 C．第129项 D．第130项 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 48 B　[将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：；第三组3项：；第四组4项：；…容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第8项．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 49 12．函数f (x)＝x2－2x＋n(n∈N＋)的最小值记为an，设bn＝f (an)，则数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝______，bn＝____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 n－1　n2－3n＋3　[f (x)＝x2－2x＋n＝(x－1)2＋n－1．当x＝1时， [f (x)]min＝n－1，∴an＝n－1，bn＝f (an)＝(n－1)2－2(n－1)＋n＝n2－3n＋3，即bn＝n2－3n＋3．] n－1 n2－3n＋3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 50 13．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 51 2　　[因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1(i＝1，2，3，…)为直角三角形， 所以OA2＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 52 14．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　数列的概念及简单表示 53 [解]　(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项． 令an＝1，得＝1， 而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项． (2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1， 则有an＝an＋1，即＝． 解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 54 $