精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

闵行中学高三期中数学试卷 2025.11 一、填空题 1. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行并集运算即可求解. 【详解】由，所以. 故答案为：. 2. 复数 ，则 __________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，即可求解. 【详解】，所以. 故答案为： 3. 函数 的定义域为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组可求定义域. 【详解】由解析式知：，解得，所以函数定义域为. 故答案为：. 4. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可结合导数的定义求解. 【详解】，则，故， 故. 故答案为： 5. 如果，那么___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 6. 二项式的展开式中，常数项为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】由题得二项式通项公式为：， 令， 所以二项式的展开式中，常数项为. 故答案为：. 7. 将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）______ 【答案】72 【解析】 【分析】根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可. 【详解】依题意：，解得， 则平均分为. 故答案为：72 8. 已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为________________________．（结果用分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型相关知识结合组合数公式可解． 【详解】已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则有种选法， 则恰有2名男生和2名女生的选法有， 则恰有2名男生和2名女生的概率为． 故答案为： 9. 已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合等差数列定义可得，由此可得直线过定点，推出点到直线的距离，由此可得结论. 【详解】因为，，成等差数列，所以，即， 方程可化为，即， 所以直线过定点， 设点到直线的距离为，则，当且仅当与直线垂直时等号成立， 所以当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离等于， 所以点到直线的最大距离是， 故答案为：. 10. 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得出.进而作图推得，点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点，结合图象分析即可得出即为的最小值.根据已知条件计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，所以. 设，，，，，， 则，，， 所以有，，则， 所以点的轨迹为以为圆心的圆. 过点，作，垂足为，交圆于点， 根据图象可得出即为的最小值. 在中，有，， 所以有. 又，所以. 故答案为：. 11. 若函数()的最大值为11，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义圆的三角代换即可求解. 【详解】的几何意义为：以原点为圆心，为半径的圆周上点到与到轴距离之和的最大值为11， 故. 所以. 故答案为：50. 12. 已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 二、选择题 13. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可． 【详解】选项A，令，定义域为， 且，即为奇函数， 选项B，令，定义域为，， 即为奇函数； 选项C，令，，， 故不是偶函数； 选项D，，定义域为，且，则为偶函数， 故选：D． 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 15. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设定义，结合长方体的体积公式、已知量判断长方体的体积是否可以确定即可. 【详解】如下图，根据长方体体积公式，只需确定共顶点的三条棱长即可， 已知的长度，则体积可定，A满足； 由，即可求出，则体积可定，B满足； 由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故体积可定，C满足； 已知无法求出，体积不能确定，D不满足. 故选：D 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“R函数”.已知函数，中恰有一个为“R函数”，则满足条件的m的整数值的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由“相对”思想，将问题转化为直线与的图象至多一个交点，函数与的交点问题，转化为方程的根来求解；与的交点问题则转化为函数的零点问题，利用导数求解可得. 【详解】由函数定义可知，在平面直角坐标系中， 任意与轴垂直的直线与函数的图象至多一个交点. 由题意函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转，仍为函数图象， 相对可知，任意与轴垂直的直线绕原点顺时针旋转后，与图象至多一个交点， 即，直线与的图象至多一个交点， 故，方程至多一个实数根. 对于函数： ，要使方程至多一个实数根， 即，方程在至多一个实数根， 又不是方程的根， 当时，至多一个实数根，满足题意； 当时，对任意，方程的判别式不恒成立，不满足题意； 故若函数为“R函数”，则； 对于函数： ，方程至多一个实数根至多一个实数根， 故只需函数是单调函数， 由，设， 则，其中， ①当时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 则， 即，且，； 故在必不单调； ②当时， 同理可得，在上单调递增，在上单调递减； ，且；， 故恒成立不可能， 所以要使函数是单调函数， 则只需恒成立，则只需， 解得. 即若中为“R函数”，则. 综上所述，满足条件的m的整数值为，共个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于“相对”运动思想的应用，题目中“将函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转，仍为函数图象”，由“相对”思想，转化为“任意与轴垂直的直线绕原点O顺时针旋转后，与图象至多一个交点”，进而根据函数及后续运算特点转化为方程的实数根或函数的零点问题求解. 三、解答题 17. 在等差数列中，，且，，构成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）将全部用代换，结合等比性质可求的通项公式； （2）化简得，结合分组求解法求出，由的单调性可求的最小值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则由，，成等比数列及， 得，即，解得． 当时，，，构成等比数列，符合条件； 当时，，，不能构成等比数列，不符合条件． 因此，于是数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，故，所以 易知在正整数集上严格递增，且，． 故满足的正整数的最小值为6． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 19. 六安市某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为km，、两点在半圆弧上，满足，设. （1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段，和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求最大值； （2）若在和内种满月季花，在扇形内种满薰衣草，已知月季花利润是每平方千米元，薰衣草的利润是每平方千米元，则当为何值时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），6 （2）当时，总利润最大， 【解析】 【分析】（1）由，满足，得到，，进而得到，同理得到，然后由求解； （2）易得，，，得到总利润，然后利用导数法求解. 【小问1详解】 解：由图知：，，， 由的中点，则，， 所以， 同理可得，， 所以， 即，. 所以当，即时，有； 【小问2详解】 ，，. 所以总利润， 令， 所以， 因为，由得，当变化时，，的变化如下表所示， 0 递增 极大值 递减 所以当时，总利润最大，. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【小问1详解】 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). 【小问2详解】 因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. 【小问3详解】 由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，. 因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程. 设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此. ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出故，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 【答案】（1）证明：令， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 于是，故，即． （2） （3）证明：如图，设点的坐标分别为， 则点的横坐标为，因，则在点处的切线斜率为， 又因，则在点处的切线斜率为， 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即， 则， 即，设，则， ① 令，则， 所以在上单调递增，故， 则，这与①矛盾，假设不成立， 故在点处的切线与在点处的切线不平行． 【解析】 【分析】（1）令，利用求导判断函数的单调性，求得极值，即可证明结论； （2）将函数存在单调递减区间转化为有解，即有正数解，利用参变分离法即可求得参数的取值范围； （3）设点的坐标分别为，分别求出在点处的切线斜率与在点处的切线斜率，假设两切线平行，由推得，设，则， ①，构造函数，通过求导，判断函数的单调性，推得，与①矛盾，说明假设不成立，从而结论得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 则， 因为函数存在单调递减区间，所以有解， 又因为，则有正数解， 由，因， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行中学高三期中数学试卷 2025.11 一、填空题 1. 已知集合，则__________． 2. 复数 ，则 __________________． 3. 函数 的定义域为 __________________． 4. 已知函数，则______． 5. 如果，那么___________ 6. 二项式的展开式中，常数项为______ 7. 将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）______ 8. 已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为________________________．（结果用分数表示） 9. 已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是__________． 10. 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________． 11. 若函数()的最大值为11，则___________. 12. 已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 二、选择题 13. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点O逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“R函数”.已知函数，中恰有一个为“R函数”，则满足条件的m的整数值的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题 17. 在等差数列中，，且，，构成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 19. 六安市某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为km，、两点在半圆弧上，满足，设. （1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段，和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求最大值； （2）若在和内种满月季花，在扇形内种满薰衣草，已知月季花利润是每平方千米元，薰衣草的利润是每平方千米元，则当为何值时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $