精品解析：新疆石河子第二中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

高一月考数学试卷 时间120分钟 总分150 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集求解即可； 【详解】因为 所以 故选：C 2. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用补集和交集的运算求解. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以． 故选：B. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 4. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的关系及交集的定义分析判断. 【详解】由题意可知：比如，即， 对任意，则， ∵，则，即， ∴，且，B正确，D错误； 又∵，令，解得，即， ∴，且不是的子集，A、C错误； 故选：B. 5. 已知集合，且，则实数为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 6. 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A. x＜0 B. x≥0 C. x∈{－1，3，5} D. x≤－或x≥3 【答案】C 【解析】 【详解】因为容易解得：2x2－5x－3≥0成立的充要条件是或x⩾3 所以对于A当时不能推出2x2－5x－3≥0，不充分． 对于B当x=2时不能推出2x2－5x－3≥0，不充分． 选项D是充要条件， 本题选择C选项. 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式. 【详解】根据题意，方程的两根为2和3， 则， 则为，其解集为. 故选：D. 8. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】 ，选C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合可求. 【详解】， 因，则， 若，则为空集，符合题意； 若，则，则或，得或， 综上，实数的值为或或. 故选：ABC 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在R上恒成立”的充要 C. 若，则 D. 的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，可判定A错误；根据一元二次不等式的性质，以及充要条件的判定，可判定B正确；根据特例法，可判定C错误；根据时，，可判定D错误. 【详解】对于A中，根据不等式基本性质的可乘性得，当时，若，不一定有，所以A错误. 对于B中，当时，不等式恒成立， 反之，若不等式在R上恒成立，则，解得，所以B正确. 对于C中，若，满足但不满足，所以C错误. 对于D中，函数，当时，，所以函数无最小值，所以D错误. 故选：ACD. 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则的子集有________个. 【答案】16 【解析】 【分析】 根据交集的定义，结合并集的定义、子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，所以有，因此，， 所以，因为的元素共有4个，因此的子集有个. 故答案为：16 13. 函数的最小值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】将函数转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值是3， 故答案为：3 14. 若关于x的不等式的解集是，其中则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】关于 x的不等式的解集是 ，可得，结合一元二次方程根的判别式可得，再由根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【详解】关于 x的不等式的解集是 ， 可得，且  是一元二次方程  的两个根， 可知 ，解得：  或舍去 所以 由韦达定理可得：，， 则， 又因为，所以，因此， 故答案为：   四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）若集合，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集，补集，并集的定义计算即可； （2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可. 【小问1详解】 由已知易得或， ， . 【小问2详解】 由得， ①当时，，解得； ②当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. 【小问2详解】 因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 17. 已知函数． （1），恒成立，求的取值范围； （2）若的解集为， ①求，的值； ②解关于的不等式． 【答案】（1） （2）①，； ②当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）分与两种情况计算可求的取值范围； （2）①把不等式变形，利用韦达定理，求得的值．②把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论的值，求得它的解集． 【小问1详解】 ∵对恒成立， ∴当时，对不恒成立，∴不满足题意； ∴当时，，∴； 综上所述，的取值范围为； 【小问2详解】 ①因为函数，所以不等式，即为， 由于不等式的解集为可得，，且，求得，． ②关于的不等式，即，即． 当时，不等式即，它的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米 【解析】 【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可； （2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可； 解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 【小问1详解】 设的长为x米， 由题意可知：∵，∴，∴， ∴， 由，得， ∵， ∴，即, 解得：或， 即长的取值范围是； 【小问2详解】 解法一：∵， ∴ ， 当且仅当，即时，取“=”号， 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 解法二：∵∴， 令得， 当时，，当时， 当时，S取极小值，且为最小值， 即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米． 19. 设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则． （1）若，求出中的另外两个元素； （2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断； （3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合． 【答案】（1）另外两个元素为，2； （2）该命题正确，证明如下： 设，则，则， 均无解， 所以“中至少有三个元素”正确. （3）. 【解析】 【分析】（1）结合定义计算出中的另外两个元素. （2）结合定义判断出至少有三个元素. （3）由（2）设出中元素的表达式，结合条件求得中元素. 【小问1详解】 ， 所以另外两个元素为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，若，那么、. 若中的元素不超过个，那么，且. 所有元素的乘积为，不妨设， 所以中有三个元素， 所以，解得或或. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考数学试卷 时间120分钟 总分150 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合则 A. B. C. D. 2. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，且，则实数为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 6. 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A. x＜0 B. x≥0 C. x∈{－1，3，5} D. x≤－或x≥3 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在R上恒成立”的充要 C. 若，则 D. 的最小值为5 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则的子集有________个. 13. 函数的最小值是______. 14. 若关于x的不等式的解集是，其中则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）若集合，且，求实数a的取值范围. 16. 已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1），恒成立，求的取值范围； （2）若的解集为， ①求，的值； ②解关于的不等式． 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 19. 设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则． （1）若，求出中的另外两个元素； （2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断； （3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $