精品解析：黑龙江省牡丹江市东宁市第一中学、绥芬河市高级中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2025~2026学年度高二上学期10月联考试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 3. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可得，从而得解. 【详解】若曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围是． 故选： B． 4. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】依题意，直线为， 所以两平行直线与之间的距离． 故选：C 5. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 6. 已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得的轨迹方程为，即可根据相切求解最值. 【详解】由题意知圆的方程为，设，， 则,所以,又在圆上，所以， 即，即的轨迹方程为.如图所示， 当与圆相切时，取得最大值， 此时，，所以的最大值为. 故选:A 7. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点， 正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 8. 已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果. 【详解】不妨设，，焦距， 由的面积为，得， 由余弦定理，得， 则 ， 所以，即， 所以，所以，易得， ，所以， 所以，由椭圆定义知， 所以，所以， 所以，， 所以． 故选： C． 【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义，性质，焦点三角形的面积计算等知识，计算量较大.具体做法可画出图形，辅助理解；由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两直线平行的判断方法，列出方程和不等式，求出的值并检验即得. 【详解】因，故得且， 可推得，解得或,经检验均符合题意. 故选：BC. 10. 已知⨀：，⨀：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若分别是⨀与⨀上的点，则的最大值是 B. 当时，⨀​​​​​​​与⨀相交弦所在的直线方程为 C. 当时，若⨀上有且只有3个点到直线的距离为1，则 D. 若⨀​​​​​​​与⨀有3条公切线，则的最大值为4 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，求出圆心距，得到的最大值；B选项，先得到两圆相交，两圆相减得到相交弦方程；C选项，先得到点到直线的距离为1，由点到直线距离公式得到方程，求出答案；D选项，⨀​​​​​​​与⨀外切，从而得到，利用基本不等式求出答案. 【详解】A选项，由题意可知，，所以， 又，分别是⨀与⨀上的点， 所以的最大值是，A正确； B选项，当，时， ⨀​​​​​​​：，⨀：， 由于圆心距为，而，故两圆相交， 两圆方程相减得， 故相交弦所在的直线方程为，B错误； C选项，当时， 若⨀上有且只有3个点到直线的距离为1， 则点到直线的距离为1， 所以，解得，C错误； D选项，若⨀​​​​​​​与⨀​​​​​​​有3条公切线， 则⨀与⨀​​​​​​​外切，即， 所以，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：AD． 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】由， ，解得． 故答案为：． 13. 已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后利用椭圆定义求得，进而在中求解即可. 【详解】由椭圆的方程得，因为， 所以可设，又在椭圆上，所以，解得， 所以，由椭圆定义知， 所以. 故答案为： 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． 【小问1详解】 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． 【小问2详解】 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 16. 已知圆. （1）若点是圆上的一点，求的取值范围； （2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设，由直线与圆有公共点，借助直线与圆的位置关系求解即可； （2）利用圆的弦长公式求出，分类讨论利用点到直线的距离，求出直线的方程即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径为. 设，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的取值范围是. 【小问2详解】 由圆，可得圆心，半径为. 设点到直线的距离为， 因为，所以，解得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 17. 如图所示几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可； （2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可. 【小问1详解】 以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【小问1详解】 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； 小问2详解】 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； 【小问3详解】 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点. ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得； （2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案； ②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得． 【小问1详解】 对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. 【小问2详解】 ①由相似比可知，，解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以， 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值． ②由相似比可知，，解得，所以椭圆：， 其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点， 设，易知直线、斜率均存在且不为， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由，得， 设，，则，， 所以 ， 同理可得， 所以． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二上学期10月联考试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A B. 8 C. D. 2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A B. C. D. 6. 已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 2 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线平行，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 10. 已知⨀：，⨀：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若分别是⨀与⨀上的点，则的最大值是 B. 当时，⨀​​​​​​​与⨀相交弦所在的直线方程为 C. 当时，若⨀上有且只有3个点到直线的距离为1，则 D. 若⨀​​​​​​​与⨀有3条公切线，则的最大值为4 11. 如图，多面体是各棱长均为1平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则_____. 13. 已知分别是椭圆左，右焦点，是椭圆上一点，且，则______. 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 16. 已知圆. （1）若点是圆上的一点，求的取值范围； （2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点. ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $