2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则= （    ） A． B． C． D． 2．已知复数Z在复平面上对应点的坐标为，则复数Z的虚部为（    ） A．2 B．3 C．2i D．3i 3．的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若，则（    ） A．1 B． C．0 D． 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．方程的解的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（    ）. A． B． C． D． 10．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（    ） A． B． C． D． 13．已知某校高三（1）班有6位同学特别优秀，其中有3位男生和3位女生，从他（她）们中随机选取3位参加市里举办的百科知识竞赛，则恰有2位男生和1位女生参加竞赛的概率为（    ） A． B． C． D． 14．已知向量与均为单位向量，若，则向量与的夹角大小是 A． B． C． D．以上都不对 15．2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店1—8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（    ） A．这8个月销量的极差为4132 B．这8个月销量的中位数2499 C．这8个月中2月份的销量最低 D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 17．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 18．某市的电费收费实行峰平谷标准，如下表所示： 时间段 电价 峰期 14：00-17：00 19：00-22：00 1.02元/度 平期 8：00-14：00 17：00-19：00 22：00-24：00 0.63元/度 谷期 0：00-8：00 0.32元/度 该市市民李丹收到11月的智能交费账单显示：电量520度（其中谷期电量170度），电费333.12元．请你根据以上信息计算李丹家的峰期用电量大约为（精确到整数）（    ） A．149度 B．179度 C．199度 D．219度 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．函数的定义域是 ． 20．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为 ，方差为 ． 21．八卦是中国传统文化中的概念和哲学符号，如图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，设该正八边形对角线的交点为，若，则下列结论中所有正确结论的序号是 ． ①；②；③；④. 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数在区间上的最小值． 23．（本小题满分9分）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 24．（本小题满分9分）如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 25．（本小题满分8分）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且. (1)写出所有3维信号向量； (2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； (4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，，所以=，故选：C 2．已知复数Z在复平面上对应点的坐标为，则复数Z的虚部为（    ） A．2 B．3 C．2i D．3i 【答案】A 【解析】因为复数在复平面内对应的点坐标为，故复数，则其虚部为：2.故选：A. 3．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故选：A． 4．已知平面向量，，若，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【解析】由，，且，得，解得.故选：D. 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，； 当时，；当时，， 所以函数的值域为.故选:A. 6．方程的解的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】由题意可知，方程的解的个数函数与函数图象的交点个数，如下图所示： 由图象可知，两个函数有个交点，因此，方程的解的个数为.故选C. 7．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由存在量词命题的否定可知， “，”的否定是：，，故选：A. 8．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为在定义域上单调递减，所以， 所以， 又，， 所以，故D正确，故选D 9．已知，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，，所以.故选：D 10．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵的根为，，作函数图象可得 观察图象可得不等式的解集是，故选：D. 11．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由可得：， 对两边同时平方可得，所以， 所以”是“”的充要条件.故选：C. 12．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 13．已知某校高三（1）班有6位同学特别优秀，其中有3位男生和3位女生，从他（她）们中随机选取3位参加市里举办的百科知识竞赛，则恰有2位男生和1位女生参加竞赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：从6为同学中随机选取3位同学参加市里举办的百科知识竞赛，其基本事件的个数为：，恰有2位男生和1位女生参加竞赛的事件数为，即恰有2位男生和1位女生参加竞赛的概率为.故选：A 14．已知向量与均为单位向量，若，则向量与的夹角大小是 A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【解析】对两边平方得，即，，故选A. 15．2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店1—8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（    ） A．这8个月销量的极差为4132 B．这8个月销量的中位数2499 C．这8个月中2月份的销量最低 D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份 【答案】B 【解析】由折线图可知极差为，故A正确； 销量由小到大排列为，所以中位数为，故B错误； 由折线图可知2月份销量最低，故C正确； 由折线图可知，7月份销量比6月份销量增长件，最大，故D正确. 故选B 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由余弦定理，又 所以，所以，因为，所以故选：D 17．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得，解得，与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2， 则该圆锥的体积为，故选A． 18．某市的电费收费实行峰平谷标准，如下表所示： 时间段 电价 峰期 14：00-17：00 19：00-22：00 1.02元/度 平期 8：00-14：00 17：00-19：00 22：00-24：00 0.63元/度 谷期 0：00-8：00 0.32元/度 该市市民李丹收到11月的智能交费账单显示：电量520度（其中谷期电量170度），电费333.12元．请你根据以上信息计算李丹家的峰期用电量大约为（精确到整数）（    ） A．149度 B．179度 C．199度 D．219度 【答案】A 【解析】设峰期电量x度，则平期电量度，从而有，解得． 故选：A. 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】要使得函数有意义，必须满足， 解得：或，则的定义域是. 20．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 【解析】由已知可得平均数为， 方差为， 21．八卦是中国传统文化中的概念和哲学符号，如图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，设该正八边形对角线的交点为，若，则下列结论中所有正确结论的序号是 ． ①；②；③；④. 【答案】①③④ 【解析】由图知，在正八边形中，每个边对应的中心角为，以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，则，，，，，． 对于①：，，，所以，故①正确； 对于②：，，，故②错误； 对于③：，，，所以，故③正确； 对于④：，所以，故④正确． 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数在区间上的最小值． 【解】（1）因为 ……………………2分 知，所以. ……………………3分 （2）由的性质，知在上是单调递增，在上是单调递减，，， ……………………5分 因而， 所以函数在的最小值为. ……………………8分 23．（本小题满分9分）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A．    B． ② A．    B． ③ A．    B． ④ A．   B． ⑤ A．   B． ⑥ A．    B． 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A ……………………2分 【解】（1）∵当时， ，∴，故①选A； ……………………3分 ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； ……………………4分 （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ……………………5分 ∵当时，，所以，故④选A； ……………………6分 ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； ……………………7分 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. ……………………9分 24．（本小题满分9分）如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解】（1）依题意，，平面，平面， 故平面. ………………………………………………4分 （2）在四边形中，，为中点，则， 得到四边形为平行四边形，，而，则， 在图②中，，而平面， 所以平面. ………………………………………………9分 25．（本小题满分8分）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量.设，则和的内积定义为，且. (1)写出所有3维信号向量； (2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； (4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：. 【解】（1）由题意可知：所有3维信号向量为 ………………………………1分 （2）设4维信号向量为，，， 可知， 若，等价于， 可知中有2个1，2个， 代入可知：符合上式， 两两垂直的4维信号向量可以为：，，， …………3分. （3）假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有7个分量为， 设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. ………………………………………………5分 （4）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到， 则，设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以， 令所以，所以. ………………………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02·参考答案 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C A A D A C A D D 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D C B A A B D A A 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） 19． 20． 21．①③④ 三、解答题（本题共3小题，共25分） 22．（本小题满分8分） 【解】（1）因为 ……………………2分 知，所以. ……………………3分 （2）由的性质，知在上是单调递增，在上是单调递减，，， ……………………5分 因而， 所以函数在的最小值为. ……………………8分 23． （本小题满分9分） 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A ……………………2分 【解】（1）∵当时， ，∴，故①选A； ……………………3分 ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； ……………………4分 （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ……………………5分 ∵当时，，所以，故④选A； ……………………6分 ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； ……………………7分 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. ……………………9分 24．（本小题满分9分） 【解】（1）依题意，，平面，平面， 故平面. ………………………………………………4分 （2）在四边形中，，为中点，则， 得到四边形为平行四边形，，而，则， 在图②中，，而平面， 所以平面. ………………………………………………9分 25．（本小题满分8分） 【解】（1）由题意可知：所有3维信号向量为 ………………………………1分 （2）设4维信号向量为，，， 可知， 若，等价于， 可知中有2个1，2个， 代入可知：符合上式， 两两垂直的4维信号向量可以为：，，， …………3分. （3）假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有7个分量为， 设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量. ………………………………………………5分 （4）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到， 则，设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为， 所以， 令所以，所以. ………………………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年北京市学考仿真模拟试卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共计 15 分） ) ( 19 ． _______________________ 20 ． _______________________ 2 1 ． _______________________ 2 2 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续 2 2 题） 23 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． 25 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $