2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】要使原函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为．故选：A． 3．若复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,其在复平面内对应的点的坐标为故选B 4．在正三棱柱中，为侧面的中心，为侧面的中心，为的中点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 【答案】D 【解析】如图所示： 因为为侧面的中心，为侧面的中心，所以， 又因为， 所以且异面，故选：D． 5．已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确.故选：C 6．已知函数，若，则的值是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【解析】令，则 因为，所以为奇函数， 所以，所以.故选：B. 7．不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可变形为,所以 .故本题正确答案是 8．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C选项符合.故选：C 9．若，那么的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，∴，故选：A． 10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，的定义域是，且在上单调递增，不符合题意. B选项，的定义域是，且在上单调递减，不符合题意. C选项，的定义域是，是非奇非偶函数，不符合题意. D选项，的定义域是，， 所以是奇函数，且在上单调递减，符合题意.故选：D 11．已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为集合是的真子集 ， 所以p是q的必要不充分条件．故选:B． 12．已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【解析】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点.故选：D. 13．若内角所对的边分别为，且，则角 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，， 由余弦定理得，， 又，.故选：B. 14．某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是（    ） A．A班的数学成绩平均水平好于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次B班的数学平均分高于A班 D．在第一次考试中，A、B两个班总平均分为78分 【答案】C 【解析】A班的5次数学测试平均分分别为81,80,81,80,85，5次的平均分， B班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80，5次的平均分为， A班的数学平均分好于B班，选项A正确； 由于A班的成绩都在80分附近，而B班的平均分变化很大，所以A班成绩稳定些，选项B正确； 下次考试A，B班的平均分不能预料，所以选项C错误； 在第一次考试中，总平均分为分，选项D正确. 故选：C 15．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦函数，令，则， 所以单调递减区间是.故选：B 16．已知实数、满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由不等式的基本性质可得，，故. 故选：C. 17．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，包含书法､舞蹈､围棋､演讲､武术五项活动，甲同学打算从这五项活动中随机选三项，则书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中包含这两项活动都没被选中和这两项活动只有一项被选中这两种情况，所以所求概率. 解法二：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的对立事件为这两项活动都被选中，所以所求概率.故选：C 18．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 易得. 取的中点O，连接，易得， ∴. ∴多面体的体积 ，故选：A. 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．＝ . 【答案】1 【解析】. 20．函数f(x)=的定义域为 ，值域为 . 【答案 (-1，1) (-1，1) 【解析】由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}={x|-1<x<1}，即(-1，1)， 又当0<x<1时，0< - x2+1<1；当-1<x<0时，-1<x2-1<0；当x=0时，f(x)=0， 故值域为(-1，0)∪{0}∪(0，1)=(-1，1). 21．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【解析】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：令，变形得， 作出函数的图象如下图： 根据图象可得在上单调递增， 故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误. 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)当，求的值域． 【解】（1）令， 得， 所以函数的单调增区间为； …………………………………………4分 （2）当时，， 则， 所以的值域为． ………………………………………………8分 23．（本小题满分9分）阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①________. 因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数. （2）③________，且， 因为， 所以④________0，⑤________0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A．            B．   ② A．        B． ③ A．任取           B．存在 ④ A．             B． ⑤ A．             B． 【答案】ABABA ……………………………2分 【解】①由于的定义域为R，故A正确； ……………………………3分 ②由于，故B正确； ……………………………4分 ③根据函数单调性定义可知任取，故A正确； …………………………5分 ④因为，所以，故，故B正确； ……………………………6分 ⑤因为，故，故，故A正确. ……………………………8分 24．（本小题满分9分）如图，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为和的中点．（附注：轴截面是过圆柱旋转轴的截面） (1)求证：面； (2)求证：面. 【解】（1）证明：，分别为和的中点， 平面，， 面； ……………………………3分 （2）证明：四边形为圆柱的轴截面， 平面， 平面， ， ……………………………5分 是底面圆直径，又是底面圆上一点， ， 面， 面． ……………………………8分 25．（本小题满分8分）已知有限集，如果A中元素，满足，就称A为元“创新集”； （1）若，试写出一个二元“创新集”A； （2）若，且是二元“创新集”，求的取值范围； （3）若是正整数，求出所有的“创新集”； 【解】（1）由“创新集”的定义得：， 令，得，则； 所以为二元“创新集”. ……………………………2分 （2）若，且是二元“创新集”， 不妨设， 则由韦达定理知，是一元二次方程的两个根， 由，可得或， 所以或. …………………………4分 （3）若是正整数，不妨设中， 由，所以， 当时，，所以， 所以，显然无解， 所以时，不存在“创新集”. 当时，，故只能，求得， 所以. ……………………………6分 当时，由， 则有成立， 但对时，恒成立， 所以对恒成立， 所以对不成立， 所以时不存在“创新集”. 综上所述：“创新集”只有. ………………………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03·参考答案 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A B D C B B C A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D B D B C B C C A 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分） 19．1 20．(-1，1) (-1，1) 21．①② 三、解答题（本题共3小题，共25分） 22．（本小题满分8分） 【解】（1）令， 得， 所以函数的单调增区间为； …………………………………………4分 （2）当时，， 则， 所以的值域为． ………………………………………………8分 23． （本小题满分9分） 24． 【答案】ABABA ……………………………2分 【解】①由于的定义域为R，故A正确； ……………………………3分 ②由于，故B正确； ……………………………4分 ③根据函数单调性定义可知任取，故A正确； …………………………5分 ④因为，所以，故，故B正确； ……………………………6分 ⑤因为，故，故，故A正确. ……………………………8分 24．（本小题满分9分） 【解】（1）证明：，分别为和的中点， 平面，， 面； ……………………………3分 （2）证明：四边形为圆柱的轴截面， 平面， 平面， ， ……………………………5分 是底面圆直径，又是底面圆上一点， ， 面， 面． ……………………………8分 25．（本小题满分8分） 【解】（1）由“创新集”的定义得：， 令，得，则； 所以为二元“创新集”. ……………………………2分 （2）若，且是二元“创新集”， 不妨设， 则由韦达定理知，是一元二次方程的两个根， 由，可得或， 所以或. …………………………4分 （3）若是正整数，不妨设中， 由，所以， 当时，，所以， 所以，显然无解， 所以时，不存在“创新集”. 当时，，故只能，求得， 所以. ……………………………6分 当时，由， 则有成立， 但对时，恒成立， 所以对恒成立， 所以对不成立， 所以时不存在“创新集”. 综上所述：“创新集”只有. ………………………………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年北京市学考仿真模拟试卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共计 15 分） ) ( 19 ． _______________________ 20 ． _______________________ 2 1 ． _______________________ 2 2 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续 2 2 题） 23 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． 25 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D．或 3．若复数满足，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 A． B． C． D． 4．在正三棱柱中，为侧面的中心，为侧面的中心，为的中点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 5．已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的值是（   ） A．3 B． C． D．5 7．不等式的解集为 A． B． C． D． 8．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．若，那么的值为（    ）. A． B． C． D． 10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 11．已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 13．若内角所对的边分别为，且，则角 A． B． C． D． 14．某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是（    ） A．A班的数学成绩平均水平好于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次B班的数学平均分高于A班 D．在第一次考试中，A、B两个班总平均分为78分 15．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 16．已知实数、满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，包含书法､舞蹈､围棋､演讲､武术五项活动，甲同学打算从这五项活动中随机选三项，则书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 18．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．＝ . 20．函数f(x)=的定义域为 ，值域为 . 21．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)当，求的值域． 23．（本小题满分9分）阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①________. 因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数. （2）③________，且， 因为， 所以④________0，⑤________0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A．            B．   ② A．        B． ③ A．任取           B．存在 ④ A．             B． ⑤ A．             B． 24．（本小题满分9分）如图，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为和的中点．（附注：轴截面是过圆柱旋转轴的截面） (1)求证：面； (2)求证：面. 25．（本小题满分8分）已知有限集，如果A中元素，满足，就称A为元“创新集”； （1）若，试写出一个二元“创新集”A； （2）若，且是二元“创新集”，求的取值范围； （3）若是正整数，求出所有的“创新集”； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $