5.1.2 等式的性质（题型专练88题）2025-2026学年人教版七年级数学上册同步题型练系列

5.1.2 等式的性质 题型目录 基础知识巩固题 1 题型1 利用等式的对称性与传递性判断正误 1 题型2 利用等式的性质进行依据判断 1 题型3 利用等式的性质判断式子变形的正误 2 题型4 利用等式的性质判断方程变形的正误 3 题型5 利用等式的性质比较大小 4 题型6 判断等式变形应满足的条件 5 题型7 根据等式的性质填空 5 题型8 利用等式的性质解方程 6 提升能力强化题 7 题型1 利用等式的性质求式子的值 8 题型2 利用等式的性质解决天平中的问题 9 拓展思维创新题 10 中考真题再现题 13 目标检测题 13 基础知识巩固题 题型1 利用等式的对称性与传递性判断正误 1．若，，利用等式的传递性得到下列结论正确的是（ ） 、； 、； 、； 、； 2．下列推理中，同时运用了等式的对称性与传递性的是（ ） 若，则； 若，，则； 若，，则； 若，则； 题型2 利用等式的性质进行依据判断 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是（　 　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 4．由m+3=n变形为2m+1=2n﹣5，其变形过程中所用的等式的性质及顺序是（　　） A．仅用两次等式的性质1 B．仅用两次等式的性质2 C．先用等式的性质2，再用等式的性质1 D．先用等式的性质1，再用等式的性质2 5．（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 6．已知等式2x–y+3=0，则下列每一步变形是否一定成立？若一定成立，说明变形依据；若不成立，请说明理由． （1）由2x–y+3=0，得2x–y=–3； （2）由2x–y+3=0，得2x=y–3； （3）由2x–y+3=0，得x=（y–3）； （4）由2x–y+3=0，得–y=2x–3． 题型3 利用等式的性质判断式子变形的正误 7．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．设是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，则下列式子：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 10．（2024七年级·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 11．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 题型4 利用等式的性质判断方程变形的正误 12．把方程的分母化为整数，可得方程（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列方程变形错误的是（   ） A．方程移项，得 B．方程两边同时除以，得 C．方程移项，得 D．方程两边同时除以x，得 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列方程的变形错误的有（   ） ①由得；②由得；③由得；④由得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．方程可变形成为 ． 16．下列方程的变形是否正确？为什么？ （1）由3+x=5，得x=5+3． （2）由7x=﹣4，得x=-． （3）由y=0，得y=2． （4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3． 题型5 利用等式的性质比较大小 17．已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是(   ) A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定 18．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 19．若，则 （填“”“”或“”）． 20．已知，利用等式的基本性质比较a，b的大小. 21．已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 题型6 判断等式变形应满足的条件 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的基本性质可变形为，则必符合条件（   ） A． B． C． D．为任意有理数或整式 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 25．已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如果，那么成立时c应满足的条件是 ． 题型7 根据等式的性质填空 27．（24-25七年级下·全国·假期作业）用适当的式子填空． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 28．用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的． (1)如果，那么____________________________________. (2)如果，那么_______________________________． 29．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的． （1）如果，那么 ，理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． （2）如果．那么 ．理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． （3）如果，那么 ，理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． （4）如果，那么 ．理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． 30．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 31．（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 题型8 利用等式的性质解方程 32．解方程，正确的是（　　） A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 33．利用等式性质补全下列解方程过程： 解：根据等式性质1，两边同时 ， 可得_________， 于是_________． 根据____________两边同时乘以-3，可得=_______． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 35．利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）． 36．（2024六年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 提升能力强化题 题型1 利用等式的性质求式子的值 37．已知，则代数式的值为（       ） A．3021 B．1021 C．21 D．4021 38．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，则的值是 ． 39．若，则 ． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 41．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 题型2 利用等式的性质解决天平中的问题 42．（22-23七年级下·福建泉州·期中）如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（　　）个正方体的质量． A．2 B．3 C．4 D．5 43．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级上·河北邢台·期末）有三种不同质量的物体“★”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“★★★■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是（   ） 甲：★★★★★★；乙：★▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 45．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 46．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 拓展思维创新题 47．（2024七年级上·浙江·专题练习）有三个实数，满足，若．则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 48．如图是2024年4月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的四个数字之和为，“田”型阴影覆盖四个数字之和为．若，则的最大值是 ． 49．推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令， 等式两边都乘以x，得．① 等式两边都减，得．② 等式两边分别分解因式，得．③ 等式两边都除以，得．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 50．在数轴上，点，对应的数分别是，（，），为线段的中点，同时给出如下定义：如果，那么称是的“努力点”．例如：，时，是的“努力点”． (1)若，则______，______． (2)在（1）的条件下，下列说法正确的是______（填序号）； ①是的“努力点”；    ②是的“努力点”； ③是的“努力点”；    ④是的“努力点”． (3)若，且是、其中一点的“努力点”，求值？ 51．泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的，，，四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前，，，四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？ 【策略联想】 借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如下示意图进行表示：将四个景点，，，标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“”代表了从景点向景点送去50张图鉴，“”代表了从景点向景点送去30张图鉴． 【问题理解】 （1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和，当，，，时，_____张； 【问题分析】 当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和并不是最少的，那么最小值是多少呢？ 为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和的最小值，小红在计算景点的图鉴数时得到关于，的等式：，运用“移项”的方法，用只含有的代数式表示，得到． （2）根据以上的方式，用只含的代数式分别表示和，可得_____，_____； 【问题解决】 （3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和也可用只含的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和的最小值=_____张． 中考真题再现题 52．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 53．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 54．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 目标检测题 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 2．下列等式变形正确的是（　　） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．将方程变形为，甲、乙、丙、丁四名同学都认为是错误的﹐对于错误的原因，四名同学给出了各自的解释﹐其中正确的是（ ） A．甲：移项时没有改变符号 B．乙：不应该将分子、分母同时扩大为原来的10倍 C．丙：去括号时﹐括号外面是负号﹐括号里面的项未变号 D．丁：5不应该变为50 4．已知，若根据等式的性质可变形为，则满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以是任意数或式子 5．解方程6x﹣5＝x﹣1时，可将方程变形为6x﹣x＝﹣1+5，其依据是（　　） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．加法交换律 D．加法结合律 6．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（   ） A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 7．若，则下列式子中正确的是（填序号） ． ①， ②， ③， ④． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 9．如果，那么 ，其依据是 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 11．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 12．在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 13．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 14．已知＝1是方程的解，则的值是______________ 15．如图所示，两个天平都平衡，那么与6个球体质量相等的正方体的个数为_____． 16．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为_________ 17．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 20．利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 22．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 23．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生），求的值． 24．已知． (1)用的代数式表示． (2)求代数式的值． (3)均为自然数，且均小于13．求所有满足条件的的值． 25．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是克，经过试验，将有关信息记录在下表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球 总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球，1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 ______ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 ______ 【解决问题】 （1）将表格中两个空白部分用含的代数式表示； （2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性． 方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡． 理由： 26．（21-22七年级上·四川达州·阶段练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a+b=ab-1成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），都是“一中有理数对”． （1）数对（-2，1），中是“一中有理数对”的是 ． （2）若（a，3）是“一中有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“一中有理数对”，则（-n，-m）是否为“一中有理数对”？请说明理由． 试卷第 1 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 等式的性质 题型目录 基础知识巩固题 1 题型1 利用等式的对称性与传递性判断正误 1 题型2 利用等式的性质进行依据判断 2 题型3 利用等式的性质判断式子变形的正误 3 题型4 利用等式的性质判断方程变形的正误 6 题型5 利用等式的性质比较大小 8 题型6 判断等式变形应满足的条件 10 题型7 根据等式的性质填空 11 题型8 利用等式的性质解方程 15 提升能力强化题 18 题型1 利用等式的性质求式子的值 18 题型2 利用等式的性质解决天平中的问题 20 拓展思维创新题 24 中考真题再现题 29 目标检测题 30 基础知识巩固题 题型1 利用等式的对称性与传递性判断正误 1．若，，利用等式的传递性得到下列结论正确的是（ ） 、； 、； 、； 、； 【答案】A 【分析】本题考查了等式传递性，其核心为：若，，则.即相等关系可以传递。 【解析】解：选项A：已知，即：，，即：，通过传递性即可得出，符合等式的传递性，故选项A符合题意； 选项B：将等式交换位置，得到，符合等式的对称性，不符合传递性，故选项B不符合题意； 选项C：将等式两边同时加上了1，这是后面要学的等式基本性质，故选项C不符合题意； 选项D：将等式变形得到了，这是后面要学的等式基本性质，故选项D不符合题意； 故选：A. 2．下列推理中，同时运用了等式的对称性与传递性的是（ ） 若，则； 若，，则； 若，，则； 若，则； 【答案】C 【分析】先明确两个性质的核心：对称性是“交换两边”，传递性是“连接中间量推导相等。 【解析】解：选项A：仅交换了，只运用了对称性；故选项A不符合题意； 选项B：通过中间量推导，只运用了传递性；故选项B不符合题意； 选项C：通过，，由传递性得到，再由对称性得到，故选项C符合题意； 选项D：若，则；这是利用了等式的性质，故选项D不符合题意； 故选：C. 题型2 利用等式的性质进行依据判断 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是（　 　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立．根据等式的性质2可得答案． 【解析】解：，去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 4．由m+3=n变形为2m+1=2n﹣5，其变形过程中所用的等式的性质及顺序是（　　） A．仅用两次等式的性质1 B．仅用两次等式的性质2 C．先用等式的性质2，再用等式的性质1 D．先用等式的性质1，再用等式的性质2 【答案】C 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解析】两边都乘以2，得2m+6=2n．方程两边都减5，得2m+1=2n﹣5，故选：C． 5．（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【解析】解：两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立， 故第①步变形的依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 6．已知等式2x–y+3=0，则下列每一步变形是否一定成立？若一定成立，说明变形依据；若不成立，请说明理由． （1）由2x–y+3=0，得2x–y=–3； （2）由2x–y+3=0，得2x=y–3； （3）由2x–y+3=0，得x=（y–3）； （4）由2x–y+3=0，得–y=2x–3． 【答案】详见解析. 【分析】利用等式的性质判断即可得到结果． 【解析】（1）由2x﹣y+3=0，得2x﹣y=﹣3，成立，利用等式的基本性质1得到； （2）由2x﹣y+3=0，得2x=y﹣3，成立，利用等式的基本性质1得到； （3）由2x﹣y+3=0，得x=（y﹣3），成立，利用等式的基本性质1与2得到； （4）由2x﹣y+3=0，得y=2x+3，原结论不成立，移项没有变号． 题型3 利用等式的性质判断式子变形的正误 7．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】本题考查了等式的基本性质2，解题关键是掌握等式的基本性质2． 根据等式性质2，逐一分析各选项，再作出判断． 【分析】解：∵， ∴， ∴两边同乘得，故A正确； ∵， ∴， ∴，解得或，故B错误。 ， ∵， ∴两边同除以，得， 故C正确； ， 两边同乘以，得， 故D正确， 故选：B． 8．设是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质一一判断即可． 【解析】解：∵， ∴或，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选B 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，则下列式子：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 根据等式的基本性质对四个小题进行逐一分析即可． 【解析】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不符合题意； ④∵，∴，不符合题意． 故选：A． 10．（2024七年级·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解． 【解析】解：①若，则，变形正确； ②若，则，原变形不正确； ③若，则，原变形不正确； ④若，则，变形正确； ⑤若，则，变形正确． 故答案为①④⑤ 11．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确．理由见解析 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． （1）根据等式的性质，可得答案； （2）根据等式的性质，可得答案． 【解析】（1）解：不正确，理由： 等式两边都乘， 所得等式为． （2）解：不正确，理由： 等式两边都除以， 所得等式为． 题型4 利用等式的性质判断方程变形的正误 12．把方程的分母化为整数，可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用分数的基本性质把一元一次方程中的分母化为整数，掌握分数的基本性质是解题的关键．把分子，分母都乘以10，从而可得答案． 【解析】解：即， 故选：C． 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列方程变形错误的是（   ） A．方程移项，得 B．方程两边同时除以，得 C．方程移项，得 D．方程两边同时除以x，得 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式的性质逐项判断，可得答案． 【解析】A、 方程移项，得，A正确： B、方程两边同时除以，得 ，B正确： C、方程移项，得，C正确： D、方程移项得：，即，解得：，不能两边同时除以x，D不正确． 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列方程的变形错误的有（   ） ①由得；②由得；③由得；④由得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查解方程中的移项和等式的性质，熟练掌握移项及等式的性质是解题的关键，根据移项和等式的性质逐一判断即可得到答案． 【解析】解：①移项得：此项错误， ②移项得：此项错误， ③移项得：此项错误， ④等式两边同进除以得：：此项错误， 综上，四个变形均错误， 故选：D． 15．方程可变形成为 ． 【答案】/ 【分析】方程等号的左边的每一项的分子分母同乘以10即可得． 【解析】解：， 方程等号的左边的每一项的分子分母同乘以10，得， 故答案为：． 16．下列方程的变形是否正确？为什么？ （1）由3+x=5，得x=5+3． （2）由7x=﹣4，得x=-． （3）由y=0，得y=2． （4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3． 【答案】见详解 【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确； （2）根据左边除以7，右边乘​，可得变形不正确； （3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确； （4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确． 【解析】解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确， ∵方程左边减3，方程的右边加3， ∴变形不正确； （2）由7x=﹣4，得x=-，变形不正确， ∵左边除以7，右边乘， ∴变形不正确； （3）由y=0，得y=2，变形不正确， ∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确； （4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确， ∵左边加x减3，右边减x减3， ∴变形不正确． 题型5 利用等式的性质比较大小 17．已知2m﹣1＝2n，利用等式的性质比较m，n的大小是(   ) A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定 【答案】A 【分析】等式两边同时除以2，减去n，加上，即可得到答案． 【解析】等式两边同时除以2得： m﹣＝n， 等式两边同时减去n得： m﹣n﹣＝0， 等式两边同时加上得： m﹣n＝， 即m﹣n＞0， 即m＞n， 故选A． 18．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 【解析】解： 移项得： 合并同类项得： 提取公因数得： 化简： 故答案为：． 19．若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 20．已知，利用等式的基本性质比较a，b的大小. 【答案】a>b 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断． 【解析】解：等式两边同时加3b+1，得5a=8b-3a+1． 等式两边同时加3a，得8a=8b+1． 等式两边同时除以8，得a=b+， 所以a＞b． 21．已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质即可求解． 【解析】解：根据等式性质1： 的两边都加上，得，即， 根据等式性质2：的两边都除以3，得， 所以． 题型6 判断等式变形应满足的条件 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的基本性质可变形为，则必符合条件（   ） A． B． C． D．为任意有理数或整式 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质判断即可． 【解析】解：如果，那么等式两边同时加可得， ∵， ∴，即， 故选：B． 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，． 【解析】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：C． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 【解析】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 25．已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 26．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如果，那么成立时c应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立可得，即． 【解析】解：∵， ∴当成立时c应满足的条件是，即， 故答案为：． 题型7 根据等式的性质填空 27．（24-25七年级下·全国·假期作业）用适当的式子填空． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （）根据等式性质，两边同时加即可； （）根据等式性质，两边同时减即可； （）根据等式性质，两边同时除以即可； （）根据等式性质，两边同时减即可． 【解析】解：（）根据等式性质，两边同时加， ， 故答案为：； （）根据等式性质，两边同时减， ， 故答案为：； （）根据等式性质，两边同时除以， ， 故答案为：； （）根据等式性质，两边同时减， ， ， 故答案为：． 28．用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的． (1)如果，那么____________________________________. (2)如果，那么_______________________________． 【答案】5；等式性质1，两边同减5 ；等式性质2，两边同除以4 【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可得出答案． 【解析】解：（1）根据等式性质1，两边同减5，应得到5； （2）根据等式性质2，-3x=8两边同除以4，应得到． 故答案为：(1). 5；等式性质1，两边同减5 (2). ；等式性质2，两边同除以4． 29．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的． （1）如果，那么 ，理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． （2）如果．那么 ．理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． （3）如果，那么 ，理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． （4）如果，那么 ．理由：根据等式性质 ，在等式两边 ． 【答案】 5 在等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 都加2 在等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 都除以 4 在等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 都减 在等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 都乘 【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【解析】解：（1）如果，那么，理由：根据等式性质：在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，在等式两边都加2． （2）如果．那么．理由：根据等式性质：在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．在等式两边都除以． （3）如果，那么，理由：根据等式性质：在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，在等式两边都减． （4）如果，那么．理由：根据等式性质：在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，在等式两边都乘以， 故答案为：5，在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，都加2；，在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，都除以；4，在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，都减；，在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，都乘以． 30．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 【答案】 互为相反数 互为倒数 【分析】本题考查等式的基本性质及相反数、倒数的概念．需通过变形等式，填入合适的数或关系． （1）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （2）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解； （3）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （4）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解． 【解析】（1）如果，那么，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数； 故答案为：， 互为相反数． （2）如果，那么，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数； 故答案为：，互为倒数． （3）如果，那么，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为； 故答案为：，． （4）如果，那么，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为． 故答案为：，． 31．（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【解析】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型8 利用等式的性质解方程 32．解方程，正确的是（　　） A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】C 【分析】方程两边同乘以4，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 33．利用等式性质补全下列解方程过程： 解：根据等式性质1，两边同时 ， 可得_________， 于是_________． 根据____________两边同时乘以-3，可得=_______． 【答案】减去3；-3；1；等式的性质2；-3 【分析】根据等式的性质解方程 【解析】解：， 根据等式性质1，两边同时减去3， 可得-3， 于是1． 根据等式的性质2，两边同时乘以-3，可得=-3， 故答案为：减去3；-3；1；等式的性质2；-3． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）利用等式的基本性质进行计算即可； （2）利用等式的基本性质进行计算即可． 【解析】解：（1）解：等式两边都加上，得， 即， 等式两边都乘，得， 即． （2）解：等式两边都减去3，得， 即， 等式两边都乘，得， 即， 等式两边都加上，得， 即． 35．利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）x=-27． 【分析】（1）方程两边减7就得出x的值； （2）两边同时除以-5，即可得出x的值； （3）方程两边加5，最后两边同时乘以-，即可得出x的值． 【解析】解：（1）两边减7，得：． 于是x=19； （2）两边除以，得：． 于是x=-4； （3）两边加5，得：， 化简，得：， 两边乘，得：x=-27． 36．（2024六年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． （1）根据等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【解析】（1）解：两边都加4， 得； （2）两边都减2， 得， 两边都乘以2， 得； （3）两边都减1， 得， 两边都除以3， 得； （4）两边都加2， 得， 两边都除以4， 得． 提升能力强化题 题型1 利用等式的性质求式子的值 37．已知，则代数式的值为（       ） A．3021 B．1021 C．21 D．4021 【答案】C 【分析】将变形为与所求代数式相关的式子，即可代入求解． 【解析】将等式两边乘以，得， 则代数式， 故答案为：C． 38．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．把等号两边同时除以4得出，等号两边再同时减去即可得答案． 【解析】解：， 等号两边同时除以4得：， 所以， 所以的值是． 39．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，先把左右两边乘上，得，即可作答． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 40．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【解析】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 41．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 题型2 利用等式的性质解决天平中的问题 42．（22-23七年级下·福建泉州·期中）如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（　　）个正方体的质量． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查等量代换、等式的性质，设一个球的质量为a，一个圆柱的质量为b，一个正方体的质量为c，根据题意可得，，进而可得，即可求解． 【解析】解：设一个球的质量为a，一个圆柱的质量为b，一个正方体的质量为c， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， 即三个球的质量等于6个正方体的质量， 故选：D． 43．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，由图（a）和图（b）可得，，进而根据，求出取值范围即可解题． 【解析】解：设种物体□，△，○的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：①，， 即， 代入①得，即， ∴， 即， 故选：B． 44．（24-25七年级上·河北邢台·期末）有三种不同质量的物体“★”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“★★★■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是（   ） 甲：★★★★★★；乙：★▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质以及通过等量关系判断天平平衡的知识点． 设“★”“▲”“■”的质量分别为、、，根据天平左边物体“★★★■”的总质量列出等式，然后分别分析四位同学所放物体的质量，根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡，找出不能使天平平衡的同学． 【解析】解：设“★”“▲”“■”的质量分别为、、， 天平左边物体放了“★★★■”， 其质量为， 根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡， 甲同学放了“★★★★★★”，其质量为， 由， 可得； 丁同学放了“▲▲▲”，其质量为， 由， 可得， ； 乙同学放了“★▲■”，其质量为， 由， 可得， 与天平左边， 所以天平左右两边平衡； 丙同学放了“■▲▲”，其质量为， 由， 可得， 与左边不相等， 所以丙同学所放物体不能使天平平衡； 故选：． 45．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【解析】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 46．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 【答案】（1）①；②一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克（2）不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可 【分析】此题考查的是等式的性质，列代数式， （1）①由题目中的数量关系可得答案； ②根据题意列出方程，求解可得答案； （2）根据等式的性质可得答案． 【解析】解决问题 解：①根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， ②由题意得：， 解得：， ， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克． 及时迁移 （2）解：将天平左边放置4个乒乓球，天平右边放置2个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：4个乒乓球，2个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 故答案为：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 拓展思维创新题 47．（2024七年级上·浙江·专题练习）有三个实数，满足，若．则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的加法与乘法运算的符号确定，推导出是解本题的关键．根据等式的性质得出，进而解答即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 48．如图是2024年4月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的四个数字之和为，“田”型阴影覆盖四个数字之和为．若，则的最大值是 ． 【答案】195 【分析】本题考查了整式加减的应用、等式的性质，找出题目中隐含的规律表示出和是解题的关键．设“T”型阴影覆盖的最小数字为，“田”型阴影覆盖的最小数字为，利用月历的数字规律可得，，结合得到，再根据月历表确定的最大值，即可求出的最大值． 【解析】解：设“T”型阴影覆盖的最小数字为，“田”型阴影覆盖的最小数字为， ，， ， ， 整理得：， ， 由月历表可知，的最大值为22，此时， 此时取得最大值，最大值为， 的最大值是195． 故答案为：195． 49．推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令， 等式两边都乘以x，得．① 等式两边都减，得．② 等式两边分别分解因式，得．③ 等式两边都除以，得．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 【答案】④ 【分析】根据等式的性质2即可得到结论． 【解析】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变， ∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误； 故答案为：④． 50．在数轴上，点，对应的数分别是，（，），为线段的中点，同时给出如下定义：如果，那么称是的“努力点”．例如：，时，是的“努力点”． (1)若，则______，______． (2)在（1）的条件下，下列说法正确的是______（填序号）； ①是的“努力点”；    ②是的“努力点”； ③是的“努力点”；    ④是的“努力点”． (3)若，且是、其中一点的“努力点”，求值？ 【答案】(1)，； (2)③ (3)或 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a和b的值； （2）根据“努力点”的定义，即可判断四个说法正确与否； （3）根据题意，分两种情况进行讨论：当是的“努力点”时，当是的“努力点”时；即可进行解答． 【解析】（1）解：∵ ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：∵，对应的数分别是，，为线段的中点 ∴，，对应的数分别是，，， ①∵，不是的“努力点”； ②∵，不是的“努力点”； ③∵，∴是的“努力点”；   ④∵∴是的“努力点” 故答案为：③ （3）点对应的数为：， 是的“努力点”时， ， ∴或 ∴或， 整理得：或， ∵， ∴，则； 当是的“努力点”时， ， ∴或， ∴或， 整理得：或， ∵， ∴，则； 综上：或． 51．泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的，，，四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前，，，四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？ 【策略联想】 借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如下示意图进行表示：将四个景点，，，标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“”代表了从景点向景点送去50张图鉴，“”代表了从景点向景点送去30张图鉴． 【问题理解】 （1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和，当，，，时，_____张； 【问题分析】 当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和并不是最少的，那么最小值是多少呢？ 为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和的最小值，小红在计算景点的图鉴数时得到关于，的等式：，运用“移项”的方法，用只含有的代数式表示，得到． （2）根据以上的方式，用只含的代数式分别表示和，可得_____，_____； 【问题解决】 （3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和也可用只含的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和的最小值=_____张． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查等式的性质、列代数式，绝对值，有理数的加法，掌握列代数式，绝对值，有理数的加法是解题的关键． （1）将，，，代入，即可解答； （2）根据题意得，景点的图鉴数：，景点的图鉴数：，即可解答； （3）根据题意得可以看作是数轴上对应的点到、、和的距离和，即当时，距离之和最小，即可解答． 【解析】解：（1）（张）， 故答案为：； （2）根据题意得，景点的图鉴数：，景点的图鉴数：， ，， ， 故答案为：；； （3）， 可以看作是数轴上对应的点到、、和的距离和， 当时，距离之和最小为， ， 故答案为：． 中考真题再现题 52．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【解析】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 53．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 【答案】B 【分析】根据等式的性质2可得答案． 【解析】解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 54．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案． 【解析】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误； B、若，则，故此选项错误； C、若，则，故此选项正确； D、若，则，故此选项错误； 故选：C． 目标检测题 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 依据等式的性质依次作出判断即可． 【解析】解：A、若，等式两边不能同时除以0，此选项错误，故不符合题意； B、若，等式两边乘以，可得，此选项错误，故不符合题意； C、若，等式两边都加1，可得，此选项错误，故不符合题意； D、若，等式两边同时除以3，可得，此选项正确，故符合题意； 故选：D． 2．下列等式变形正确的是（　　） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】利用等式的性质判断即可． 【解析】解：A、由得，选项A不符合题意； B、由得，选项B不符合题意； C、由得，选项C符合题意； D、由得，选项D不符合题意． 故选：C． 3．将方程变形为，甲、乙、丙、丁四名同学都认为是错误的﹐对于错误的原因，四名同学给出了各自的解释﹐其中正确的是（ ） A．甲：移项时没有改变符号 B．乙：不应该将分子、分母同时扩大为原来的10倍 C．丙：去括号时﹐括号外面是负号﹐括号里面的项未变号 D．丁：5不应该变为50 【答案】D 【分析】首先利用分数的基本性质将分母变为整数，然后展开移项即可确定正确的答案． 【解析】解：方程的左边的每一项的分子、分母乘以10得： 进一步变形为 移项得：， 故A、B、C错误，D正确， 故选：D． 4．已知，若根据等式的性质可变形为，则满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以是任意数或式子 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可得到答案． 【解析】解：当时，根据等式的性质可变形为， 故选：C 5．解方程6x﹣5＝x﹣1时，可将方程变形为6x﹣x＝﹣1+5，其依据是（　　） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解法及等式的性质进行解答即可． 【解析】解：6x-5=x-1， 在等式的两边同时加5，减x得，6x-x=-1+5（等式的性质1）， 故选：A． 6．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（   ） A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【答案】A 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【解析】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 7．若，则下列式子中正确的是（填序号） ． ①， ②， ③， ④． 【答案】①③④ 【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解． 【解析】解：根据等式性质1，两边都减2，即可得到，故①正确； 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故②错误； 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故③正确； 根据等式性质2，两边都乘，5，即可得到，再根据等式性质1，两边都减1，可得，故④正确； 故正确的是①③④． 故答案为：①③④ 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 【答案】或 【分析】根据等式的性质计算判断即可．本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【解析】解：由方程可得到 或． 故答案为：或． 9．如果，那么 ，其依据是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可． 【解析】解： 故答案为：，等式的基本性质1 10．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【解析】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 11．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【解析】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 12．在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 【答案】或 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【解析】解：由方程可得到 或． 故答案为：或． 13．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 14．已知＝1是方程的解，则的值是______________ 【答案】-1 【分析】把x=1代入原方程中求出k的值，再把k的值代入2k+3中计算即可． 【解析】把x=1代入中，得 ， 解得k=-2， 则2k+3=-4+3=-1． 故答案为：-1． 15．如图所示，两个天平都平衡，那么与6个球体质量相等的正方体的个数为_____． 【答案】4 【分析】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，列出关系式计算即可； 【解析】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m， 根据第一个天平可得：， 根据第二个天平可得：， ∴， ∴， ∴； 故答案是4． 16．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为_________ 【答案】18 【分析】本题主要考查了等式的性质，把两个已知条件式相加推出，则当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值，根据a、b、c都是正整数，可确定a的最小值为1，a的最大值为19，据此求出的最大值与最小值即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为. 17．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【解析】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【解析】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）去括号，得． 等式两边都加上，得． 等式两边都减去，得． 等式两边都除以，得． 即． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 【解析】（1）解：， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）解：． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． 20．利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 【解析】（1）解：， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）解：． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【解析】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 22．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【解析】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 23．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生），求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质以及整式的加减，利用整体思想解题是关键．将已知等式前四个式子相加得到新的等式，整理可得，即可求解． 【解析】解：， ， ， ． 24．已知． (1)用的代数式表示． (2)求代数式的值． (3)均为自然数，且均小于13．求所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)①，；②，；③，，④，． 【分析】（1）根据等式的性质即可求解； （2）将原式提取公因式，进而将已知代入求出即可； （3）根据（1）和自然数的定义即可求解． 【解析】（1）解：用的代数式表示为． （2）解：， ． （3）解：，均为自然数，且均小于13， 且， ∴， ①，；②，；③，，④，． 25．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是克，经过试验，将有关信息记录在下表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球 总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球，1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 ______ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 ______ 【解决问题】 （1）将表格中两个空白部分用含的代数式表示； （2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性． 方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡． 理由： 【答案】（1）；；（2）一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克；（3）3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析； 【分析】解决问题：（1）用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案； （2）根据题意列出方程，求解可得答案； 及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可． 【解析】解：（1）根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， （2）由题意得：， 解得：， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克． 及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 26．（21-22七年级上·四川达州·阶段练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a+b=ab-1成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），都是“一中有理数对”． （1）数对（-2，1），中是“一中有理数对”的是 ． （2）若（a，3）是“一中有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“一中有理数对”，则（-n，-m）是否为“一中有理数对”？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不是，理由见解析 【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“一中有理数对”，判断出数对，中是“一中有理数对”的是哪个即可； （2）根据是“一中有理数对”，得到，求解即可； （3）根据是“一中有理数对”，得到，进行判断即可； 【解析】（1） 不是“一中有理数对” 是“一中有理数对”， 故答案为： （2） 是“一中有理数对”， 解得 （3）不是，理由如下， 是“一中有理数对”， ， 不是“一中有理数对”. 试卷第 1 页，共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $