专题04 三角函数与解三角形4大高频考点（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版

专题04 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数与诱导公式 考点02 三角函数图象与性质 考点03 恒等变换 考点04 解三角形 地 城 考点01 同角三角函数与诱导公式 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·期末）若，则（   ） A．2或 B．或 C． D．2 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广东佛山·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则 . 8．（23-24高三上·广东佛山·期末）已知，则 ． 9．（24-25高三上·广东·期末）已知，则 ． 地 城 考点02 三角函数图象与性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·期末）已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高三上·广东广州·期末）将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·期末）方程在的解的个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．4 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则函数的单调递减区间为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东广州·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为；②是函数图象的一个对称中心； ③函数图象的一个对称轴方程为；④函数在区间上单调递增 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·广东潮州·期末）已知函数满足，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数则（   ） A．与的最小正周期相等 B．当时， C．与的图象在上有2个交点 D．与在上的单调性相同 10．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 11．（24-25高三上·广东·期末）设函数，且的图象关于点中心对称，，记的最小正周期为T，且，则（   ） A． B． C． D．在区间内最多存在两个极值点 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．在区间上值域为 D．函数为偶函数 16．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数和，则（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与在区间上均单调递减 C．当时，与的图象有且仅有一个交点 D．与的图像有相同的对称轴 三、非选择题 17．（24-25高三上·广东·期末）函数在区间上的值域为 ． 18．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数是偶函数，则的值为 地 城 考点03 恒等变换 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（24-25高三上·广东·期末）已知，则（   ） A．1 B．0 C． D． 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数的最大值是，则常数的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东汕头·校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）已知，则 . 10．（24-25高三上·广东广州·期末）已知，则 ． 11．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图，三个相同的正方形相接，则 ． 12．（24-25高三上·广东·校考期末）（1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 地 城 考点04 解三角形 一、单选题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·期末）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·校考期末）在平面四边形中，已知，，，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ． 5．（24-25高三上·广东·期末）已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）在中，分别为角所对的边，且 (1)求角B. (2)若，求ABC周长的最大值. 7．（24-25高三上·广东·校考期末）在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 8．（24-25高三上·广东广州·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 10．（24-25高三上·广东·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 11．（24-25高三上·广东·期末）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)已知为的中点，于于，若求的面积. 12．（24-25高三上·广东广州·期末）如图所示，某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处，已知，. (1)已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话? (2)已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使，请判断该选址是否符合要求? 13．（24-25高三上·广东梅州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的大小； (2)若，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 14．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 15．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，且． （1）求角的大小； （2）若，且当时，取得最大值，试求的值． 16．（23-24高三上·广东汕头·期末）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，． (1)求角A的大小； (2)M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积． 17．（23-24高三上·广东深圳·期末）的内角所对的边分别为，的面积为，从条件①；条件②；条件③中选择一个作为已知，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)点是外一点，，若，求四边形面积的最大值． 18．（23-24高三上·广东东莞·期末）中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数与诱导公式 考点02 三角函数图象与性质 考点03 恒等变换 考点04 解三角形 地 城 考点01 同角三角函数与诱导公式 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合解方程即可. 【详解】因为，则，且， 联立方程，解得或（舍去），所以.故选：A. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量平行的坐标表示得到三角关系式，化弦为切，即可得到的值； 【详解】因为，，， 所以，所以.故选：A. 3．（24-25高三上·广东·期末）若，则（   ） A．2或 B．或 C． D．2 【答案】C 【分析】由同角三角函数商的关系，弦化切即可求解； 【详解】， 即， 解得：或，又，，所以，故选：C 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果. 【详解】由，得.故选：D 5．（23-24高三上·广东佛山·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 6．（24-25高三上·广东·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，求出，根据即可求解. 【详解】， ，，， 故选： 二、非选择题 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则 . 【答案】 【分析】由三角函数定义得应用和角余弦公式求目标函数值. 【详解】由三角函数定义知 则.故答案为： 8．（23-24高三上·广东佛山·期末）已知，则 ． 【答案】1 【分析】切化弦得，从而得，进而得，代入即可求解. 【详解】由，得，即， 则，即， 所以．故答案为： 9．（24-25高三上·广东·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】首先利用三角函数的基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出的值，最后利用诱导公式计算的得出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 所以.故答案为： 地 城 考点02 三角函数图象与性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象和正弦函数的性质先求出周期，再根据以及求出和，从而利用三角函数的奇偶性确定平移的最小距离. 【详解】由图可知，即 由，即，则， 又图象过点，所以，即，点在原图象的增区间上， 所以可取，，可得； 的图象向右平移（）个单位得到的图象， 可得， 又为奇函数，所以，， 即，，又，所以.故选：A. 2．（24-25高三上·广东·期末）已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据三角恒等变换化简得出函数解析式，再根据函数单调性得出，最后结合函数的零点得出零点个数. 【详解】函数 ， 在单调递增,所以，所以， 则在，， 当时，时在内的零点个数最多， 当，即，函数有4个零点.故选：B. 3．（24-25高三上·广东广州·期末）将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图象变换得函数的解析式，再根据正切函数的图象和周期公式即可得正数的最小值. 【详解】由题意，得，，设函数的最小正周期为， 因为，所以，，又，， 解得，，所以正数的最小值为6.故选：A. 4．（24-25高三上·广东·期末）方程在的解的个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．4 【答案】C 【分析】在同一平面直角坐标系内，作出函数与函数图象，由图象即可得出结果. 【详解】方程在的解的个数，即是函数与函数图象在的交点个数；在同一平面直角坐标系内，作出两函数图象如下： 由图象可得，函数与函数图象在的共8个交点， 则方程在的解的个数为8，故选：C. 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则函数的单调递减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可知，或，可得的值，进而代入可求解，即可得，由整体法即可求解单调性. 【详解】设，由，不妨设，可得， 由可知，或，由图可知， ，，即故， ，结合图象，得， 即.. 若时，由，由，由可知，或，由图可知，，，即故， 则， ，结合图象，得， 即.. 由，得. 故的单调递减区间为.故选：B 6．（24-25高三上·广东广州·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为；②是函数图象的一个对称中心； ③函数图象的一个对称轴方程为；④函数在区间上单调递增 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换求得，然后由三角函数的最小正周期、对称中心、对称轴、单调性等知识确定正确选项. 【详解】， ，. ①，的最小正周期为，①错误. ②，， ②正确. ③，，③错误. ④，，所以函数在区间上单调递增，④正确. 所以正确的一共有个.故选：B 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】当时，， 由函数在有最小值，没有最大值， 得，解得，所以的取值范围是.故选：D 8．（23-24高三上·广东潮州·期末）已知函数满足，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得函数在时取最值，得函数解析式，再由三角恒等变换计算的值. 【详解】因为满足，所以， 所以，，又，所以，得， 因为，， 所以，所以，， ， 因为，所以.故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数则（   ） A．与的最小正周期相等 B．当时， C．与的图象在上有2个交点 D．与在上的单调性相同 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的最小正周期公式求解可判断A；利用计算可判断B；根据单调区间判断C，根据极值的定义可判断D. 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为，故A正确． 若则，故B正确． 作出与在上的大致图象，如图所示． 由图可知，与的图象在上只有1个交点，与在上均为增函数，故C错误，D正确．故选：ABD. 10．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出函数的最小正周期，即可判断选项A；根据函数的对称性定义及诱导公式可判断选项B；利用换元法可研究函数的单调性与值域，即可判断选项CD. 【详解】因为， 且当时，；当时，， 所以的最小正周期为，则A正确. 因为， 所以的图象关于点对称，则B正确. 当时，. 设，则函数，所以. 由，得或；由，得. 故在和上单调递减，在上单调递增. 当时，即. 因为，所以在上不单调，则C错误. 因为 所以在上的值域为. 因为的最小正周期为，所以的值域为，则D正确.故选：ABD. 11．（24-25高三上·广东·期末）设函数，且的图象关于点中心对称，，记的最小正周期为T，且，则（   ） A． B． C． D．在区间内最多存在两个极值点 【答案】ACD 【分析】本题考查函数的图象与性质.由图象关于点中心对称可求得，由可判断A正确，以及；又因为图象关于点中心对称可得，，根据，可求得或，B错误；将代入解析式即可得C正确；根据正弦型函数求最值可得D正确. 【详解】对于A，因为的图象关于中心对称，所以，所以，即，故A正确； 对于B，由得，且又，所以． 由得，，所以．因为，，所以，显然k可以取1或-1，所以或，故B错误； 对于C，当时，； 当时，，所以，故C正确； 对于D，当时，在内存在唯一极大值点（位于区间外）． 当时，在内存在极小值点，存在极大值点（位于区间外）．因此在区间内最多存在两个极值点，故D正确．故选：ACD． 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．在区间上值域为 D．函数为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数图象求函数解析式，逐项判断即可确定答案. 【详解】设函数的最小正周期为，则，故， ∵，∴，，选项A正确. 由得，，∴，解得， ∵，∴，，∴，选项B正确. ∵，∴， ∴，即在区间上值域为，选项C错误. 由题意得，，令，则定义域为， ∵，∴为偶函数，选项D正确.故选：ABD. 16．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数和，则（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与在区间上均单调递减 C．当时，与的图象有且仅有一个交点 D．与的图像有相同的对称轴 【答案】AC 【分析】对于A：根据最小正周期公式分析判断；对于B：根据题意结合余弦函数单调性分析判断；对于C：令，结合三角恒等变换运算求解即可；对于D：根据题意结合余弦函数对称性分析判断. 【详解】因为，. 对于选项A：与的最小正周期均为，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在区间上单调递减，在区间上不单调，故B错误； 对于选项C：令，则， 可得，且，可知方程有且仅有一个解， 所以与的图象有且仅有一个交点，故C正确； 对于选项D：令，解得，可知的对称轴为； 令，解得，可知的对称轴为； 令，可得，所以与的图像没有相同的对称轴，故D错误；故选：AC. 三、非选择题 17．（24-25高三上·广东·期末）函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】对绝对之内的符号分类讨论，再由正弦函数值域计算可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以的值域为．故答案为： 18．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数是偶函数，则的值为 【答案】 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，然后可得. 【详解】因为函数是偶函数，所以，即， 所以.故答案为： 地 城 考点03 恒等变换 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式计算即可作出选择 【详解】因为， 所以故选：B. 2．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系进行弦切互化和二倍角公式即可求解. 【详解】，解得， （另解：去分母化为即）. .故选：C. 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系结合题设可得，进而结合两角和的正切公式计算即可. 【详解】由，得，解得， 所以.故选：D. 4．（24-25高三上·广东·期末）已知，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以由二倍角余弦公式可得，故选：D． 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数的最大值是，则常数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦以及辅助角公式对化简，表示出最大值，进而得到答案. 【详解】因为 ，其中， 所以，所以， 对于A选项，当，，故A错误； 对于B选项，当，，故B正确； 对于C选项，当，，故C错误； 对于D选项，当，，故D错误，故选：B. 6．（24-25高三上·广东汕头·校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦倍角公式和诱导公式化解原式，再用降幂公式即可求出答案. 【详解】由，解得， 又由，解得，因为，所以， 又因为，得，所以．故选：C． 7．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得. 【详解】，即， 由， 故选：A. 8．（24-25高三上·广东·校考期末）已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知及诱导公式、和角正切公式有，令，再应用基本不等式得，即可求最小值. 【详解】由题意知，， 即， 令，则不等式化为, 当且仅当时取等号，的最小值为4.故选：C 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】由两角差的正弦公式，同角三角函数关系结合题意可得答案. 【详解】由题， ， 则， ，故.故答案为： 10．（24-25高三上·广东广州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角的正、余弦公式，再化弦为切，代入即可求值. 【详解】.故答案为：. 11．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图，三个相同的正方形相接，则 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】由图可得，，所以 而，均为锐角，即，所以．故答案： 12．（24-25高三上·广东·校考期末）（1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据，利用两角和的、差的正弦公式可证明结论. （2）过作垂直于轴，交轴于，结合图形表示可证明结论. （3）根据三角形的性质转化角，利用正弦定理结合（1）中等式可证明结论. 【详解】（1）由题意得，， ， 两式相加得，． （2）由题意得，线段的中点的坐标为． 如图，过作垂直于轴，交轴于，则，． 在中，，     在中，， ∴，即． （3）设，，，则，， ∴， 在中，由正弦定理得，，∴， 在中，由正弦定理得，，∴， ∴， 由（1）式，得． 地 城 考点04 解三角形 一、单选题 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为，由正弦定理，得． 因为，所以， 所以，所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高三上·广东广州·期末）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案. 【详解】由，解得， 设AB的中点为D，则， 则， 则，故AB边上的中线长为.故选：D. 3．（24-25高三上·广东·校考期末）在平面四边形中，已知，，，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式可得，在、中分别利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，再利用三角形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】因为，则， 在中，由余弦定理可得 ，① 在中，由余弦定理可得 ，② 由①②可得，即，故， 因此，四边形的面积是 ，故选：B. 二、非选择题 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故，则. 【详解】因为，，，所以，设，， 则，，， 在中由正弦定理，即，所以， 在中由正弦定理，即， 所以，所以 （其中）， 所以，则， 即三角形的面积的最大值是．故答案为： 5．（24-25高三上·广东·期末）已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由二倍角公式结合同角三角函数关系可得答案； （2）由的面积为，结合余弦定理可得，然后可得答案. 【详解】（1）因为，即，因为，所以， 因为，即，所以； （2）因为，所以， 因为，即， 因为，所以，得， 所以，所以的周长为. 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）在中，分别为角所对的边，且 (1)求角B. (2)若，求ABC周长的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题目的等式，结合余弦定理，可得答案； （2）由正弦定理可得边角的等量关系，利用三角周长公式整理函数关系式，可得答案. 【详解】（1）由，即， ∵，∴，又，∴. （2）由可得，，， 的周长， ∵，∴ ∵，∴的最大值为. 7．（24-25高三上·广东·校考期末）在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）方法一：由，正弦定理得，再由，得，可求； 方法二：已知条件结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，可求； （2）方法一：利用向量数量积求； 方法二：由，有，利用余弦定理求的长度 【详解】（1）方法一：因为，由正弦定理得：， 又，得， 中，，所以， 又因为在中，所以. 方法二：因为，由余弦定理得：， 解得，所以， 又因为在中，所以. （2）方法一：在中，是中点，所以， ， ，即的长为. 方法二：由（1）方法二，知，又是中点，， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 因为，所以， 即，解得，即的长为. 8．（24-25高三上·广东广州·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用角之间的关系消去角C，运算即可得到再求角即可； （2）不妨设利用中线求出b，再利用正弦定理求解，进而在三角形中求解即可. 【详解】（1）在，因为，由正弦定理得： 即即 因为所以 而 所以整理得 因为中所以又所以 （2）因为AM是边BC的中线，所以 则 不妨设则所以 即解得或舍所以 在中即 即，解得即 所以，在中 又易知，P是重心，所以 所以 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得. 【详解】（1）在中，，则， 因为，则， 由正弦定理得：， 所以，所以， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）因为的面积为，所以， 由（1）知，故，因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以，解得， 由余弦定理得，所以. 10．（24-25高三上·广东·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 【答案】(1)3(2) 【分析】（1）在中，应用余弦定理列方程解之可得； （2）在中，由余弦定理求得，再计算出，然后由面积公式计算． 【详解】（1）在中，由余弦定理得. ， 即 整理得 ，所以（负值舍去）. （2）在中，由余弦定理得 ， 所以 所以的面积为 11．（24-25高三上·广东·期末）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)已知为的中点，于于，若求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换可得，即可求解，或者利用余弦定理得求解， （2）根据数量积可得，即可利用等面积法得，进而求解，利用面积公式求解即可，或者利用锐角三角函数得，，进而结合正弦定理求解. 【详解】（1）方法一：由以及正弦定理可得． 因为，所以． 因为，所以．因为，所以． 方法二：由余弦定理可得． 故有，所以．因为，所以． （2）由题，并结合（1）的结论易得． 因为，所以． 方法一：因为为的中点，故与的面积相等，均为面积的一半． 即，所以． 所以，解得． 所以面积． 方法二：在直角三角形中，．同理，． 故有，即． 由正弦定理可知． 所以的面积． 12．（24-25高三上·广东广州·期末）如图所示，某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处，已知，. (1)已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话? (2)已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使，请判断该选址是否符合要求? 【答案】(1)A处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话(2)D点选址符合要求 【分析】（1）由正弦定理求出，与3比较大小即可得出结论； （2）由余弦定理求出，可证明，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以为锐角， 所以， 在中，所以， 因为，所以A处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话. （2）由余弦定理， 因为，所以的长为点A与直线上所有点的距离的最小值， 所以D点选址符合要求. 13．（24-25高三上·广东梅州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的大小； (2)若，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式以及诱导公式即可求解； （2）由三角形面积公式首先得，进一步结合基本不等式以及余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以，即. （2）由题意不妨设，由题意，所以， 由余弦定理、基本不等式得， 等号成立当且仅当，综上所述，的最小值为. 14．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小； （2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 因为，，所以，，又，解得； （2）∵，，即， 所以，即，又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 15．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，且． （1）求角的大小； （2）若，且当时，取得最大值，试求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由题意， ，即，所以；（2）化简得，所以，，由正弦定理得，所以． 【详解】（1）由已知得 ，即， 又因为，所以． （2） ． 当（），即（）时，． 又因为，所以，， 故，，，所以． 16．（23-24高三上·广东汕头·期末）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，． (1)求角A的大小； (2)M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）在中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果； （2）分别在，和中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理可得， ，，即，所以， ，，故，即. （2）因为为的重心，的延长线交于点，且， 所以点为中点，且， 在中，，，即， 在和中，，化简得， 所以，故，所以的面积为．    17．（23-24高三上·广东深圳·期末）的内角所对的边分别为，的面积为，从条件①；条件②；条件③中选择一个作为已知，并解答下列问题． (1)求角的大小； (2)点是外一点，，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合恒等变换和正余弦定理进行公式带入即可求解； （2）由题可知为等边三角形，由题可知在中，由余弦定理可得，得到的边长与角的关系，在列出四边形的面积公式，利用三角函数求解最值即可. 【详解】（1）选①，方法一（射影定理），因为 由射影定理得，即， 因为，所以， 方法二（边化角）因为， 由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以． 方法三（角化边）因为，由余弦定理得 ，即， 所以，因为，所以． 选②，方法一（角化边）因为， 由余弦定理得， 即，所以，因为，所以． 方法二（边化角）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以． 选③，因为，由得， 由余弦定理得，，即， 因为，所以． （2）在，所以为等边三角形， 设，在中，由余弦定理可得， 由于，代入上式可得， 所以四边形的面积 ，因为，所以， 所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 18．（23-24高三上·广东东莞·期末）中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得，得到，即可求解； （2）设，得到，得到，得出，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为，由余弦定理得， 整理得，可得，又因为，可得. （2）解：由圆内接四边形性质，可得，设，则， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因为，可得，可得，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $