微专题04 相似图形6题型（专项训练）数学苏科版九年级下册

微专题04 相似图形 题型一 成比例线段 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习），，则a、b的比例中项是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查了比例中项，关键是理解比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即比例中项．根据比例中项的概念，设、的比例中项是，则，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【详解】解；设、的比例中项是，则 ，， ， 解得：； 故答案为：或6． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，注意线段不能是负数是解题关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质， 得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积．则， 解得 (线段是正数，负值舍去)， 所以． 故答案为：3． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知三个数、、，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数． 【答案】可以添加的数有：，，． 【分析】设添加的数为x，使2：4=8：x，或4：x=8：2或8：x=4：2，分别求出x的值． 【详解】设添加的数为， 当时，； 当时，； 当时，， 所以可以添加的数有：，，． 【点睛】考查了比例线段，本题解题关键是找出各种情况．设出要添加的数，使这四个数各自成比例，算出x的值． 题型二 比例线段 比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）. 5．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，比例尺，理解比例尺的概念是解题关键．设地图上的距离为，根据比例尺列方程求解即可． 【详解】解：设地图上的距离为， 则， 解得：， 即地图上的距离为， 故答案为：． 7．（2022·吉林长春·模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为 平方米. 【答案】160 【分析】首先设这块草坪的实际面积是xcm2，根据比例尺的性质，即可得方程，解此方程即可求解． 【详解】解：设这块草坪的实际面积是xcm2． 根据题意得：， 解得：x=1600000， 经检验，x=1600000是方程的根，且符合题意， ∴这块草坪的实际面积为：1600000cm2=160m2， 故答案为：160． 【点睛】此题考查了比例尺的性质，相似图形的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位． 8．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是 ． 【答案】 【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可． 【详解】解：250米厘米， ∴比例尺； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 题型三 利用比例的性质求解 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 9．（21-22九年级上·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 已知比例式，利用比例的基本性质和合比定理分析各选项是否成立． 【详解】解：A、， 交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意； B、， 若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意； C、， 需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意； D、， 若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意； 故选：B． 10．（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 11．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知线段、、满足且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 题型四 黄金分割 一条线段的黄金分割点由两个，当题目中未指明线段被分成两部分哪部分更长时，需要分类讨论. 13．（24-25九年级上·广西百色·期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点P为的黄金分割点，且，如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】∵，的长度为， ∴ ∴ ∴． 故选：D． 14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键．先得出，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ． 又， ． 又， ， 则， ． 故选：C． 15．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ，， ，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 16．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 17．（23-24九年级上·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 18．（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读下列材料，并解决问题 自然界的设计密码 —黄金比例与叶序现象的完美体现 春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象． 具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感． 问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）． 问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项． 【答案】（1）；（2）55和143 【分析】本题考查了黄金分割的应用，解决本题的关键是熟练掌握黄金分割的概念． （1）根据黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角进行计算即可； （2）设89的前面一项为，89的后面一项为，根据斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，进行计算即可求解． 【详解】解：（1）黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角， 其中较小的黄金角为， 故答案为：； （2）设89的前面一项为，89的后面一项为， 斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例， ， 89的相邻两项分别是55和143． 题型五 相似图形的识别 判断两个图形是否相似，应从两方面进行考虑：一是看对应角是否相等，二是看对应边的比是否相等，二者缺一不可. 19．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）下列图形中，是相似图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义．根据相似图形的概念：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，直接判断即可得出答案． 【详解】解：大小不同，形状相同的图形是相似形，选项A，B，D的形状不同，都不是相似形， 选项C的图形大小不同，形状相同，是相似形， 故选：C． 20．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可. 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 21．（20-21九年级上·江苏泰州·期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个平行四边形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的概念进行判断即可； 【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误； 任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B正确； 任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C错误； 任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键． 题型六 利用相似图形的性质求解 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 2）相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 22．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（    ） A．70° B．80° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ， ∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 23．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 24．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例． 【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x， 根据题意得：， 解得：， 即另一个多边形的最短边长为8． 故选：B． 25．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，矩形的面积为36，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出．过D点作，，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知，由于D点在矩形的对角线上，可知矩形矩形，并且相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象在第二象限，即可算出k的值． 【详解】解：过D点作，，垂足为E、F， ∵D点在双曲线上， ∴， ∵D点在矩形的对角线上， ∴矩形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵双曲线在第二象限， ∴， 故选：D． 26．（24-25九年级上·广东清远·期末）两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质即可求出较大多边形的面积． 【详解】解：设较小多边形的面积为， ∵两个相似多边形的相似比是，较大多边形的面积为， ∴， 解得：，即较小多边形的面积为． 故选：B． 27．（2024·广西柳州·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解即可，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得两个图形相似， ∴， 解得：， 故答案为：． 28．（2024九年级下·全国·专题练习）一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ． 【答案】66 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的周长之比等于相似比进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6， ∴两个相似多边形的相似比， ∴两个相似多边形的周长比为， ∴另一个与它相似的六边形的最短边为6，其周长为， 故答案为：66． 29．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm；若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似多边形的性质．直接根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：如图， ∵矩形中，， ∴， 又∵矩形中，，， ∴， 又∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知两个相似的菱形的相似比为，面积之差为，则这两个菱形的面积和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质； 分别设两个菱形的面积为、，然后根据相似图形的面积的比等于相似比的平方列式求解即可． 【详解】解：设两个菱形的面积为、， ∵两个相似的菱形的相似比为， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， ∴这两个菱形的面积和是， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 32．（21-22九年级上·安徽滁州·期中）正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 【答案】16 【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形为中正方形， ∴，， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴， 四边形是矩形，， ， ， 矩形是正方形， 四边形是正方形， 正方形正方形， ∵AE：EC=2：1， ∴AE：AC=2：3， ， ， ∴正方形AFEG的面积为16． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键． 题型七 能力提升练 33．（21-22九年级上·山东青岛·阶段练习）（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形” 问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）； 问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______； （2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”． 问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）； 问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______； 问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示） 问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示） （3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数） 问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示） 【答案】（1）否，，；（2）否；2；； 或；（3） 【分析】（1）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形；设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y，列出方程组求解即可； （2）根据“减半矩形”和“加倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可； （3）根据“k倍矩形”的定义，类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）问题1：不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在． 问题2：设“加倍矩形”的长和宽分别为x，y．则：，解得 （舍去）． 故答案为：，； （2）问题3：设“减半矩形”的长和宽分别为m，c．则：，消元并化简得，； ∵， ∴方程没有实数根，故不存在； 故答案为：否； 问题4：设“减半矩形”的长和宽分别为a，b．则：， 解得，或（舍去）； 故答案为：2； 问题5：设“加倍矩形”的长和宽分别为d，e．则：，解得或（舍去）； 故答案为：； 问题6：设“减半矩形”的长和宽分别为f，g．则：，消元并化简得，； ∵， 解得， 或 故答案为： 或； （3）问题7：设“k倍矩形”的长和宽分别为t，s．则：，消元并化简得，； ∵， 解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程的解法和根的判别式，相似图形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练解一元二次方程和运用一元二次方程的根的判别式进行求解． 34．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 35．（23-24九年级上·全国·期末）已知，则一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是多少？ 【答案】或 【分析】本题考查的是比例的基本性质，一次函数与坐标轴围成的图形面积，根据，可得，再分情况进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， 当时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标为：，， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为． 当时， ∴， ∴一次函数为， 当时，， 当时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标为：，， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为． ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是或． 36．（20-21九年级上·江西宜春·期末）抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 【答案】(1)①；②与 (2)①是；②2或 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元二次方程——配方法，把化成顶点式，成比例线段，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①根据“比例”抛物线的定义求解； ②通过解一元二次方程求得两个抛物线的交点坐标； （2）①根据“比例”抛物线的定义求解； ②先分别求出三抛物线的顶点坐标，再根据，得到关于n的方程，分两种情况求解． 【详解】（1）解：①∵与 是“比例”抛物线， ∴，解得：， 故答案为：； ②依题意可得：， 解得，， ∴与的交点坐标为与； （2）∵抛物线，， ∴，， ∴， ∴抛物线，是“比例”抛物线； ∵抛物线， ， ∴，， ∴， ∴抛物线， 是“比例”抛物线； ∵抛物线，， ∴，， ∴， ∴抛物线，是“比例”抛物线， 综上，这三条抛物线两两之间都是“比例”抛物线． 故答案为：是 ②∵抛物线， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴抛物线顶点E的坐标为， ∵， ∴抛物线顶点F的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故n的值为2或． 37．（24-25九年级上·福建莆田·期末） 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形，任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2：设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形， ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入， ． 即点落在的函数图象上． 当时，． 点也落在的函数图象上． 点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，， ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 38．（24-25九年级上·广西崇左·期末）我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，设，则，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则，设，即，， ∵为直角三角形， ∴， 即， 化简得， ∴，（舍去）， ∴ 即 ， ∴所以点为黄金分割点． 39．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)4或9 (2) 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 40．（21-22九年级上·江西吉安·期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． (1)求点F的坐标； (2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，有，待定系数法求反比例函数解析式为，代入中得，进而可得点坐标； （2）求出的长，计算可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中，解得 ∴反比例函数解析式为 将代入中得 ∴． （2）证明：由题意得， ∵， ∴ ∴“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，相似多边形．解题的关键在于求出反比例函数解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 相似图形 题型一 成比例线段 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习），，则a、b的比例中项是 ． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知三个数、、，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数． 题型二 比例线段 比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位）. 5．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 7．（2022·吉林长春·模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为 平方米. 8．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是 ． 题型三 利用比例的性质求解 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 9．（21-22九年级上·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 11．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知线段、、满足且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 题型四 黄金分割 一条线段的黄金分割点由两个，当题目中未指明线段被分成两部分哪部分更长时，需要分类讨论. 13．（24-25九年级上·广西百色·期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，点P为的黄金分割点，且，如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点，若，则（   ） A． B． C． D． 15．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（    ）    A． B． C． D． 16．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 17．（23-24九年级上·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 18．（24-25九年级上·山西长治·期末）阅读下列材料，并解决问题 自然界的设计密码 —黄金比例与叶序现象的完美体现 春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象． 具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感． 问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）． 问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项． 题型五 相似图形的识别 判断两个图形是否相似，应从两方面进行考虑：一是看对应角是否相等，二是看对应边的比是否相等，二者缺一不可. 19．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）下列图形中，是相似图形的为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 21．（20-21九年级上·江苏泰州·期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个平行四边形 D．两个菱形 题型六 利用相似图形的性质求解 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 2）相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 22．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（    ） A．70° B．80° C．110° D．120° 23．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 25．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，矩形的面积为36，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为（    ） A．12 B． C．16 D． 26．（24-25九年级上·广东清远·期末）两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·广西柳州·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 28．（2024九年级下·全国·专题练习）一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ． 29．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm；若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ． 30．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知两个相似的菱形的相似比为，面积之差为，则这两个菱形的面积和是 ． 31．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      32．（21-22九年级上·安徽滁州·期中）正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 题型七 能力提升练 33．（21-22九年级上·山东青岛·阶段练习）（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形” 问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）； 问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______； （2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”． 问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）； 问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______； 问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示） 问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示） （3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数） 问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示） 34．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 35．（23-24九年级上·全国·期末）已知，则一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是多少？ 36．（20-21九年级上·江西宜春·期末）抛物线与抛物线 中，若  则称抛物线为“比例”抛物线． (1)已知与 是“比例”抛物线， ①b的值为 ； ②求它们的交点坐标． (2)设抛物线，，，的顶点分别为 D， E， F， ①判断它们是否是“比例”抛物线？答： （填“是”或“不是” ） ②若，求n的值． 37．（24-25九年级上·福建莆田·期末） 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 38．（24-25九年级上·广西崇左·期末）我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 39．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 40．（21-22九年级上·江西吉安·期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形CEAF为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，BE＝2． (1)求点F的坐标； (2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $