精品解析：上海市闵行区北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025学年高三数学第一学期期中考试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 已知，不等式的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式转化为，解得， 故答案为：. 3. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由幂函数所过的点求参数a，即可得函数表达式. 【详解】由题设，，可得， ∴幂函数表达式为. 故答案为：. 4. 已知钝角满足，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系可求得，进而利用诱导公式即可求解. 【详解】因为且是钝角，所以， 所以. 故答案为： 5. 函数的图像恒过定点__________ 【答案】 【解析】 【分析】因为当时，为常数，从而可得图像恒过的定点. 【详解】当时，，故图像恒过定点，填. 【点睛】函数的图像恒过定点 ，实际上就是对任意的参数的值，总有恒成立，根据这个恒等式可求定点的坐标. 6. 用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【解析】 【分析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论. 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 7. 若函数（）在上最大值比最小值大，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性求出参数值即可求解. 【详解】因为，故在上为减函数， 故，， 故，故或（舍）， 故答案为： 8. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义求出的最小值，再结合不等式解集为的条件确定实数的取值范围. 【详解】表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，那么表示数轴上点到点和点的距离之和， 当时，此时取得最小值，最小值， 当时，此时取得最小值，最小值为， 综上所述，的最小值为. 不等式的解集为，这表示的最小值要大于等于，即， 当，解得；当，解得， 综上所述，实数a的取值范围. 故答案为： 9. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 10. 已知函数 ， 且 ，则__. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，画出在上的图象，数形结合得到，故，求出. 【详解】，， ， 画出在上的图象，如下： 显然，故， ， 即，解得. 故答案为： 11. 在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数驻点的性质与等比数列的性质求解即可. 【详解】函数，则 ，分别是函数的两个驻点，所以，是方程的两根， 所以，所以 在等比数列中，且等比数列奇数项同号，则，所以. 故答案为：. 12. 如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为__________平方米．（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，从而，则，在中，利用余弦定理得到，在中，利用正弦定理得到，，从而得到，然后由阴影部分的面积为求解. 【详解】设，则， 所以，则， 由，得， 在中，由余弦定理得， ，则， 在中， 即， 则，， 所以， 阴影部分的面积为：， ， ， ， 则，令，得或， 当或时，；当时，， 当时，，当时，， 而， 所以当时，阴影部分面积的最小值为平方米. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知且，则“”是“”的（ ）条件.（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义举例即可得解. 【详解】当时，，， 当时，，， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上严格增 B. 的图象在处的切线斜率等于0 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象得到导数的正负，从而得到函数的增减情况，判断A，根据导数的几何意义判断B，并根据函数的单调性，结合极值的定义判断CD． 【详解】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B 15. 数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而确定，即可得解. 【详解】由已知对任意正整数，，都有， 则令，可得， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 又当，所以， 即，即， 所以的最小值为， 故选：A. 16. 设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据性质P逐组判断. 【详解】对于①：显然存在，满足，具有性质P； 对于②：若存在，使得，则， 所以，解得，不具有性质P； 对于③令，则（当且仅当时取等号）恒成立， 所以在上单调递增有唯一零点，又，所以这组函数不具有性质； 故具有性质的只有①组. 故选：B. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算性质求解即可. （2）首先根据题意得到，再根据包含关系得到，解不等式组即可. 【小问1详解】 当时， ， ，或， 则 【小问2详解】 因为，， 因为，所以， 所以. 故的取值范围为. 18. 已知函数（）的最小正周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，边长，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的周期公式求出的值，再根据正弦函数的单调递增区间求出的单调递增区间； （2）先根据求出角，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值． 【小问1详解】 函数（）的最小正周期为， 则，解得，所以． 由，解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，且，所以． 因为，则，所以，解得． 已知，根据余弦定理， 可得，即． 由，得，当且仅当时取等号． 则，当且仅当时取等号． 所以面积的最大值为． 19. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用． （1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长； （2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由． 【答案】（1）物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时； （2）当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L. 【解析】 【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解； （2）求出，再利用基本不等式判断求解. 【小问1详解】 解：当时，由题得，解之得； 当时，由题得，解之得； 所以. 所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时. 【小问2详解】 解；当时，水中含有物质N的浓度为ymol/L， 则. 当且仅当时等号成立. 所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3mol/L. 所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L. 20. 已知等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 21. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值. 【详解】（1）由题意得： ， 曲线在处切线为：，即 （2）由（1）知： 当时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 又，， 由零点存在定理知：在上有一个零点 在上单调递增 该零点为上的唯一零点 （3）由题意得： 为的两个极值点，即为方程的两根 ， ，又，解得： 令， 则 在上单调递减 即 即实数的最大值为： 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年高三数学第一学期期中考试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________________ 2. 已知，不等式的解为__________． 3. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________. 4 已知钝角满足，则___________． 5. 函数的图像恒过定点__________ 6. 用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 7. 若函数（）在上最大值比最小值大，则实数__________． 8. 若关于x不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________． 9. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 10. 已知函数 ， 且 ，则__. 11. 在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则________. 12. 如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为__________平方米．（结果精确到0.01） 二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知且，则“”是“”的（ ）条件.（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上严格增 B. 图象在处的切线斜率等于0 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 15. 数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数取值范围. 18. 已知函数（）的最小正周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，边长，求面积最大值． 19. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用． （1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长； （2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由． 20. 已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 21. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $