精品解析：上海市朱家角中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市朱家角中学2025学年度第一学期期中质量监测 高二数学 2025.11 （时间：90分钟 满分：120分） 一.填空题（12小题，每题4分，共48分） 1. 直线的倾斜角是______________（用反三角函数表示）. 2. 抛物线的焦点坐标是__________． 3. 椭圆的短轴长为_____. 4. 两平行直线和的距离为_____． 5. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____. 6. 直线，直线，若，则实数_____. 7. 设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为___________． 8. 双曲线的两条渐近线的夹角大小为_____. 9. 方程可化简为_____. 10. 已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是__________. 11. 在平面直角坐标系中，设直线与圆相交于两点，若圆上存在一点，使为等边三角形，则所有满足题设的实数之和为_________. 12. 已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 二.选择题（4小题，每题4分，共16分） 13. 给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（ ） A. B. C. D. 14. 两圆x2+y2﹣8x+6y﹣11=0和x2+y2=100的位置关系． A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 15. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是 A. 5 B. 8 C. D. 16. 若双曲线上存在点与右焦点关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 三.解答题（5小题，8+10+12+12+14，共56分） 17. 已知经过点的圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，求圆的标准方程. 18. 求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程． 19. 某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形，其中为2百米，为4百米，，为半椭圆上异于、的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系. （1）求出半椭圆弧的方程； （2）若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置处，为运土点，以、为出口，要使运土最省工，工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程. 20. 已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 21. 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市朱家角中学2025学年度第一学期期中质量监测 高二数学 2025.11 （时间：90分钟 满分：120分） 一.填空题（12小题，每题4分，共48分） 1. 直线的倾斜角是______________（用反三角函数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】由方程写出斜率，根据斜率得倾斜角． 【详解】直线的斜率为， ∴它的倾斜角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线的倾斜角，根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角是常用方法．只是要注意反正切函数的值域与倾斜角的范围不相同，注意转换． 2. 抛物线的焦点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为. 故答案为 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 3. 椭圆的短轴长为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】化成标准方程后可得. 【详解】化成标准方程为，所以则短轴长为4. 故答案为：4. 4. 两平行直线和的距离为_____． 【答案】##0.9 【解析】 【分析】直线与直线为平行线，根据两平行线间的距离公式即可求得答案． 【详解】将直线，化简为， 与是平行线， 根据两平行线间的距离公式得， 两平行线间的距离为． 故答案为：． 5. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】因为表示椭圆， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 6. 直线，直线，若，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用两线平行时对应的系数关系解方程并检验可得答案. 【详解】根据题意可知若两直线平行可得，即; 解得或； 经检验可知，当时，两直线均为，此时两直线重合，不合题意； 因此可得. 故答案为： 7. 设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由的关系得出的齐次方程，转化为的方程解之可得． 【详解】由已知，，即， 解得（舍去）． 故答案为：． 8. 双曲线的两条渐近线的夹角大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求渐近线的斜率，再代入两条直线的夹角公式，即可求解. 【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴，其中，， 所以双曲线渐近线的斜率为， 设两条渐近线的夹角为，则， 所以. 故答案为： 9. 方程可化简为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点  到点  的距离， 表示点  到点  的距离， 因此，方程可以理解为：， 根据双曲线的定义得：， ， 故双曲线方程为：， 又， 所以点在双曲线的上支上， 所以双曲线方程为：. 故答案为： 10. 已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线所过的定点坐标，再根据过圆内点的弦长的最大最小值可求的范围. 【详解】因为，令，所以过定点， 又因为，所以在圆内， 当经过圆心时，此时有最大值即为圆的直径，， 当与垂直时，此时有最小值，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 11. 在平面直角坐标系中，设直线与圆相交于两点，若圆上存在一点，使为等边三角形，则所有满足题设的实数之和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程可得到圆心和半径；根据等边三角形外心与重心重合可确定圆心到直线距离，利用点到直线距离公式可构造方程求得所有的取值，进而得到结果. 【详解】由得：，则圆心，半径. 的顶点都在圆上， 圆为的外接圆， 圆心到的距离，， 解得：或， 所有满足题设的实数之和为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，关键是能够根据等边三角形外心即为重心的特点，得到圆心到直线距离与半径之间的比例关系，进而利用点到直线距离公式构造方程. 12. 已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答. 【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而， 而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍， 从而得，即， 设点，而，，则， 当且仅当t=1时取“=”，， 因此得，即，得， 所以的取值范围为. 故答案为： 二.选择题（4小题，每题4分，共16分） 13. 给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线BC的斜率，再通过点斜式写出该直线的方程，最后将选项中的点代入方程验证，确定符合条件的点. 【详解】，设过点且与直线垂直的直线斜率为， 由，得， 过点A(1,0)、斜率为1的直线方程是，即. 对A：代入：，不满足； 对B：代入：，满足； 对C：代入：，不满足； 对D：代入：，不满足. 故选：B 14. 两圆x2+y2﹣8x+6y﹣11=0和x2+y2=100的位置关系． A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：求出两圆的圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系． 解：x2+y2﹣8x+6y﹣11=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=36，又x2+y2=100， 所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=6和r=10， 则两圆心之间的距离d=5， 因为10﹣6＜5＜10+6，即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交． 故选D． 考点：圆与圆的位置关系及其判定． 15. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是 A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当，，三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小,进一步求的最小值，为圆心到焦点的距离减去圆的半径． 【详解】设圆心为，则，半径，设抛物线的焦点，据抛物线的定义知， 点到点的距离与点到抛物线准线距离之和为 . 故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想． 16. 若双曲线上存在点与右焦点关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求焦点关于直线的对称点，再代入双曲线方程，即可求解. 【详解】设右焦点关于其中一条渐近线的对称点为， 则，解得：,, 由条件可知，，整理为，且， 得，即. 故选：B 三.解答题（5小题，8+10+12+12+14，共56分） 17. 已知经过点的圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，求圆的标准方程. 【答案】或 【解析】 【分析】设圆的圆心坐标为，利用条件得到圆的方程为，将代入求出或2，从而得到答案. 【详解】设圆的圆心坐标为， 圆与轴相切，故圆的方程为， 将代入可得，解得或2， 当时，圆的标准方程为， 当时，圆的标准方程为， 故圆的标准方程为或. 18. 求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程． 【答案】、和 【解析】 【分析】讨论斜率存在和不存在两种情况，且当讨论斜率存在时，联立直线和抛物线方程，细分二次项系数是否为零进一步求得直线的斜率，最后由直线的斜率即可求得直线方程． 【详解】当直线斜率不存在时，又过定点，此时直线方程为， 将代入抛物线方程，得，即，只有一个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为k，又过定点，则直线方程为， 将其代入抛物线方得，展开并整理， 当时，方程即为，解得，代入直线方程得，只有一个公共点，此时直线方程为，符合题意； 当时，此时方程是一元二次方程，因为只有一个公共点，所以判别式， 即，解得， 将代入直线方程，得，即， 综上，满足条件的直线方程为、和． 19. 某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形，其中为2百米，为4百米，，为半椭圆上异于、的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系. （1）求出半椭圆弧的方程； （2）若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置处，为运土点，以、为出口，要使运土最省工，工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形PAB中，由已知结合勾股定理得AB．设椭圆方程为（a>b>0）．由已知列式求得a，b，则椭圆方程可求； （2）由于到的距离相等，可得，即，得N在以A，B为焦点的双曲线右支上，设双曲线方程为（m>0，n>0），则，解得m，n的值，则双曲线方程可求； 【小问1详解】 在直角三角形PAB中，，， 由勾股定理得：． 设椭圆方程为． 由题意得，解得，． 故半椭圆弧的方程为； 【小问2详解】 依题意，由为运土点，以、为出口，且挖出的土都运到指定位置处， 故点N到P的距离相等，即，即． 得，在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为， 则，解得，． 则分界线所在的曲线方程为. 20. 已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）如图， 设，，联立， 得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以，化简得， 即，因为，，所以， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 【解析】 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 21. 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，，解出即可得答案； （2）由可得，然后分垂直轴、不垂直轴两种情况讨论，当不垂直x轴时，设直线方程为，，，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得到，，然后由可得，理解成关于的方程有解，然后可解出答案. 【小问1详解】 圆的圆心为， 因为在椭圆上，所以， 因为点到椭圆的右焦点的距离为2，所以，即， 所以，从而可解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由，得， 即，可得， ①当垂直轴时，，可得； ②当不垂直轴时，设直线方程为，联立方程，得， 设，，所以，， 由可得， 所以，即， 所以， 整理得：，关于的方程有解， 当时，符合题意； 当时，且； 综上：. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $