专题5.4 解一元一次方程—去括号（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题5.4 解一元一次方程——去括号 教学目标 1. 掌握解一元一次方程中的去括号，然后结合移项、合并同类项，系数化为1熟练的解一元一次方程。 2. 掌握顺水（风）或逆水（风）中的关键量已经关键量之间的数量关系，并能够在解决问题时熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1）解一元一次方程—去括号； （2）列一元一次方程解决顺逆行问题。 2. 难点 （1）解含有括号的一元一次方程； （2）列一元一次方程解决顺逆行问题。 知识点01 解一元一次方程——去括号 1. 解一元一次方程：去括号： 当一元一次方程中含有括号时，按照去括号的方法进行去括号。然后再按照移项、合并同类项以及系数化为1解方程。 注意：在去括号时一定要区分括号前的符号，不能出现符号变化的错误。 【即学即练1】 1．解方程5﹣2（x+3）＝3（2﹣x）时，去括号正确的是（　　） A．5﹣2x﹣3＝6﹣x B．5﹣2x﹣6＝6﹣3x C．5﹣2x+6＝6﹣3x D．5﹣2x+6＝3x﹣6 【即学即练2】 2．解方程：2（3﹣4x）＝1﹣3（2x﹣1）． 解：去括号，得6﹣4x＝1﹣6x﹣1．（第一步） 移项，得﹣4x+6x＝1﹣1﹣6．（第二步） 合并同类项，得2x＝﹣6．（第三步） 系数化为1，得x＝﹣3．（第四步） 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 【即学即练3】 3．利用去括号解方程： （1）2（x﹣1）+1＝0； （2）2（3x+4）﹣3（x﹣1）＝3； （3）3（3x+5）﹣2（2x﹣3）＝6； （4）4x﹣2（x﹣1）＝8﹣（x+2）． 知识点02 列一元一次方程解决顺逆行问题 1. 顺逆行问题中的基本量： 静水速度：船自身的速度，又称为船速；水流速度：水流动的速度。 静风速度：飞机自身的速度；风速：风的速度。 2. 顺逆行问题中的基本等量关系： 顺水（风）速度＝静水（风）速度 水流速度（风速）； 逆水（风）速度＝静水（风）速度 水流速度（风速） 顺行路程 逆行路程 【即学即练1】 4．长江上有A，B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2h，从B到A（航线相同）逆水航行要用时3.5h．已知水流的速度为15km/h，求轮船在静水中的航行速度是多少？若设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A．（x﹣15）×3.5＝（x+15）×2 B．（x+15）×3.5＝（x﹣15）×2 C． D． 【即学即练2】 5．在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求： （1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速； （2）两机场之间的航程． 题型01 解含有括号的一元一次方程 【典例1】方程3x+2（1﹣x）＝4的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C． D．x＝6 【变式1】解方程： （1）； （2）． 【变式2】解方程： （1）5（x﹣1）﹣2（x+2）＝3； （2） ﹣（x﹣2）+2（6﹣x）＝10； （3） 4（2x﹣3）﹣（5x﹣1）＝7. 题型02 从顺逆行问题中抽象出一元一次方程 【典例1】一艘船从甲地到乙地顺水而行，用了3小时；从乙地返回甲地逆水而行，用了4小时．已知水流的速度为每小时4千米，船在静水中的平均速度为每小时x千米，则列方程正确的是（　　） A．4（x+4）＝3（x﹣4） B．3（x+4）＝4（x﹣4） C．4x+4＝3（x﹣4） D．3（x+4）＝4x﹣4 【变式1】一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（　　） A．5.5（x﹣24）＝6（x+24） B． C．5.5（x+24）＝6（x﹣24） D． 【变式2】一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上需用40个小时，顺流而下需用32个小时．若水流速度为10千米/时，设两码头的距离为x千米，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9h，当逆风飞行时需3.1h，已知风速为20km/h，求无风时飞机的速度？设无风时飞机的速度为xkm/h，可列方程 　 　 ． 题型03 列一元一次方程解决顺逆行问题 【典例1】一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知水流的速度为每小时航行8千米，则两码头间的距离为（　　）千米 A．480 B．540 C．240 D．280 【变式1】某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的速度为16km/h，则水流的速度为（　　） A．2km/h B．4km/h C．18km/h D．36km/h 【变式2】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100 千米？ 【变式3】在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求 （1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速； （2）两机场之间的航程是多少？ 【变式4】甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50km/h，水流速度时akm/h，5h后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速） （1）A、C两港口相距多远？ （2）AB港口间比BC港口间多多少千米？（用含a的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　 　 h相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几h到达C港口？ 1．下列方程变形正确的是（　　） A．如果x+3＝5，那么x＝5+3 B．如果3x＝﹣2，那么 C．如果3（x﹣1）＝3，那么3x+3＝3 D．如果，那么 2．方程2﹣3（x﹣2）＝x去括号正确的是（　　） A．2﹣3x+2＝x B．2﹣3x﹣6＝x C．2﹣3x+6＝x D．3﹣3x﹣2＝x 3．关于x的方程2（x﹣a）＝6的解是x＝1，则2a+5的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．若2（a+3）的值与﹣4互为相反数，则a的值为（　　） A．﹣5 B． C．﹣1 D． 5．下面解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤中，没有依据“等式的性质”变形的是（　　） （1）2（x+3）＝5x2x+6＝5x； （2）2x+6＝5x6＝5x﹣2x； （3）6＝5x﹣2x6＝3x； （4）6＝3xx＝2． A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第③步 D．第③步和第④步 6．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（　　）小时． A．10 B．9 C．8 D．12 7．一轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米每小时，则轮船在静水中的速度是（　　） A．18千米∕小时 B．15千米∕小时 C．12千米∕小时 D．20千米∕小时 8．轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．设甲、乙两码头间的距离为xkm，则列出的方程正确的是（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C． D． 9．某校组织学生参加“激流勇进”比赛，比赛规则为：每班派出一名代表操作皮划艇划到对岸并且返回，用时最短的队伍获胜．已知一名同学从岸边顺流划到对岸用了0.25h，从对岸逆流返回用了0.35h，且水流的速度是3km/h，求皮划艇在静水中的平均速度．两名同学列方程如下： 琳琳：0.25（x+3）＝0.35（x﹣3），轩轩：． 根据以上信息，有下列四种说法： ①琳琳所列方程中的x表示皮划艇在静水中的平均速度； ②轩轩所列方程中的x表示皮划艇在静水中的平均速度； ③琳琳所列方程中的x表示岸边到对岸的路程； ④轩轩所列方程中x表示岸边到对岸的路程．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 10．用“☆”定义新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+b，若（3x﹣1）☆（﹣4）＝8，则x的值为（　　） A． B．1 C． D．2 11．方程2x＝3（5﹣x）的解是　 　 ． 12．一艘轮船航行于A，B两个码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时．已知水流速度为4千米/时，则两码头之间的距离为　 　 千米． 13．货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少2h，若货轮在静水中速度为20km/h，水流速度为3km/h，求甲乙两地距离．设两地距离为xkm，则可列方程　 　 ． 14．已知x＝2是方程mx+3n＝1的解，那么代数式（7m+2n）﹣（3m﹣4n﹣5）的值是　 　 ． 15．定义一种新运算“a☆b”的含义为：a☆b＝﹣2a+b．例如：3☆（﹣4）＝﹣2×3+（﹣4）＝﹣10，若（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2，则x的值为 　 　 ． 16．下列去括号是否正确？若不正确，请改正： （1）2（x+3）﹣5（1﹣x）＝0去括号，得2x+6﹣5﹣5x＝0； （2）3﹣（x﹣2）＝4（x﹣1）去括号，得3﹣x﹣2＝4x﹣1． 17．解方程：2（3﹣4x）＝1﹣3（2x﹣1）． 解：去括号，得6﹣4x＝1﹣6x﹣1，（第一步） 移项及合并同类项，得2x＝﹣6，（第二步） 系数化为1，得x＝﹣3．（第三步） 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 18． 利用去括号解一元一次方程： （1）3（x+1）＝5（2x﹣1）． （2）15﹣（7﹣5x）＝2x+（5﹣3x）． 19．一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 20．如图，在数轴上点A表示的数为﹣20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． （1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是 　 　 单位． （2）当QN＝8个单位时，求三个点的运动时间． （3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题： 码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 解一元一次方程——去括号 教学目标 1. 掌握解一元一次方程中的去括号，然后结合移项、合并同类项，系数化为1熟练的解一元一次方程。 2. 掌握顺水（风）或逆水（风）中的关键量已经关键量之间的数量关系，并能够在解决问题时熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1）解一元一次方程—去括号； （2）列一元一次方程解决顺逆行问题。 2. 难点 （1）解含有括号的一元一次方程； （2）列一元一次方程解决顺逆行问题。 知识点01 解一元一次方程——去括号 1. 解一元一次方程：去括号： 当一元一次方程中含有括号时，按照去括号的方法进行去括号。然后再按照移项、合并同类项以及系数化为1解方程。 注意：在去括号时一定要区分括号前的符号，不能出现符号变化的错误。 【即学即练1】 1．解方程5﹣2（x+3）＝3（2﹣x）时，去括号正确的是（　　） A．5﹣2x﹣3＝6﹣x B．5﹣2x﹣6＝6﹣3x C．5﹣2x+6＝6﹣3x D．5﹣2x+6＝3x﹣6 【答案】B 【解答】解：5﹣2（x+3）＝3（2﹣x）， 去括号，得5﹣2x﹣6＝6﹣3x， 故选：B． 【即学即练2】 2．解方程：2（3﹣4x）＝1﹣3（2x﹣1）． 解：去括号，得6﹣4x＝1﹣6x﹣1．（第一步） 移项，得﹣4x+6x＝1﹣1﹣6．（第二步） 合并同类项，得2x＝﹣6．（第三步） 系数化为1，得x＝﹣3．（第四步） 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 【答案】第一步，正确解答见解析． 【解答】解：以上解答不正确，第一步去括号时，方程左边﹣4x漏乘了2，方程右边﹣1漏乘了﹣3， 正确解答为：去括号，得6﹣8x＝1﹣6x+3， 移项，得﹣8x+6x＝1+3﹣6， 合并同类项，得﹣2x＝﹣2， 系数化为1，得x＝1． 【即学即练3】 3．利用去括号解方程： （1）2（x﹣1）+1＝0； （2）2（3x+4）﹣3（x﹣1）＝3； （3）3（3x+5）﹣2（2x﹣3）＝6； （4）4x﹣2（x﹣1）＝8﹣（x+2）． 【答案】（1）x； （2）x； （3）x＝﹣3； （4）x． 【解答】解：（1）原方程去括号得：2x﹣2+1＝0， 移项，合并同类项得：2x＝1， 系数化为1得：x； （2）原方程去括号得：6x+8﹣3x+3＝3， 移项，合并同类项得：3x＝﹣8， 系数化为1得：x； （3）原方程去括号得：9x+15﹣4x+6＝6， 移项，合并同类项得：5x＝﹣15， 系数化为1得：x＝﹣3； （4）原方程去括号得：4x﹣2x+2＝8﹣x﹣2， 移项，合并同类项得：3x＝4， 系数化为1得：x． 知识点02 列一元一次方程解决顺逆行问题 1. 顺逆行问题中的基本量： 静水速度：船自身的速度，又称为船速；水流速度：水流动的速度。 静风速度：飞机自身的速度；风速：风的速度。 2. 顺逆行问题中的基本等量关系： 顺水（风）速度＝静水（风）速度 ＋ 水流速度（风速）； 逆水（风）速度＝静水（风）速度 － 水流速度（风速） 顺行路程 ＝ 逆行路程 【即学即练1】 4．长江上有A，B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2h，从B到A（航线相同）逆水航行要用时3.5h．已知水流的速度为15km/h，求轮船在静水中的航行速度是多少？若设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A．（x﹣15）×3.5＝（x+15）×2 B．（x+15）×3.5＝（x﹣15）×2 C． D． 【答案】A 【解答】解：设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则轮船顺水航行的速度为（x+15）km/h，轮船逆水航行的速度为（x﹣15）km/h， 依题意，得：（x﹣15）×3.5＝（x+15）×2． 故选：A． 【即学即练2】 5．在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求： （1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速； （2）两机场之间的航程． 【答案】（1）696km/h； （2）2016km． 【解答】解：（1）设无风时平均航速为xkm/h， 依题意得2.8（x+24）＝3（x﹣24）， 解得x＝696， 故无风时平均航速为696km/h； （2）3×（696﹣24）＝2016（km）． 故两机场之间的航程为2016km． 题型01 解含有括号的一元一次方程 【典例1】方程3x+2（1﹣x）＝4的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C． D．x＝6 【答案】B 【解答】解：3x+2（1﹣x）＝4， 3x+2﹣2x＝4， 3x﹣2x＝4﹣2， x＝2． 故选：B． 【变式1】解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）5.5； （2）． 【解答】解：（1）原方程整理得： x+0.5＝0.75×8， x+0.5＝6， x＝6﹣0.5， x＝5.5； （2）原方程整理得： 4x﹣4＝2x﹣1， 4x﹣2x＝4﹣1， 2x＝3， ． 【变式2】解方程： （1）5（x﹣1）﹣2（x+2）＝3； （2） ﹣（x﹣2）+2（6﹣x）＝10； （3） 4（2x﹣3）﹣（5x﹣1）＝7. 【答案】（1）x＝4； （2） ． （3） x＝6 【解答】解：（1）5（x﹣1）﹣2（x+2）＝3， 去括号，得5x﹣5﹣2x﹣4＝3， 移项、合并同类项，得3x＝12， 将系数化为1，得x＝4； （2）﹣（x﹣2）+2（6﹣x）＝10， 去括号，得﹣x+2+12﹣2x＝10， 移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣4， 将系数化为1，得． （3）4（2x﹣3）﹣（5x﹣1）＝7， 8x﹣12﹣5x+1＝7， 8x﹣5x＝7﹣1+12， 3x＝18， 解得：x＝6． 题型02 从顺逆行问题中抽象出一元一次方程 【典例1】一艘船从甲地到乙地顺水而行，用了3小时；从乙地返回甲地逆水而行，用了4小时．已知水流的速度为每小时4千米，船在静水中的平均速度为每小时x千米，则列方程正确的是（　　） A．4（x+4）＝3（x﹣4） B．3（x+4）＝4（x﹣4） C．4x+4＝3（x﹣4） D．3（x+4）＝4x﹣4 【答案】B 【解答】解：由题意得3（x+4）＝4（x﹣4）， 故选：B． 【变式1】一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（　　） A．5.5（x﹣24）＝6（x+24） B． C．5.5（x+24）＝6（x﹣24） D． 【答案】C 【解答】解：设飞机在无风时的飞行速度为每小时x千米，则飞机顺风飞行的速度为每小时（x+24）千米，逆风飞行的速度为每小时（x﹣24）千米， 根据题意得，5.5（x+24）＝6（x﹣24）． 故选：C． 【变式2】一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上需用40个小时，顺流而下需用32个小时．若水流速度为10千米/时，设两码头的距离为x千米，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：逆流时货轮本身的速度可以表示为千米/时， ∴顺流时货轮本身的速度可以表示为千米/时， ∵静水的速度是不变的， ∴可列方程为． 故选：B． 【变式3】一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9h，当逆风飞行时需3.1h，已知风速为20km/h，求无风时飞机的速度？设无风时飞机的速度为xkm/h，可列方程 　2.9（x+20）＝3.1（x﹣20）　 ． 【答案】2.9（x+20）＝3.1（x﹣20）． 【解答】解：设无风时飞机的速度为xkm/h，根据题意得： 2.9（x+20）＝3.1（x﹣20）， 故答案为：2.9（x+20）＝3.1（x﹣20）． 题型03 列一元一次方程解决顺逆行问题 【典例1】一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知水流的速度为每小时航行8千米，则两码头间的距离为（　　）千米 A．480 B．540 C．240 D．280 【答案】C 【解答】解：设船在静水中的速度为a千米/小时，由顺水航行的速度（a+8）千米/小时，逆水航行的速度为a﹣8，两码头间的距离为x千米，根据题意得， ， 解得x＝240． 故选：C． 【变式1】某船顺流航行的速度为20km/h，逆流航行的速度为16km/h，则水流的速度为（　　） A．2km/h B．4km/h C．18km/h D．36km/h 【答案】A 【解答】解：设水流的速度为xkm/h， 则20﹣x＝16+x， x＝2， 则则水流的速度为2km/h， 故选：A． 【变式2】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100 千米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）140﹣（67+3）（27+3）120千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 140﹣（67+3）x+（27+3）x＝100． 理整得﹣40x＝﹣40， 解得x＝1． 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时140÷（67+3）＝2小时． 于是由题意有（67﹣3）×（x﹣2）+（27+3）x＝100， 整理得94x＝228， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 【变式3】在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求 （1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速； （2）两机场之间的航程是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设无风时飞机的航速是x千米/时， 依题意得：2.8×（x+24）＝3×（x﹣24）， 解得：x＝696． 答：无风时飞机的航速是696千米/时． （2）由（1）知，无风时飞机的航速是696千米/时，则 3×（696﹣24）＝2016（千米）． 答：两机场之间的航程是2016千米． 【变式4】甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50km/h，水流速度时akm/h，5h后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速） （1）A、C两港口相距多远？ （2）AB港口间比BC港口间多多少千米？（用含a的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　5　 h相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几h到达C港口？ 【答案】（1）A、C两港口相距500km； （2）AB港口比BC港口多10akm； （3）5；甲船还需h到达C港口． 【解答】解：（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为（50+a）km/h，逆水速度为（50﹣a）km/h， 从题目的条件可知甲船顺水航行5h从B港口到达A港口， 得B港口到A港口的距离AB＝5×（50+a）＝（250+5a）km， 乙船逆水航行5h从B港口到C港口， 得B港口到C港口的距离BC＝5×（50﹣a）＝（250﹣5a）km， 则A、C两港口相距（250+5a）+（250﹣5a）＝500km； （2）由（1）得AB＝（250+5a）km，BC＝（250﹣5a）km， ∴AB﹣BC＝（250+5a）﹣（250﹣5a）＝10akm， 得AB港口比BC港口多10akm； （3）设卸装货物后同时出发，经过th相遇， 依题意得，（50+a）t+（50﹣a）t＝500， 解得t＝5， ∵甲船从A港口到C港口是逆水行驶，乙船从C港口到A港口是顺水形式， ∴甲船相遇时走了5×（50﹣a）＝（250﹣5a）km，还没到达B点， ∵相遇处距B港口50千米， ∴（250+5a）﹣（250﹣5a）＝50， 解得a＝5， 则甲船行驶的距离为250﹣5×5＝225km， 甲船还有500﹣225＝275km到达C港口， 则甲船到达C港口还需要的时间为275÷（50﹣5） h， 故答案为：5， 答：甲船还需h到达C港口． 1．下列方程变形正确的是（　　） A．如果x+3＝5，那么x＝5+3 B．如果3x＝﹣2，那么 C．如果3（x﹣1）＝3，那么3x+3＝3 D．如果，那么 【答案】D 【解答】解：A、如果x+3＝5，那么两边同时减去3，得x＝5﹣3，变形错误，不符合题意； B、如果3x＝﹣2，那么两边同时除以3，得，变形错误，不符合题意； C、如果3（x﹣1）＝3，那么去括号，得3x﹣3＝3，变形错误，不符合题意； D、如果，那么两边同时加1，得，变形正确，符合题意． 故选：D． 2．方程2﹣3（x﹣2）＝x去括号正确的是（　　） A．2﹣3x+2＝x B．2﹣3x﹣6＝x C．2﹣3x+6＝x D．3﹣3x﹣2＝x 【答案】C 【解答】解：2﹣3（x﹣2）＝x， 去括号得：2﹣3x+6＝x． 故选：C． 3．关于x的方程2（x﹣a）＝6的解是x＝1，则2a+5的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：将x＝1代入原方程得：2×（1﹣a）＝6， 解得：a＝﹣2， ∴2a+5＝2×（﹣2）+5＝1． 故选：C． 4．若2（a+3）的值与﹣4互为相反数，则a的值为（　　） A．﹣5 B． C．﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：根据题意得：2（a+3）﹣4＝0， 去括号得：2a+6﹣4＝0， 移项合并得：2a＝﹣2， 解得：a＝﹣1． 故选：C． 5．下面解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤中，没有依据“等式的性质”变形的是（　　） （1）2（x+3）＝5x2x+6＝5x； （2）2x+6＝5x6＝5x﹣2x； （3）6＝5x﹣2x6＝3x； （4）6＝3xx＝2． A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第③步 D．第③步和第④步 【答案】B 【解答】解：第①步是去括号，没有用到等式的性质； 第②步是等式两边同时减去2x，用到了等式的性质； 第③步是合并同类项，没有用到等式的性质； 第④步是等式的两边同时除以3，用到了等式的性质， 综上所述，没有用到等式性质的有第①步和第③步． 故选：B． 6．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（　　）小时． A．10 B．9 C．8 D．12 【答案】A 【解答】解：设静水速度为x千米/时， 由题可列方程：x＝x， 解得：x＝15， 150÷15＝10（小时）， 故选：A． 7．一轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米每小时，则轮船在静水中的速度是（　　） A．18千米∕小时 B．15千米∕小时 C．12千米∕小时 D．20千米∕小时 【答案】B 【解答】解：设轮船在静水中的速度是x千米/小时， 根据题意得：3（x﹣3）＝2（x+3）， 解得：x＝15． 答：轮船在静水中的速度是15千米/小时． 故选：B． 8．轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5h（不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离．设甲、乙两码头间的距离为xkm，则列出的方程正确的是（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C． D． 【答案】D 【解答】解：设两码头间的距离为x km，则船在顺流航行时的速度是：24km/h，逆水航行的速度是16km/h． 根据等量关系列方程得：． 故选：D． 9．某校组织学生参加“激流勇进”比赛，比赛规则为：每班派出一名代表操作皮划艇划到对岸并且返回，用时最短的队伍获胜．已知一名同学从岸边顺流划到对岸用了0.25h，从对岸逆流返回用了0.35h，且水流的速度是3km/h，求皮划艇在静水中的平均速度．两名同学列方程如下： 琳琳：0.25（x+3）＝0.35（x﹣3），轩轩：． 根据以上信息，有下列四种说法： ①琳琳所列方程中的x表示皮划艇在静水中的平均速度； ②轩轩所列方程中的x表示皮划艇在静水中的平均速度； ③琳琳所列方程中的x表示岸边到对岸的路程； ④轩轩所列方程中x表示岸边到对岸的路程．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【解答】解：设岸边到对岸的路程为xkm， 由题意可知：， 整理得：， ∴①④正确； 故选项B正确，符合题意；选项A，C，D错误，不符合题意； 故选：B． 10．用“☆”定义新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+b，若（3x﹣1）☆（﹣4）＝8，则x的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解答】解：由题意得，（3x﹣1）☆（﹣4）＝（3x﹣1）×（﹣4）2﹣2（3x﹣1）×（﹣4）+（﹣4）＝8， ∴16（3x﹣1）+8（3x﹣1）＝12， 解得x， 故选：A． 11．方程2x＝3（5﹣x）的解是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：2x＝3（5﹣x）， 去括号得：2x＝15﹣3x， 移项得：2x+3x＝15， 解得：x＝3． 故答案为：3． 12．一艘轮船航行于A，B两个码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时．已知水流速度为4千米/时，则两码头之间的距离为　60　 千米． 【答案】60． 【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为（x+4）千米/时，逆水航行速度为（x﹣4）千米/时， 根据题意列一元一次方程得，3（x+4）＝5（x﹣4）， 解得x＝16， ∴两码头间的距离为：3×（16+4）＝60（千米）． 故答案为：60． 13．货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少2h，若货轮在静水中速度为20km/h，水流速度为3km/h，求甲乙两地距离．设两地距离为xkm，则可列方程　　 ． 【答案】． 【解答】解：设两地距离为xkm，根据“货轮从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少2小时”列出方程为：． 故答案为：． 14．已知x＝2是方程mx+3n＝1的解，那么代数式（7m+2n）﹣（3m﹣4n﹣5）的值是　7　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x＝2是方程mx+3n＝1的解， ∴2m+3n＝1， ∴原式＝7m+2n﹣3m+4n+5 ＝2（2m+3n）+5 ＝7． 故答案为：7． 15．定义一种新运算“a☆b”的含义为：a☆b＝﹣2a+b．例如：3☆（﹣4）＝﹣2×3+（﹣4）＝﹣10，若（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2，则x的值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a☆b＝﹣2a+b， ∴（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝﹣2（3x﹣7）+（3﹣2x）＝2， 整理得：﹣6x+14+3﹣2x＝2， 解得：， 故答案为：． 16．下列去括号是否正确？若不正确，请改正： （1）2（x+3）﹣5（1﹣x）＝0去括号，得2x+6﹣5﹣5x＝0； （2）3﹣（x﹣2）＝4（x﹣1）去括号，得3﹣x﹣2＝4x﹣1． 【答案】（1）不正确，2x+6﹣5+5x＝0； （2）不正确，3﹣x+2＝4x﹣4． 【解答】解：（1）2（x+3）﹣5（1﹣x）＝0去括号，得2x+6﹣5﹣5x＝0，不正确， 正确的是：去括号，得2x+6﹣5+5x＝0； （2）3﹣（x﹣2）＝4（x﹣1）去括号，得3﹣x﹣2＝4x﹣1，不正确， 正确的是：去括号，得3﹣x+2＝4x﹣4． 17．解方程：2（3﹣4x）＝1﹣3（2x﹣1）． 解：去括号，得6﹣4x＝1﹣6x﹣1，（第一步） 移项及合并同类项，得2x＝﹣6，（第二步） 系数化为1，得x＝﹣3．（第三步） 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 【答案】见解析． 【解答】解：不正确，错在第一步．改正如下： 去括号，得6﹣8x＝1﹣6x+3， 移项及合并同类项，得﹣2x＝﹣2， 系数化为1，得x＝1． 18． 利用去括号解一元一次方程： （1）3（x+1）＝5（2x﹣1）． （2）15﹣（7﹣5x）＝2x+（5﹣3x）． 【答案】（1）x．（2）x 【解答】解：（1）3（x+1）＝5（2x﹣1）， 去括号，得3x+3＝10x﹣5， 移项，得3x﹣10x＝﹣3﹣5， 合并同类项，得﹣7x＝﹣8， 系数化为1，得x． （2）15﹣（7﹣5x）＝2x+（5﹣3x） 15﹣7+5x＝2x+5﹣3x， 5x﹣2x+3x＝5﹣15+7， 6x＝﹣3， x． 19．一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设船在静水中的速度为xkm/h，依题意得： 2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得x＝27， ∴船在静水中的平均速度为27km/h， 答：船在静水中的平均速度为27km/h； （2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h， ∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km）， ∴甲乙两码头之间的距离60km． 答：甲乙两码头之间的距离60km． 20．如图，在数轴上点A表示的数为﹣20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． （1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是 　21　 单位． （2）当QN＝8个单位时，求三个点的运动时间． （3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题： 码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）PN＝21； （2）当QN＝8个单位时，三个点的运动时间t或4或8； （3）甲船离B码头的距离分别为海里，32海里，20海里． 【解答】解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t，4t，40﹣8t， 当t＝3时，P、N两点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t＝﹣5，40﹣8t＝16， ∴PN＝16﹣（﹣5）＝21， 故答案为：21； （2）Q、N相遇的时间为秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒． N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t． ①Q、N相遇前：40﹣8t﹣4t＝8，解得t， ②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）＝8，解得t＝4， ③Q、N相遇后，N到O后： P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t﹣5）， 4t﹣8（t﹣5）＝8，解得t＝8， 综上所述：当QN＝8个单位时，三个点的运动时间t或4或8； （3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为40． 甲到C的时间为秒，甲到B的时间为秒，乙到B的时间为秒， 丙到C的时间为秒，丙到B的时间为秒，甲遇丙的时间为秒，乙遇丙的时间为秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）．丙到C前，甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40﹣6t ①乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）＝40﹣6t﹣6t，解得t， 所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7）（海里）； ②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）＝6t﹣（40﹣6t），解得t＝4， 所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×4）＝32（海里）； ③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t， 所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7）＝20（海里）； ④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为40；丙所表示的数为10（t）． 40﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣10（t），解得t（舍）． 综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为海里，32海里，20海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $