3.2 勾股定理的逆定理 同步习题 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.2 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．下面四组数中是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．，， C． D．6，7，8 2．如图，在平面直角坐标系中，点，若为直角三角形，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点在上，点在线段的延长线上，且，连接与相交于点．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 5．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 6．如图，将绕点A顺时针旋转角（）得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 8．的三边分别为，，，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 9．如图，中，，，，为的角平分线，则 ．    10．如图中，点为的中点，，，，则的面积是 ． 11．如图，中，，垂足为D，E为边的中点，，，，则 ． 12．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，则的长为 ． 13．如图，在中，，，中线，则的面积为 ． 三、解答题 14．如图，在中，线段的垂直平分线，交于点E，交于点D，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 15．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 16．如图，在四边形中，，，，，， (1)求的大小； (2)求四边形的面积． 17．如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 18．如图，在边长为1的正方形网格图中有一个． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）． (2)是直角三角形吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，解答即可． 【详解】解：A、，是勾股数，故符合题意； B、∵，，不是整数，不是勾股数，故不符合题意； C、，不是勾股数，故不符合题意； D、，不是勾股数，故不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平面直角坐标系的点的坐标含义，根据每个选项的数据利用勾股定理分别计算，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ，， ∴， ∴不为直角三角形，故A不符合题意； 如图，当时， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，故B符合题意； 当，时， 同理可得：不为直角三角形，故C，D不符合题意； 故选：B 3．A 【分析】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论． 【详解】解：连接，如图： ∵是等边三角形， ∴， ， 由旋转的性质可得， ∴，即， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形． 4．A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，掌握相关知识点是解题的关键．如图，过作于，证明，，可得，结合，可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 6．D 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理的逆定理，先根据旋转的性质得到，再根据勾股定理的逆定理即可解决问题； 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理及构成三角形的条件，若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，解决本题的关键就是根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】A选项：，，， ， 是直角三角形， 故选项符合题意； B选项：，， ，， ∴不能构成三角形， 故B选项不符合题意； C选项：，，， ，， ， 不是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：，，， 最大， ，， ， 不是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 9． 【分析】过点D作交于点M，设，在中用勾股定理可列出方程，即可解得． 【详解】解：过点D作交于点M，   ，，， ， ， 为的角平分线，， ， 设，则，， ，， ， ， ， 在中用勾股定理可得： ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 10． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积． 【详解】解：如图，延长至，使，连接CE， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为： 11．/30度 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用勾股定理的逆定理得出，从而由三角形的面积求得，从而可证明是等边三角形，得，即可由求解． 【详解】解：∵，E为边的中点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，证明是直角三角形是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理逆定理，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质及勾股定理求线段长度的计算是解题关键．根据旋转的性质得到，，，得出，利用勾股定理逆定理得出，即可得出是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 13．6 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，则， 是的中线，， ， ∵， ∴， ∴，， ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，可得到，即可求证； （2）在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，再由勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形，且； （2）解：∵是线段的垂直平分线，， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，说明为直角三角形，，是解题的关键． （1）先根据直角三角形性质求出，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，最后求出结果即可； （2）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ∴为直角三角形，， ． （2）解：，， ， ，， 四边形的面积为． 17． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可证，得到，设点到的距离为，由等积法即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 18．(1)见解析 (2)不是直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，勾股定理的逆定理． （1）分别找出A，B，C关于直线的对应点D，E，F，顺次连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：不是直角三角形．理由如下： 由勾股定理得，，， ， ， 不是直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $