二次函数：特殊四边形存在性问题讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数：特殊四边形存在性问题讲义 二次函数：特殊四边形存在性问题讲义 考点目录 平行四边形存在性问题 菱形存在性问题 矩形存在性问题 正方形存在性问题 考点一 平行四边形存在性问题 【知识点解析】 1.中点的表示：点，则、中点为. 2. 平行四边形存在性问题：若以、、、四点为顶点为平行四边形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等. 若以和为对角线，则与中点相等. 若以和为对角线，则与中点相等. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第三象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为的面积为；求与的函数关系式； (3)若是抛物线上的动点，是直线上的动点；是否存在以四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点与点的坐标． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与抛物线交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与轴的交点是D，在线段上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线于点F，试判断的形状，并说明理由； 例3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形． (1)一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标． 例4．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第一象限，连接，当时，求面积的最大值与最小值； (3)是否存在这样的点P，使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 变式2．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 变式4．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 考点二 菱形存在性问题 【知识点解析】 1.菱形存在性问题：若以、、、四点为顶点的菱形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等且. 若以和为对角线，则与中点相等且. 若以和为对角线，则与中点相等且. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 例3．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点． (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 例4．（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 变式1．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 变式2．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25九年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 矩形存在性问题 【知识点解析】 1. 矩形存在性问题：若以、、、四点为顶点的菱形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 在对角线中点相等的前提下，任意一组邻边垂直均可. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)若连接，则_____． (3)点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (4)点在抛物线的对称轴上，平面内存在点，当以点为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的横坐标． 例3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 例4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2025·四川眉山·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 变式2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（2025·宁夏石嘴山·一模）如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 考点四 正方形存在性问题 【知识点解析】 方法一：因为正方形是一种特殊的平行四边形，同时也是菱形与矩形.所以讨论正方形的存在性问题，只需讨论平行四边形、菱形存在性问题与矩形存在性问题的公共解即可. 方法二：可利用正方形的几何性质（对角线互为垂直平分线，对角线将正方形分为两个等腰直角三角形）进行求解. 【例题分析】 例1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 例2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数 的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在该二次函数的图象上，试比较 和的大小，并说明理由； (3)点 P，Q在直线上，点 M在该二次函数图象上．问：在 y轴上存在点 N，使得以 P，Q， M，N为顶点的四边形是正方形．请直接写出 N 的坐标_________． 变式1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 变式2．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 课后提升训练 1．（25-26九年级上·广东清远·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点，过点A作y轴的垂线，与抛物线的另一个交点为B，该抛物线的顶点为C． (1)求点B的坐标及该抛物线对应的函数关系式； (2)在平面内找一点D，使以点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D坐标． 3．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，连接，． (1)求直线的解析式； (2)过点作直线轴，分别交抛物线于，两点（点在点的左侧），连接，在直线上找一点，若在轴右侧且满足，求点坐标； (3)若为抛物线图象上一点，在抛物线的对称轴上，是否存在一点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，抛物线交x轴于点A和B（A点在B点的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)求直线的解析式并直接写出P点坐标； (2)在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接．过点D作轴于点E，交直线于点F，设D点的横坐标为t，则点D在运动过程中，用t的代数式表示的面积S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点D在x轴下方，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一点，当的面积S为时，若以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出N点坐标． 5．（25-26九年级上·四川自贡·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和最大面积； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $null