精品解析：浙江省宁波市慈溪崇寿中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025学年第一学期九年级数学期中试卷 考试范围：1-3章；考试时间：120分钟；总分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．能否构成旋转，解题的关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．据此判断即可． 【详解】解：A．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意； B．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意； C．该图案不是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项符合题意； D．该图案是由其中的部分图形通过旋转而形成，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 百步穿杨 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； B、水涨船高，必然事件，符合题意； C、守株待兔，是随机事件，不符合题意； D、百步穿杨，是随机事件，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解其区别是解题的关键． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式，熟悉为二次函数的顶点是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】， 顶点坐标为． 故选：B． 4. 从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用．从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，等可能的结果有：1、5、6；1、5、8；1、6、8；5、6、8，且能组成三角形的有：5、6、8；直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，等可能的结果有：1、5、6；1、5、8；1、6、8；5、6、8， 且能组成三角形的有：5、6、8； ∴能组成三角形的概率为：． 故选：D． 5. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：＝72°， ∴n＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝． 6. 如图，是直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出， 因为对称轴在轴右侧，对称轴为， 而，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可知， 故，①正确； 由图象知，当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ， 故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ， 故④正确； 故选：C． 8. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 9. 已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（　　） A. 或 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． 由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）的对称轴为直线，开口向上， 点，到对称轴的距离分别为，， ， ， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：“随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是解题的关键． 一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有1，2，3，4，5，6，其中点数大于4的面有2个，结合概率公式可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是：． 故答案为：． 12. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，要熟练掌握弧长公式．根据弧长公式即可直接求解． 【详解】解：弧长为， 故答案为：． 13. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 14. 如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 【答案】125 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：125． 15. 如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理，还涉及到勾股定理和三角形中位线定理，综合运用所学知识． 首先连接，由的半径弦于点，根据垂径定理可求得，然后设，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得的长，又由是直径，可得，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵的半径弦于点， ， 设， ∵弦垂直平分半径， ， 在中，， ， 解得：， ∴， ∵， ， ∵是直径， ， ， 故答案为：． 16. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． （1）小红在支付中，选用微信支付的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 18. 作图题，根据要求作出以下图形： （1）在图1网格中直接画出绕点逆时针旋转的图形； （2）在图2中，已知线段，尺规作图作出经过，两点的所有圆中最小的圆．（要求保留作图痕迹） 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转变换，垂径定理推论的运用，理解旋转的概率及性质，垂直平分弦的直线经过圆心，掌握旋转的性质，垂径定理的推论是解题的关键． （1）根据旋转的性质，绕点逆时针旋转的图形，对应边相互垂直，由此即可作图； （2）根据垂直平分弦的直线经过圆心，即圆心在线段的垂直平分线上，当线段是直径时，圆最小，由此即可作图． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下， ∴即为所求图形； 【小问2详解】 解：根据垂直平分弦的直线经过圆心， 分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧交于点； 连接与交于点，并向两边无限延伸； 以点为圆心，以画圆，得与直线交于点，此时直径为； 以点为圆心，以画圆，得与直线交于点，此时半径为，且； 以此类推，作图如下， ∴当线段是直径时，圆最小． 19. 如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点． （1）求二次函数的表达式． （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将点、代入，将点代入分别求解即可； （2）由图象可得，时，． 【详解】解：（1）将点代入， 则， ， 将点、代入， 得， 解得：，， ； （2）由图象可得， 当时，． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，利用数形结合思想求解． 20. 某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． （2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】（1）0.9，0.9 （2）①估计这种花卉成活9000棵；②估计还要移植100000棵 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用10000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【小问1详解】 解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； 【小问2详解】 ①（棵）， 答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵）， 答：估计还要移植100000棵． 21. 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． （1）的度数为_____； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是证明阴影的面积＝扇形  的面积． （1）由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质得到； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， 已知，由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为． 22. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值得到当时，函数的最大值为．再结合二次函数图像，二次函数增减性，以及，得到当时，最大值在处取得，最后根据二次函数性质即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入，得； 将代入，得到，解得， 所以函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ，可知函数顶点为， 即当时，函数的最大值为． ∴ ， ∴， ∴时函数值都是 当时，最大值在处取得， 的取值范围为． 23. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：； 任务二：不能，理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为直线．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一：轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二：略 任务三： 当时，， 解得：或（负值，不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 24. [学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）①；② 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理． （4）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学期中试卷 考试范围：1-3章；考试时间：120分钟；总分：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中，不能由其中的部分图形通过旋转而形成的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 百步穿杨 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 从长度分别为1、5、6、8的4条线段中任取3条作三角形的边，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，是直径，是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（　　） A. 或 B. 2 C. D. 1 10. 如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 掷一枚质地均匀的骰子，掷到的点数大于4的概率是_____________． 12. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为_____．（结果保留） 13. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_________． 14. 如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 15. 如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则_____． 16. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． （1）小红在支付中，选用微信支付的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 18. 作图题，根据要求作出以下图形： （1）在图1网格中直接画出绕点逆时针旋转的图形； （2）在图2中，已知线段，尺规作图作出经过，两点的所有圆中最小的圆．（要求保留作图痕迹） 19. 如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点． （1）求二次函数的表达式． （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围． 20. 某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． （2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 21. 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． （1）的度数为_____； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 22. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 23. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由；（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 24. [学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，则______°； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $