专题06 平面解析几何7大高频考点（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版

专题06 平面解析几何 7大高频考点概览 考点01 直线与圆的方程 考点02 椭圆方程与几何性质 考点03 双曲线方程与几何性质 考点04 抛物线方程与几何性质 考点05 特殊曲线与方程 考点06 直线与圆锥曲线 考点07 圆锥曲线综合压轴问题（解答题） 地 城 考点01 直线与圆的方程 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·广东梅州·期末）设直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的半径为，直线恒过点，且成等差数列，过点作的切线，则点到切点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东梅州·校考期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 二、多选题 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于对称，则 C．若与相交于且，则 D．存在圆与轴与轴均相切 6．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形的面积可能为7 B．当时，四边形的面积可能为8 C．当直线PQ与和都相切时，的长可能为 D．当直线PQ与和都相切时，的长可能为4 7．（23-24高三上·广东·期末）已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（    ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于 8．（23-24高三上·广东潮州·期末）设过点的直线与圆相交于A，B两点，若点，则的值可能为（    ） A．8 B． C．12 D． 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）若圆关于直线对称，则 ． 10．（24-25高三上·广东潮州·期末）在平面直角坐标中，已知点，，点满足，则点的轨迹方程为 ，若直线的方程为，则点到直线的距离的最大值为 ， 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）若圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是 ． 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 13．（24-25高三上·广东·期末）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为 . 地 城 考点02 椭圆方程与几何性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·期末）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：上，则c的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（    ） A． B． C．. D． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，且离心率为，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·广东佛山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，若，则λ=（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（23-24高三上·广东汕头·期末）关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是（    ） A．焦点相同 B．顶点相同 C．焦距相等 D．离心率相等 二、非选择题 8．（24-25高三上·广东汕头·校考期末）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则 ． 9．（24-25高三上·广东深圳·校考期末）已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为 ． 10．（23-24高三上·广东湛江·期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为 . 11．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是 . 地 城 考点03 双曲线方程与几何性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知双曲线（，）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于、两点.若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 6．（24-25高三上·广东梅州·期末）已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与E的右支交于点P，Q设与的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是，则，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三上·广东广州·期末）椭圆与双曲线有共同的左焦点和右焦点，与离心率分别为，，它们在第一象限的交点为P（O为坐标原点），圆是的内切圆，过点P且与直线垂直的直线与交于，则（    ） A．当时， B．当时， C． D．过右焦点分别作直线，的垂线，垂足分别为M，N，则 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．若，则的面积为2 C．的最小值是 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C与直线交于A，B两点，则 ． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于，两点，记的内切圆面积为的内切圆面积为，则的取值范围是 . 11．（24-25高三上·广东深圳·期末），是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为 ． 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为 ． 地 城 考点04 抛物线方程与几何性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·期末）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高三上·广东东莞·期末）以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高三上·广东湛江·期末）抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．10 二、多选题 7．（24-25高三上·广东·期末）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线与只有1个交点，过点作与平行的直线与交于两点，则（   ） A．的斜率为 B． C． D．的面积为2 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）抛物线上一点到其焦点的距离为 ． 10．（24-25高三上·广东·期末）已知是抛物线上的一个点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则 . 11．（24-25高三上·广东广州·期末）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么= . 12．（24-25高三上·广东梅州·期末）抛物线的焦点为F，点A是E的准线与坐标轴的交点，点P在E上，若，则 . 13．（24-25高三上·广东潮州·期末）O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则△POF的面积为 . 地 城 考点05 特殊曲线与方程 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（   ） A．图形关于轴对称 B．点的纵坐标的最大值为 C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·期末）如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知曲线：，为上一点，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 4．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C．曲线上任意一点到原点的距离等于到直线的距离 D．若是曲线上任意一点，则的最大值为 6．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 7．（24-25高三上·广东广州·期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 8．（24-25高三上·广东广州·期末）已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知曲线，则（   ） A．曲线不可能是一个圆 B．曲线可能为一条直线 C．当且时，曲线的准线方程为 D．当时，曲线关于直线对称 地 城 考点06 直线与圆锥曲线 一、多选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知直线（其中与双曲线C：的上支相交于两点，为线段的中点.过点斜率为的两条直线分别与双曲线相交于两点.则下列结论中正确地是（   ） A．点的坐标满足.B．方程表示的图形是直线和直线 C．直线与直线始终保持平行 D．直线恒过某个定点 2．（24-25高三上·广东广州·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 3．（24-25高三上·广东茂名·期末）过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．以为直径的圆与的准线相切 C．若，则线段中点的横坐标为 D．若，则直线有且只有一条 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．为中点 二、非选择题 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知抛物线（）的顶点为，焦点为，准线为，过的直线与在轴右侧交于点，若在上的射影为且，则直线的斜率为 ． 7．（24-25高三上·广东潮州·期末）设为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． (1)若与有且仅有一个公共点，求直线的方程； (2)若与交于，两点，且，求的面积． 8．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍. (1)求直线的方程； (2)求. 9．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知椭圆：（），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得的内心也在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点07 圆锥曲线压轴问题（解答题） 一、非选择题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，过定点的直线与交于两点，直线的斜率不为0． (1)求的长轴长． (2)若，证明：直线的斜率之和为定值； (3)若，设直线分别交于（都异于）两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．①求证：为定值；②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由． 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得. 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 6．（24-25高三上·广东广州·校考期末）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 7．（24-25高三上·广东珠海·期末）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过， (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值． 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 9．（24-25高三上·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，下顶点为A，离心率，是椭圆上的动点，且当时，. (1)求椭圆的方程； (2)若的平分线经过点，①证明：直线恒过定点；②求面积的最大值. 10．（24-25高三上·广东梅州·期末）已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于. （1）求点的轨迹方程； （2）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由. 11．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知为动点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设的轨迹是曲线，射线分别与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求证：为定值． 13．（24-25高三上·广东·期末）已知抛物线（）的焦点为，过点的动直线与相交于两点，其中点位于第一象限.当时，以为直径的圆与轴相切于点. (1)求抛物线的方程； (2)若点在抛物线上，且Γ在点处的切线与直线平行，求面积的最小值以及此时直线的方程. 14．（24-25高三上·广东·期末）在平面直角坐标系内，满足：，，顶点始终在轴上，设为的中点，轴，记点的运动轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与的另一交点为，求以为直径的圆被轴截得的弧所对的圆心角的最大值． 15．（24-25高三上·广东·期末）已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 16．（24-25高三上·广东广州·期末）已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 (1)求C的标准方程； (2)若记线段MN的中点为（ⅰ）求R的坐标；（ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 17．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足；①证明：点M在一条定直线上；②求四边形面积的最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面解析几何 7大高频考点概览 考点01 直线与圆的方程 考点02 椭圆方程与几何性质 考点03 双曲线方程与几何性质 考点04 抛物线方程与几何性质 考点05 特殊曲线与方程 考点06 直线与圆锥曲线 考点07 圆锥曲线综合压轴问题（解答题） 地 城 考点01 直线与圆的方程 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知直线与直线，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为直线与直线， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A 2．（24-25高三上·广东梅州·期末）设直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设直线为直线l， 直线，即，直线恒过定点， 圆，圆心，半径，D在圆的内部，当直线时，弦最短， ，， 当直线l过圆心时，弦最长小于，故的取值范围为故选： 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的半径为，直线恒过点，且成等差数列，过点作的切线，则点到切点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为成等差数列，所以， 代入方程可得， 令，解得，故直线恒过点，即圆心， 故，设切点为，则， 故．所以点到切点的距离为. 故选：A. 4．（24-25高三上·广东梅州·校考期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切.故选：D 二、多选题 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于对称，则 C．若与相交于且，则 D．存在圆与轴与轴均相切 【答案】AB 【详解】A选项，由， 整理得，方程无解，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为， 若关于对称，则直线过圆心，即，B选项正确. C选项，圆心到直线的距离， ，， 由，解得或，C选项错误. D选项，若圆与轴与轴均相切，则， 此方程无解，所以D选项错误.故选：AB 6．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形的面积可能为7 B．当时，四边形的面积可能为8 C．当直线PQ与和都相切时，的长可能为 D．当直线PQ与和都相切时，的长可能为4 【答案】ACD 【详解】圆：的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 可知，可知两圆外离， 对于选项AB：设，          因为，可知梯形的高为， 所以四边形的面积为， 可知四边形的面积可能为7，不可能为8，故A正确，B错误； 对于选项CD：设直线与x轴的交点为，根据对称性可知： 如图，因为，可知， 则，可知，所以； 如图，因为，可知， 则，可知， 所以；故CD正确；故选：ACD. 7．（23-24高三上·广东·期末）已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（    ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于 【答案】BC 【详解】对于选项A，当两圆内含时，可以无穷大，所以A不正确； 当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为，所以B为正确选项； 对于选项B，当时如图，和为两条内公切线，且，         由平面几何知识可知， 所以可得， 即斜率的最大值为，C选项正确； 对于D选项，如图，点P在位置时， 点在位置时， 所以中间必然有位置使得，故D错误.故选：BC. 8．（23-24高三上·广东潮州·期末）设过点的直线与圆相交于A，B两点，若点，则的值可能为（    ） A．8 B． C．12 D． 【答案】ABC 【详解】由题意知，，圆的半径为4，设的中点， 则，即， 又，所以， 即点D的轨迹方程为，圆心，半径为1， 所以的最大值为，最小值为. 因为，所以. 故的值可能为8，，12，不可能为.故选:ABC. 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）若圆关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上， 则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意.故答案为：. 10．（24-25高三上·广东潮州·期末）在平面直角坐标中，已知点，，点满足，则点的轨迹方程为 ，若直线的方程为，则点到直线的距离的最大值为 ， 【答案】 【详解】解：设，则，， 因为，所以有， 同时平方，化简得，故点的轨迹为圆心在，半径2为的圆， 而直线过定点，所以点到直线的距离． 故答案为：，． 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）若圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上恰有两个点到直线的距离为， 则，即，解得或． 因此，实数的取值范围是.故答案为：. 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．故答案为：相交. 13．（24-25高三上·广东·期末）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则，整理得， 所以的轨迹是圆心为，半径为2的圆上， 又直线：可化为，易知过定点， 由，故点在圆外， 则圆心与定点所在直线与直线垂直，圆心与直线距离最大， 所以点到直线距离的最大值为.故答案为： 地 城 考点02 椭圆方程与几何性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内，所以.故选：B. 2．（24-25高三上·广东·期末）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：上，则c的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对称性知，四个顶点必在直线上， 由于C在y轴上的两顶点距离为2，故正方形的边长不可能大于或等于2， 又因为正方形的边长为整数，故其只能为1， 因此点在C上，代入C的方程得， 解得，故C：，故C的离心率为．故选：D 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的另一焦点为，连接如图所示， 因为为等边三角形，所以， 所以,又因为,所以， 由椭圆定义可知，整理得：.故选： 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，是上一点且位于轴右侧，直线的斜率为2，是面积为4的直角三角形，则的标准方程是（    ） A． B． C．. D． 【答案】B 【详解】方法一：由题意知，，如图， 设，则，因为的面积为4，所以， 所以，所以，，. 设椭圆的方程为，焦距为， 则，，所以，，所以椭圆的标准方程是. 方法二：由题意知，设椭圆的标准方程是，焦距为， 由焦点三角形的面积公式得，即. 设直线的倾斜角为，则，所以， 因此，即，得，所以椭圆的标准方程是.故选：B 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，且离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的左焦点为，    因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，所以， 在中，， 根据椭圆定义可知：， 所以，所以， 因为离心率为，所以， 所以，即.故选：A． 6．（23-24高三上·广东佛山·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，若，则λ=（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以点A，B，F1共线，因为，所以， 设，则，所以，解得，即， 所以在上、下顶点处，不妨设，则直线AB的方程为，联立 解得或则，因为，所以．故选：C． 7．（23-24高三上·广东汕头·期末）关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是（    ） A．焦点相同 B．顶点相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【详解】对于椭圆，显然恒成立， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 所以，则，则， 所以椭圆的焦点为，焦距为，顶点和离心率是变化的； 对于双曲线，显然其焦点在轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为， 则，故，所以双曲线的焦距为； 所以椭圆与双曲线的焦距相等，故C正确，其余选项都不正确.故选：C. 二、非选择题 8．（24-25高三上·广东汕头·校考期末）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则 ． 【答案】6 【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，所以的周长为， 在图②中，的周长为，因为光速相同， 因为C与S的离心率之比为，即，所以.故答案为：6. 9．（24-25高三上·广东深圳·校考期末）已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图，因为，所以可设，    又，所以，由椭圆定义，，即， 又，即B点为短轴端点， 所以在中，， 又在中，， 解得或（舍去）.故答案为： 10．（23-24高三上·广东湛江·期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为 . 【答案】/0.5 【详解】由题意可知点一定在其蒙日圆上，所以， 所以，故椭圆的离心率为. 故答案为： 11．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是 . 【答案】 【详解】设，因为，所以，所以. 联立整理得， 则，， 从而，整理得，故，故答案为：. 地 城 考点03 双曲线方程与几何性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东广州·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 2．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知双曲线（，）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的右焦点为，连接，，，    ，，， 又为中点，四边形为矩形； 设，则，，，， ，，解得：， 又，，得，即， 所以双曲线的离心率为.故选：B. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，则的离心率为 故选：B. 4．（24-25高三上·广东·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于、两点.若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示：直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即点， 因为为等腰直角三角形，由对称性可知，、关于轴，所以，所以， 所以，，可得，故， 故该双曲线的离心率为，故选：D. 5．（24-25高三上·广东·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意得，故，， 由题意结合双曲线定义知，故.故选：B 6．（24-25高三上·广东梅州·期末）已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与E的右支交于点P，Q设与的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是，则，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的内切圆和三边分别相切于点,则，    又，所以，所以. 设直线l的倾斜角为，则由内切圆的性质可得， ，所以； 同理可得，所以； 因为，所以，解得.故选：C. 二、多选题 7．（24-25高三上·广东广州·期末）椭圆与双曲线有共同的左焦点和右焦点，与离心率分别为，，它们在第一象限的交点为P（O为坐标原点），圆是的内切圆，过点P且与直线垂直的直线与交于，则（    ） A．当时， B．当时， C． D．过右焦点分别作直线，的垂线，垂足分别为M，N，则 【答案】ABD 【详解】由题意可设，，， 解得，．当时，得为直角三角形． 由勾股定理得，，即，得． 即．故A正确． 圆是的内切圆，则其半径为， 得，且为的平分线．，则为外角的平分线，故以为圆心， 以到直线的距离为半径的圆，必与直线，，均相切（的一个旁切圆）， 可知该圆半径为，得，所以．故B正确． 由以上分析知，，在同一直线上，易证圆与轴切于的右顶点， 圆与轴切于的右顶点，所以，故C错误． 因，垂足为M，延长交于点，因为平分， 由三线合一得，为的中点， 则，连接， 由中位线性质得，因，垂足为，延长交于点， 因为平分的外角，由三线合一得，为的中点， 则，连接， 由中位线性质得，则．故D正确．故选：ABD 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．若，则的面积为2 C．的最小值是 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2 【答案】BC 【详解】由双曲线，得双曲线， 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为. 选项A：得，故双曲线的虚轴长为，故A错误. 选项B：得，则，，得， 故的面积为，故B正确. 选项C：易知，故C正确. 选项D：易得双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故D错误.故选：BC. 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且C与直线交于A，B两点，则 ． 【答案】2 【详解】由题意可得的渐近线方程为，则有，解得； 故C：，当时，，故．故答案为：2． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于，两点，记的内切圆面积为的内切圆面积为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】记的内切圆为圆，的内切圆为圆， 因为双曲线的，，，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和. 设圆切、、分别于点、、， 过的直线与双曲线的右支交于、两点，可知直线的倾斜角取值范围为， 由切线长定理可得，，， 所以 ，则，所以点的横坐标为. 故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. 在中，，， ，，所以，， 所以，则， 所以，即，则， 由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为， 则，故， 则，其中， 令，其中，则在上单调递减，在上单调递增. 因为，，则当时，， 故.故答案为：. 11．（24-25高三上·广东深圳·期末），是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】不妨设，，，， 则由题，且，故， 有，得， 故．故，所以， 故，所以， 故即，双曲线的离心率．故答案为：. 12．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由可得，由于关于原点对称，,关于原点对称， 所以四边形为矩形，故， 由于又， 所以，因此， 故，进而可得， 所以渐近线方程为： 故答案为：    地 城 考点04 抛物线方程与几何性质 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立整理得，则，.∴. ∵，∴四边形为平行四边形. ∵点的横坐标为3，∴，解得. ∴. 点到直线的距离为，∴平行四边形的面积为. 故选：A. 2．（24-25高三上·广东广州·期末）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令抛物线方程为且， 由题设在抛物线上，则，得， 又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米. 故选：A 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】设,， 由，根据抛物线定义可得，故， ， 过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为， 明显，所以.故选：D 4．（23-24高三上·广东东莞·期末）以抛物线C的顶点O为圆心的单位圆与C的一个交点记为点A，与C的准线的一个交点记为点B，当点A，B在抛物线C的对称轴的同侧时，OA⊥OB，则抛物线C的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设抛物线方程为，由题意得，， 过点作⊥轴于点，因为OA⊥OB，所以， 又，所以，则≌， 故，令得，，解得， 故，由勾股定理得，解得，    故抛物线C的焦点到准线的距离为.故选：D 5．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为．故选：B． 6．（23-24高三上·广东湛江·期末）抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【详解】因为的外接圆与抛物线的准线相切， 所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为，所以圆的半径为6，又因为圆心在的垂直平分线上，， 所以的外接圆的圆心到准线的距离，可得.故选：B. 二、多选题 7．（24-25高三上·广东·期末）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线与只有1个交点，过点作与平行的直线与交于两点，则（   ） A．的斜率为 B． C． D．的面积为2 【答案】ACD 【详解】由题意得的斜率存在且不为零，设的斜率为，则， 由得，由，得，A正确. 由对称性不妨假设的斜率为，则的方程为， 由得， ∴，B错误. 由A得，，解得，故，C正确. 由B知，由题意得，，故之间的距离， ∴的面积为，D正确．故选：ACD． 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【详解】如下图所示：易知，设， 则直线的方程为，其中， 联立，整理可得，可得， 对于A，设，易知直线的斜率为，方程为； 同理可得 所以 ，可知A正确； 对于B，由焦点弦公式计算可得， 因为，可得四边形面积为 ，所以四边形面积的最小值为，即B错误； 对于C，由B可知，即C正确； 对于D，若，可得 ，即可得，解得，即或（舍）； 因此直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 即直线的斜率为，即D正确. 故选：ACD 三、非选择题 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）抛物线上一点到其焦点的距离为 ． 【答案】2 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，准线方程为， 由焦半径公式可得点到其焦点的距离为. 故答案为：. 10．（24-25高三上·广东·期末）已知是抛物线上的一个点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则 . 【答案】 【详解】抛物线，焦点，准线方程， 设，因为是抛物线上的一个点，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 11．（24-25高三上·广东广州·期末）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么= . 【答案】4 【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为， 则该切线方程为，即， 联立，消去可得， 由于切线与抛物线只有唯一交点，则， 整理可得，由题意，可知为方程的两个根，则， 由题意，设直线的方程为， 联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则， 故，由抛物线方程，可得函数与函数， 则与 不妨设在第一象限，则，即，且， 由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，由，则， 综上可得，解得，故.故答案为：. 12．（24-25高三上·广东梅州·期末）抛物线的焦点为F，点A是E的准线与坐标轴的交点，点P在E上，若，则 . 【答案】 【详解】由题意，可作出图象，如图所示，过作准线的垂线，垂足为，    由，可得，在中，， 由抛物线性质可得，，所以， 在中，有正弦定理可得：， 所以，故答案为：. 13．（24-25高三上·广东潮州·期末）O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则△POF的面积为 . 【答案】 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由， 设，则,,所以，即点的坐标为， 则的面积为．故答案为：. 地 城 考点05 特殊曲线与方程 一、单选题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（   ） A．图形关于轴对称 B．点的纵坐标的最大值为 C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，在曲线上任取一点，则， 点关于轴的对称点为，则，所以，曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，方程变换为， 由题意可知，关于的方程有解， 由，解得，所以的最大值为，故B正确； 对于C选项，当时，由可得，（当时取等号）， 所以，，．故C正确； 对于D，解法一：令解得，记， 当时，由可得，（当时取等号）， 所以，，则． 又．故D错误； 另解：有对称性可知，只需要讨论即可，此时，即为， 令，其中，可得， ， 因为，故，，． ，D错.故选：D. 2．（24-25高三上·广东广州·期末）如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平面中，以的中点为原点，以为轴正方向建立平面直角坐标系， 因为，，所以，因为，，， 所以，，，，，， 因为的周长为，， 所以，所以点的轨迹为以为焦点的，长轴长为的椭圆， 设点的轨迹方程为，则，， 所以点的轨迹方程为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设点的坐标为，， 则点到直线的距离为，其中， 所以点到直线的距离最小值为，此时， 又，所以面积的最小值是.故选：D. 二、多选题 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知曲线：，为上一点，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】由题设得：曲线为，可得曲线图形如下：    对于A：由曲线方程及图形可知，故A错误； 对于B：因为，由图可知， 当在时，才能最小， ，时等号成立，故B正确； 对于C：由图可知，的取值范围为，故C正确； 对于D：设，，，则， 因为，所以，所以，所以， 又当在一，三象限时，结合直线是双曲线的渐近线， 所以，又曲线是连续的，所以的取值范围为，故D正确.故选：BCD. 4．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 【答案】ACD 【详解】由题意，曲线，， 若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确； 若，又，则， 曲线，可化为， 当时，则曲线表示圆， 当时，则曲线表示椭圆，故B错误； 若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确； 若，又，所以，则曲线为， 则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确.故选：ACD. 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C．曲线上任意一点到原点的距离等于到直线的距离 D．若是曲线上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，若点在曲线上，则都满足曲线的方程，所以曲线关于轴对称，故A正确；对于B，设点在曲线上，根据选项A，同理可得曲线关于轴，坐标原点对称， 由曲线的对称性可令，则，所以， 则， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，故B正确； 对于C，易知是上一点，该点到原点的距离不等于到直线的距离，故C错误； 对于D，由曲线的对称性可知，当点位于第二象限时，取得最大值， 所以，令，将代入， 可得，解得，即的最大值为，故D正确.故选：ABD. 6．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 【答案】ABD 【详解】令，得出，则对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：，因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角，所以取最小值，取最大值， 所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确.故选：ABD. 7．（24-25高三上·广东广州·期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确.故选：ABD 8．（24-25高三上·广东广州·期末）已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 【答案】ABC 【详解】即， 则，即， 曲线是四个圆组合成图形，如图： 由图可知曲线是中心对称图形，A选项正确； 如图，∵，∴为圆的直径，∵，∴， ∴曲线圈成图形的面积为，B选正确； 如图，当且仅当两点与所在弧对应圆心四点在同一直线上时，距离最大， 由解析式可知：， ∴最大值为，C选项正确； 如图：当在曲线的最高点或最低点是三角形面积最大，即， 又，，∴，D选项错误.故选：ABC. 9．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知曲线，则（   ） A．曲线不可能是一个圆 B．曲线可能为一条直线 C．当且时，曲线的准线方程为 D．当时，曲线关于直线对称 【答案】BC 【详解】取，即曲线可能是一个圆，故A错误． 当时，曲线，所以曲线可能为一条直线，故B正确． 当且时，曲线，所以曲线的准线方程是，故C正确． 当时，曲线，即曲线关于直线对称，故D错误.故选：BC. 地 城 考点06 直线与圆锥曲线 一、多选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知直线（其中与双曲线C：的上支相交于两点，为线段的中点.过点斜率为的两条直线分别与双曲线相交于两点.则下列结论中正确地是（   ） A．点的坐标满足.B．方程表示的图形是直线和直线 C．直线与直线始终保持平行 D．直线恒过某个定点 【答案】ABC 【详解】设,联立，得：， 所以，所以 代入，A对， 对于B，由题意可设直线方程为：，直线方程为：， 两式相乘即为方程方程，B对， 对于C， 由及， 两方程相减可得直线方程：，所以， 由A及椭圆中点弦性质可知：，及 所以，C对； 对于D：由方程：，结合 代入可得：，又，， 所以方程：，不恒过定点，D错；故选：ABC 2．（24-25高三上·广东广州·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【详解】直线过抛物线的焦点，可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确．故选：CD． 3．（24-25高三上·广东茂名·期末）过抛物线：的焦点作直线交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．以为直径的圆与的准线相切 C．若，则线段中点的横坐标为 D．若，则直线有且只有一条 【答案】BCD 【详解】对于选项A:由抛物线：，可得解得，故准线方程为，故选项A错误；对于选项B:设的中点为,且在准线上的投影为， 由抛物线的定义可知：, 易知四边形为直角梯形，所以, 故以为直径的圆与的准线相切，故选项B正确； 对于选项C:设，因为， 所以，所以线段中点的横坐标为，故选项C正确； 对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得，要使， 则线段为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确.故选：BCD. 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由抛物线得，设直线， 联立，消去x可得，则， 选项A：，故A正确； 选项B：因为，所以，故B错误； 由抛物线得准线为，则，因为过点P的直线与抛物线交于 点A，B，所以直线斜率存在且不为零，故设直线， 联立，消去x可得，则， 故，， 选项C：，故C正确； 选项D：，又， 所以，故D正确； 故选：ACD. 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．为中点 【答案】BD 【详解】对于A选项，因为抛物线的焦点，则，可得，A错； 对于B选项，如下图所示： 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由A选项可知抛物线的方程为， 设点、，联立可得，， 由韦达定理可得，，不妨设，由图可知， ，则， 所以，，解得，则，所以，，B对； 对于C选项，由B选项可知，， 直线的方程为，联立，解得，则， 所以，， ，则，C错； 对于D选项，因为，则为的中点，D对.故选：BD. 二、非选择题 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知抛物线（）的顶点为，焦点为，准线为，过的直线与在轴右侧交于点，若在上的射影为且，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】  设准线与y轴交于点P，则， 在中，，所以，， 易知，所以， 在中，因为，所以，所以， 直线EF的倾斜角为，斜率为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·广东潮州·期末）设为抛物线：的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． (1)若与有且仅有一个公共点，求直线的方程； (2)若与交于，两点，且，求的面积． 【答案】(1)，或(2) 【详解】（1）抛物线：的焦点坐标为，准线方程为，则． 若与轴垂直，此时与只有一个交点． 若与轴不垂直，设．由，消去整理得． 因为与有且仅有一个公共点，所以，故． 此时的方程为或． 综上，的方程为，或． （2）由（1）得，即．设，，则，． 因为，所以，又，所以， 整理可得，代入可得，解得． 所以的面积. 8．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍. (1)求直线的方程； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由得. ∵直线与交于两点，∴，解得. 设到的距离为，到的距离为， 由题意得，，则， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为. （2）由题意得，. 设，则. 由得，解得， ∵点在第一象限，∴，， ∴. 在中，由余弦定理得，, ∴，∴， ∴， ∴，即. 9．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知椭圆：（），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得的内心也在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）因为直线过右焦点且斜率不为零，设直线的方程为，，， 联立，得，恒成立， 所以，，设轴上存在定点使得的内心在轴上， 则直线和关于轴对称，所以直线和的倾斜角互补， 所以，即， 所以，即， 整理得，即， 即对所有恒成立，所以， 所以存在定点符合题意. 地 城 考点07 圆锥曲线压轴问题（解答题） 一、非选择题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，过定点的直线与交于两点，直线的斜率不为0． (1)求的长轴长． (2)若，证明：直线的斜率之和为定值； (3)若，设直线分别交于（都异于）两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)证明见解析，定点 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以， 解得，所以的长轴长为． （2）设直线联立得 则得， 设直线的斜率分别为， 则 所以直线的斜率之和为定值0． （3）设，，，，，，且且， 则且 得 将代入得与联立， 解得同理可得 又直线过点则， 代入并化简可得 设直线过定点，则， 代入数据并化简可得 对比系数可得，解得，则直线过定点 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析； 【详解】（1）易知抛物线的焦点， 由可得，由离心率，且， 解得；所以椭圆的方程为； （2）证明：由（1）可知， 显然直线的斜率存在，且不为零，设直线的斜率为， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 由可得直线的斜率为，所以直线的方程为； 联立，消去整理可得. 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 若，即，可得， 直线的斜率为； 直线的方程为， 令，解得所以直线过定点， 若，则，此时，直线也过定点.综上可得，直线过定点 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．①求证：为定值；②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由． 【答案】(1)(2)①证明见解析；②以为直径的圆过定点，定点坐标为和． 【详解】（1）由题意得，解得，故椭圆的标准方程为． （2）①设，， 由得：，有，且， 所以 ，故为定值，定值为． ②设直线为，令，则，所以点坐标为． 同理点坐标为，根据对称性可知，如果以为直径的圆过定点，那定点一定在轴上． 设定点坐标为，则，即， 由①知，故，解得或， 故以为直径的圆过定点，定点坐标为和． 4．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由椭圆过可得，可得， 又因为，解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点、，易知点、， 若直线与轴重合，则、中必有一点与点重合，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，则中点. 因为，则点是在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 在圆的方程中，令，得， . 所以，即， 又因为，所以，即，解得， 所以点坐标为. 5．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)(2)．(3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为． （2）由题可知 在中，由余弦定理得 则即所以， 故的面积是． （3）当的斜率为0时，． 当的斜率不为0时，设直线的方程为 联立，得，此时． ， 故为定值． 6．（24-25高三上·广东广州·校考期末）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由可知，， 因为线段的垂直平分线与直线交于点，，所以或， 所以，所以，所以， 所以由双曲线的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线， 所以点的方程为．    （2）设直线斜率为，设直线方程为， 因为与直线，分别交于、两点，所以， 联立方程组得，因为，所以， 因为直线与曲线恰有一个公共点，所以直线与曲线相切， 由，得， 联立方程组得.不直线与的交点为，则. 同理可求，所以. 因为原点到直线的距离，所以，又因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：， 此时，. 故的面积为定值，且定值为.    7．（24-25高三上·广东珠海·期末）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过， (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）将，，代入到， 可得，解得，所以椭圆的方程为：． （2）由题意可知，蒙日圆方程为：． （i）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或． 不妨取，代入中，则， 不妨取，，，，∴． （ii）若直线斜率存在，设直线的方程为：， 联立，化简整理得：， 据题意有，于是有：， 设（），（），联立，化简整理得：， ， ，， 则 ， ∵，所以．综上可知，为定值. 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为； （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且，所以， 所以， 所以，所以，当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得，即点P在定直线上. 9．（24-25高三上·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，下顶点为A，离心率，是椭圆上的动点，且当时，. (1)求椭圆的方程； (2)若的平分线经过点，①证明：直线恒过定点；②求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②. 【详解】（1）因为离心率，所以， 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）由的平分线经过点，得到的斜率都存在且不相等，点A的坐标为，设， 点的坐标为，所以，化简得到 由已知得直线的不平行于轴，设的方程为， 联立方程组，得① ， 由，得到，，所以， 得， 根据韦达定理得， 化简得，即或. 又当时，直线经过点A，不符合题意，所以，直线经过定点， ②将代入方程①得， 由，解得. . 则， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为. 10．（24-25高三上·广东梅州·期末）已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于. （1）求点的轨迹方程； （2）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由. 【答案】（1）x=4；（2）①见解析；②． 【详解】（1）由已知， 当直线的斜率不存在，即直线：时，， 过点的切线为：，即⑴， 过点的切线为：，即⑵，联立⑴⑵解得； 当直线的斜率存在时，设直线：，， 联立，消去得， 则， 过点的切线为：，⑶， 过点的切线为：，⑷， ⑶＋⑷得，，整理得⑸， ⑶－⑷得， 整理得，代入⑸的 整理得，因为，则，即； 综合得点的轨迹方程为：； （2）①由（1）可得， 则， 同理， ，即为定值； ②因为 ， 因为，则，则， 则 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积存在最小值，且为． 11．（23-24高三上·广东汕头·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)存在， 【详解】（1）因为圆心在轴上移动的圆经过点与， 所以为动圆的直径，又动圆经过点，故，于是，即， 而过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点，则， 故点的轨迹的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在且截距大于0，故设其方程为， 联立，消去得，，故，则，故， 因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 则，解得或(舍去)，故直线为，显然经过定点， 又因为，则点在以为直径的圆上， 取中点，则，因此，存在定点使得为定值2. 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知为动点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设的轨迹是曲线，射线分别与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求证：为定值． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由已知得，且， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以，所以的方程为． （2）设直线PA的方程为， 联立，消去得， 因为，所以设， 则有， 同理可得; 由得 ，即为定值．    13．（24-25高三上·广东·期末）已知抛物线（）的焦点为，过点的动直线与相交于两点，其中点位于第一象限.当时，以为直径的圆与轴相切于点. (1)求抛物线的方程； (2)若点在抛物线上，且Γ在点处的切线与直线平行，求面积的最小值以及此时直线的方程. 【答案】(1)(2)最小值为，直线的方程为． 【详解】（1）由题，记的中点为， 因为以为直径的圆与轴相切于点，所以垂直于轴，故点的横坐标为1，故， 因为，故，解得，即，故抛物线的方程为． （2）设,直线的斜率, 抛物线在点处的切线的斜率为,所以, 将直线与抛物线联立，， 得,所以，故点到直线的距离， 所以的面积， 方法一：因为，所以， 令， 当，函数单调递减；，函数单调递增． 所以，所以面积的最小值为， 此时斜率，直线的方程为． 方法二：由求根公式可得，故的面积， 令，则， 令， 当，函数单调递减；，函数单调递增， 所以，即面积的最小值为， 此时斜率，直线的方程为． 14．（24-25高三上·广东·期末）在平面直角坐标系内，满足：，，顶点始终在轴上，设为的中点，轴，记点的运动轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与的另一交点为，求以为直径的圆被轴截得的弧所对的圆心角的最大值． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题可设点，则， 因为为直角三角形，故；注意到点到直线的距离， 故，故点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，故：． （2）设所求圆心角为，则圆心角的一半，设圆心为，半径为，圆与轴的其中一个交点为， 过作轴的垂线，垂足为，即，．    由于直线不与轴重合，故设其方程为， 由消去，得，所以，，， 所以，故的横坐标为， 所以，故， 故当，即垂直于轴时，取最小值，此时取得最大值， 故以为直径的圆被轴截得的弧所对的圆心角的最大值为. 15．（24-25高三上·广东·期末）已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1）在圆中，令，解得或，则， 因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长， 所以椭圆的方程为. （2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为， 由消去得：， 设，则，， 联立得，即， 当直线与轴重合时，点满足方程， 所以线段的中点的轨迹方程是. （3）由，得，不妨令， 直线斜率，则， ， 因此，∽，则， 所以点共圆. 16．（24-25高三上·广东广州·期末）已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 (1)求C的标准方程； (2)若记线段MN的中点为（ⅰ）求R的坐标；（ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 【答案】(1)(2)（ⅰ）或；（ⅱ） 【详解】（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，所以所以 离心率解得所以所以椭圆C的标准方程为 （2）（ⅰ）由（1）可得点坐标易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 由可得 ①直线MN斜率不存在时，在椭圆方程中令得 不妨设所以所以不成立； ②直线MN斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则其方程为设 由方程组消去y，得则有 所以有 所以 当时 所以点R的坐标是 同理当时，点R的坐标是 综上所述，点R的坐标是或 （ⅱ）根据对称性面积最大值与点R所在象限无关， 不妨设点R的坐标是，此时直线MN的方程化为 设点S到直线MN的距离为d，因为T为PN的中点，R为MN的中点，所以可得 ①直线l斜率不存在时，点S坐标为，此时点S到直线的距离 ②直线l斜率存在时，设直线l方程为， 由方程组消去y，得 则有 所以点S坐标为 所以可得 令令 当时，即此时直线PQ与MN重合面积为 当即时，则有 从而当即时取得最大值 此时所以所以面积最大值为 17．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足；①证明：点M在一条定直线上；②求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由已知双曲线离心率，即， 则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得， 所以双曲线方程为； （2）由（1）得，①由已知直线的斜率k存在且，设直线，， 且，联立直线与双曲线，得，恒成立，且，即，解得，又Q为A，B中点，    则，则，即， 则直线，又直线过点，且过点F，则， 联立与，即，解得，即， 即点M在直线上； ②，，又点N满足， 则四边形为平行四边形，且， 则， 设，则，则， 设，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为，即当时，的最小值为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $