专题05 数列5大高频考点（期末真题汇编，广东专用）高三数学上学期人教A版

专题05 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的递推式与通项公式 考点04 数列的前n求和的求法 考点05 数列的综合压轴问题 地 城 考点01 等差数列 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式基本量运算以及等差数列求和公式基本量运算列不等式组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以，解得，故选：A. 2．（24-25高三上·广东广州·期末）记等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质计算． 【详解】设的公差为，由等差数列的性质知， 所以，即，于是有.故选：A． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（    ） A． B．4 C．8 D．或4 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得，， 当时，， 当时，，此时不能构成等比数列，故舍去， 所以,故选：B. 4．（23-24高三上·广东·期末）已知数列为公差不为0的等差数列，若，，成等比数列，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设的公差为，，用表示，求出的关系，即可求出结果. 【详解】设的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即， ，化简得，因为，可得， 所以，，所以.故选：D. 二、多选题 5．（24-25高三上·广东·校考期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了三百九十里 【答案】BCD 【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意设此人第一天走里，第天走里，是等差数列， ，，A选项错误. 里，B选项正确. 里，C选项正确. ，所以D选项正确.故选：BCD 三、非选择题 6．（24-25高三上·广东潮州·期末）等差数列中，，则的前9项和 ． 【答案】90 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据求和公式得解. 【详解】因为，所以 又，所以， 所以，故答案为：90 7．（23-24高三上·广东·期末）已知等差数列的前项和为Sn(n∈N*),，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设公差，由题意得到关于首项和公差的方程组，求解后代入等差数列的前项和公式，配方即得. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得：解得：，则， 因，故当或时，的最小值为.故答案为：. 8．（23-24高三上·广东潮州·期末）设等差数列的前项和为，且，，若，则数列中最小项的值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可求出，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，从而求出的最小项. 【详解】设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以， 所以， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以当时取得最小值.故答案为： 9．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知数列的前项和为，当取最小值时， . 【答案】3 【分析】根据求得，代入结合基本不等式分析最值即可. 【详解】因为， 当时，， 又当时，，满足，故； 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值.故答案为：. 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减可得，两式平方可得结论； （2）利用等差数列的通项公式结合（1）得：，配方求解可得，判断，可得结论. 【详解】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，.. 地 城 考点02 等比数列 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知成等比数列，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】根据等比中项可得，从而可求解. 【详解】因为成等比数列，则，即，解得．故选：A． 2．（23-24高三上·广东深圳·期末）设等比数列的前项和为，已知，则（    ） A．80 B．160 C．121 D．242 【答案】A 【分析】由的关系结合数列是等比数列，先得出，在中，令得，，由此即可得解. 【详解】由题意，所以，两式相减得， 又数列是等比数列，所以它的公比， 在中，令得，，解得， 又， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以，所以.故选：A. 3．（24-25高三上·广东·校考期末）数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（    ） A．2 B．3 C．5 D．11 【答案】A 【分析】设的公差为，的公比为，利用计算即可. 【详解】设的公差为，且，的公比为， 因为，所以，则， 因为，所以， 所以的公比.故选：A. 4．（24-25高三上·广东清远·期末）在等比数列中，，则（    ） A．4 B． C．8 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列基本量的计算首先得公比，进一步得首项，由此即可得解. 【详解】由题意，所以，即等比数列公比为， 所以，解得，所以.故选：A. 5．（23-24高三上·广东东莞·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法1： ，故选：C 法2：设首项为，公比为，易知，， 可得，解得， 而，故选：C 6．（23-24高三上·广东揭阳·期末）从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（    ） A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程，化简求得正确答案. 【详解】设是等比数列，公比， 依题意，，解得万元.故选：A 二、多选题 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是等比数列 B．若是等比数列，则 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，且，则 【答案】BCD 【分析】举特列可判断A；由等比数列的性质可判断B；由，得，两式相减可得可判断C；由等比中项的性质可判断D. 【详解】当时，满足，但不是等比数列，则A错误 由等比数列的性质可知，则B正确. 由，得，则， 当时，，则，从而可知是等比数列，则C正确. 由，得. 由等比数列的性质可知，， 即，解得，再代入结合C选项可知此时为等比数列，则D正确.故选：BCD. 三、非选择题 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）设等比数列的前项和为，若，且，则 . 【答案】31 【分析】根据等比数列通项公式得，再求出，最后利用等比数列求和公式即可得到答案. 【详解】，即，显然，则，解得， ，解得，则.故答案为：31. 9．（24-25高三上·广东·期末）已知数列是公比为的等比数列，且，则 . 【答案】或1 【分析】根据等比数列性质得到，求出答案. 【详解】由得，， 因为，所以，解得或1，故答案为：或1 10．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示） 【答案】 【分析】先根据成等差数列求出公比，再根据等比数列通项公式求出. 【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得. 因为，设等比数列的公比为（），则，. 将，，代入可得： ， 解得或（公比不为，舍去）. 由等比数列通项公式，则. 故答案为：. 11．（24-25高三上·广东·校考期末）若等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】511 【分析】根据等比数列前n项和片段和的性质列式计算即可. 【详解】因为等比数列中成等比数列， 所以成等比数列，所以， 即，解得.故答案为：511 12．（23-24高三上·广东潮州·期末）公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）根据作差求出，即可求出公比与参数的值； （2）由（1）可得，则，利用等差数列求和公式求出，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1），当时，； 当时，，所以， 所以，，， 又数列为等比数列，则， 又，，解得； （2）由（1）可得， 所以， ， 当时，， ． 地 城 考点03 数列的递推式与通项公式 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·校考期末）若数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】根据题中的关系消去，得到的递推公式，然后由等差数列通项公式可得. 【详解】由题意知，当时，．由，得， 所以当时，，即， 又，所以是首项为、公差为的等差数列， 故．故选：B 2．（23-24高三上·广东湛江·期末）在数列中，，且，当时，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据递推关系得到，把条件转化为，从而可得答案. 【详解】因为，，所以，且当时，， 所以，所以， 所以. 因为， 所以，所以，故.故选：A. 3．（23-24高三上·广东·期末）数列的前项和，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把适度放缩，求出前项和的范围，再进行判断. 【详解】由已知得： ，又， 故 当且时，， 所以. 故选：D 二、多选题 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】对于选项A：由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，即， 显然，且，即，所以为递增数列，故B正确； 对于选项C：因为，则， 两式相减得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以的前项和，故D正确．故选：BCD． 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据数列的周期性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：由选项知，又，计算得， 因此为周期数列，且周期为4，故A正确； 对于B：，，， ，…，不是周期数列，故B错误； 对于C：；；；；； ，…，，归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，故C正确； 对于D：是单调递增数列，不是周期数列，故D错误．故选:AC 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数列的首项不为零，前项和为，若，则下列结论正确的为（    ） A．不可能为常数列 B． C．当时，为等差数列 D．若为等比数列，则的公比唯一 【答案】ABD 【分析】假设为常数列，推出矛盾，故选项A错误；选项B，通过当时进行验证即可；通过对条件进行变形得到①，当时，化简得或，故选项C错误；选项D，当为等比数列时，由①得，分别讨论，，时，即可做出判断. 【详解】对于选项A，若为常数列，则，且， 所以，即 由，所以，显然为常数，则为常数，矛盾， 所以不可能为常数列，故选项A正确； 对于选项B，当时，，即， 所以，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，所以， 所以，整理得①， 当时，由①得，所以， 所以，或，所以不一定为等差数列，故选项C错误； 对于选项D，当为等比数列时，，设的公比为，则， 由①得，整理得②， （i）当时，②显然不成立； （ii）当时，由②得； （iii）当时，由②得，因为是常数，所以为常数列，所以，与矛盾，故若为等比数列，则的公比，即的公比唯一，故选项D正确，故选：ABD. 7．（24-25高三上·广东珠海·校考期末）已知数列的前项和为，，且对任意正整数，恒成立，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由时，定义法证明数列是等比数列；B选项，由A选项的结论，构造为等差数列，求出通项得；C选项，利用B选项中的结论验证；D选项，利用分组求和法求数列的前项和. 【详解】对于A，由，当时，，解得； 当时，，所以，即. 又，所以是首项为，公比为的等比数列，A正确. 对于B，由A易得，，则. 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列.则有，所以，B错误. 对于C，因为，，所以，C正确. 对于D，因为， 所以，D错误.故选：AC. 三、非选择题 8．（24-25高三上·广东·期末）已知数列{an}满足其前2025项的和为，则 . 【答案】 【分析】根据，得到，利用累加法得到，，从而得到，再由其前2025项的和为求解. 【详解】解：因为，所以，则， 所以， 则，， 所以，所以， 所以其前2025项的和， ， 解得，所以，故答案为： 9．（24-25高三上·广东梅州·期末）函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如．已知数列满足，且，若，则数列的前2025项和为 ． 【答案】 【分析】根据递推关系求出数列的通项公式，再分类讨论求出，即可求和. 【详解】，，整理有： ，则是常数列，于是，， 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 所以故答案为： 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 【答案】1 【分析】由递推公式求出具体的项，根据规律即可求解. 【详解】由，则，可得， ，可得，，可得， ，可得，，可得， ，可得，，可得， 由以上规律可得，出现1的项的周期为4， ，所以.，可得， ，可得，，可得，故答案为：1. 11．（24-25高三上·广东·校考期末）已知数列的前n项和为，且，，则 . 【答案】97 【分析】由已知得出，然后由累加法求解． 【详解】∵，，∴， ∴，∴.故答案为：97 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵英丽的雪花————“科赫雪花”． 它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分， 以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线，重复上述两步， 画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线    设雪花曲线周长为，面积为，若 的边长为1，则= ， 【答案】 / 【分析】利用“科赫雪花”的绘制规则得出相邻两个曲线，后面的边数是前面的4倍，而边长是前面的，且后面的曲线比前面的曲线每边多出一个正三角形，结合等差数列与等比数列的定义、通项公式、累加法及求和公式计算即可. 【详解】由题意可知：，，； 易知第个图形的边长为，边数为， 故， 由累加法得 故答案为：； 13．（23-24高三上·广东佛山·期末）设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． (3)若是递增数列，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)成等差数列；理由见解析(3) 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果，求出数列的通项公式，并由等差数列的性质，根据，解出； （3）由，整理为不等式恒成立，再分为奇数和偶数两种情况，转化为求函数最值问题，求出的取值范围. 【详解】（1）证明：， 因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）因为，所以数列的首项是， 所以，则， 若中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理为：，解得：，所以成等差数列； （3）如果，即对任意自然数均成立， 化简得，当为偶数时，恒成立， 因为是递减数列，所以的最大值是，即， 当为奇数时，恒成立，单调递增， 所以的最小值为，即，所以的取值范围是. 地 城 考点04 数列的前n项和的求法 一、非选择题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，数列满足．若，将满足题意的所有正整数的值由小到大组成一个数列，则该数列前5项之和为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，求出对应的前5组数，即可得答案. 【详解】解：由题意可得， 则有；；；；，…， 所以正整数的值由小到大组成一个数列的前5项分别是， 所以此5项的和为.故答案为： 2．（24-25高三上·广东·期末）设有限项数列满足，则的前7项和为 ，的前7项和为 ． 【答案】 16 96 【分析】记的前n项和为，的前n项和为，令，求出，求出和，求出，对两侧同时求导，并令求出，根据求出，求出的前7项和. 【详解】记的前n项和为，的前n项和为， 令，则有，即,又，， 则，即的前7项和为16， 对两侧同时求导，并令有， ，，又，， 则，即的前7项和为96．故答案为16；96. 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知在等差数列中，，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）设数列的公差为，由题意得，解得. 所以，，即数列的通项公式为. （2）由（1）得，所以， 所以，. 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设求数列的前20项和． 【答案】(1)(2) 【分析】根据得等比数列公比为2，结合条件计算的值，得到的通项公式.（2）由（1）计算，利用分组求和的方法得出数列的前20项和. 【详解】（1）由题意有：当时， 所以，所以等比数列的公比. 当时，由 有，，解得 所以所以 （2）由题意得，当为奇数时，， 当偶数时，， 所以 所以 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设数列的公差为，由题意可得，解方程即可求出，再由等差数列的通项公式求出； （2）由（1）可得，再由分组求和法和等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，解得，.故. （2）由（1）可得， 则， 故. 6．（23-24高三上·广东汕头·期末）记等差数列的前项和为，首项为，已知，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于，的方程组，解之即可得解； （2）利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即，解得，所以. （2）由（1）得，设数列的前项和为， 则， 则②， 两式相减，得 ，故. 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）解法一：对递推式变形为，利用累乘法求解通项公式； 解法二：对递推式变形为，利用常数数列求解通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）解法一：由得， 由累乘法得. 解法二：由得， 则数列是各项为1的常数列，所以，即. （2）由（1）得， 所以. 8．（23-24高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解； （2）由（1）可得，结合分组求和法运算求解. 【详解】（1）因为，若，则； 若，则；且符合， 综上所述：数列的通项公式. （2）由（1）可知：， 可得 ，所以. 9．（24-25高三上·广东·校考期末）已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得的值，即可求解； （2）由（1）得，分别求得，，和时，的取值，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得或（舍去）， 所以，即数列的通项公式为. （2）解：由（1）得， 当，时，，所以； 当，时，，所以； 当，时，，所以； 当，时，，所以； 所以. 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，，数列，的前n项和分别为． (1)求，并证明数列为等比数列； (2)当时，有恒成立，求正整数m的最小值． 【答案】(1)，，证明见解析(2)11 【分析】（1）依题中条件，对进行赋值可求得；通过递推关系式，令得到新的关系式，两者相比，即可证明; （2）先作差考查时的条件，再作差考查时的条件，综合求解即可. 【详解】（1）因为，令，则，， 令得，则，由得，由， 所以数列为以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知：，同理：数列是以3为首相，2为公比的等比数列，即， 则， ， 令，则， 当时，，当时，， 又，则当时，， 当时，，， 综上知：正整数m的最小值为11． 11．（24-25高三上·广东·校考期末）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证. 【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列， 故，即， 当时，， 故， 当时，，符合上式，故； （2）由，，故， 则， 由，故，则. 地 城 考点05 数列的综合压轴问题 一、非选择题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）设元正整数集合，集合为的任意一个非空子集，记中所有元素之和为. (1)若，求的所有可能取值； (2)已知数列为等比数列，且.（i）设是的任意两个非空子集，证明：； （ii）若将的所有可能取值按照从小到大的顺序排列可构成等差数列，求的通项公式. 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由的定义可求； （2）（i）用反证法证明，假设，将等式两边通过同减同除运算化简后，再利用整数性质推出矛盾可证；（ii）先特殊三项成等差数列推出，再证明所有可能取值排序后也成等差. 【详解】（1），则的非空子集可能为， 故的所有可能取值为. （2）由数列为等比数列，且，设公比为，则 故， 由题意集合是元正整数集合，结合集合中元素的互异性， 可知，且，则数列为各项为正整数的递增数列. （i）假设， 记，且，则集合与中无公共项， 不妨设， 其中，， 且任意，都有，不妨设， 则由题意可知，则，即， 则，两边同除以可得， ， 由等式左边不被整数整除（余数为），而右边则被整数整除， 因此产生矛盾，故假设错误，所以. （ii）， 则对任意，的非空子集个数为， 由（i）结论可知，的所有可能取值两两不等，共有个， ①若将的所有可能取值按照从小到大的顺序排列可构成等差数列， 记该等差数列的各项依次为.设公差为，则， 由，则， 故，所以，成等差数列， 即成等差数列，可得，解得，故； ②下面证明：对于集合，将的所有可能取值按照从小到大的顺序排列，构成等差数列. 若，对任意， 则的非空子集个数为，各非空子集分别记为， 由（i）结论，的任意取值两两不等，故不妨设， 且在所有非空子集中，所有可能取值中最小为， 最大为， 则，又这个取值均为正整数，所以，， 即的所有可能取值按照从小到大的顺序排列构成公差为的等差数列. 综上所述，若将的所有可能取值按照从小到大的顺序排列可构成等差数列， 则的通项公式为. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则称与互为和等差数列．已知为数列的前项和． (1)若，，试问与是否互为和等差数列？说明你的理由． (2)设为等比数列，，且与互为和等差数列． ①求的通项公式；②设，求数列的前项和． 【答案】(1)与互为和等差数列，理由见解析 (2)①答案见解析；② 【分析】（1）由新定义即可直接判断； （2）①由，通过作差求得，再由新定义即可求，②由①求得，由等比数列求和公式即可求解； 【详解】（1）当时， 又也满足．所以． 因为，且所以与互为和等差数列． （2）因为，所以，得． 因为，所以当时，， 即，所以 又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列、 所以，即． ①因为与互为和等差数列，所以为等差数列， 又为等比数列，所以的通项公式为． ②， 故 3．（24-25高三上·广东·期末）“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列是外观数列，将第n项的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为.例如：外观数列的首项为1时， (1)若数列是首项为12的外观数列，请直接写出以及. (2)设集合，若外观数列的首项. （i）探究的最大值，并证明你的结论；（ii）求所有的，使得存在有 【答案】(1)．(2)（i），证明见解析；（ii）22 【分析】（1）根据数列的新定义求解；（2）（ⅰ）方法一，由，，则，下面用反证法证明．方法二，用数学归纳法证明；（ⅱ）方法一，设，不妨设，，可得恰有位，所以只能是两位数，根据新定义讨论求解；方法二，同法一可得只能是两位数，根据，，，，讨论求解. 【详解】（1）． （2）（ⅰ）方法一：当时，，故．下证． 反证法：若存在，使得，记， 由于，故．定义是最高位到最低位依次为到的十进制数， 不妨设，由的性质知存在，使得，因此的十进制表示中至少出现了4个连续的． 若，则的十进制表示中至少出现了个连续数字，故，这与的定义矛盾． 若，则的十进制表示中至少出现了1000个连续数字，亦矛盾，因此． 综上所述，． 方法二：当时，，故． 下面用数学归纳法证明：． 因为，所以的相同数字连续出现的最大次数不超过3，即． 假设时，，下证． 设，由归纳假设知， 则的十进制表示可以写作． 因为，因此的各位数字中，相同数字连续出现的最大次数不超过3， 也即．故对于，命题也成立，命题得证．综上所述，． （ⅱ）方法一：设，不妨设，， 由（ⅰ）知和均为不超过9的自然数，因此恰有位，所以不能是一位数或者三位数，所以只能是两位数． 设，若的各位数字中有两个不同的数字，则为了描述出这两个不同的数字， 至少是一个四位数且它的各位数字中仍有两个不同的数字． 由此可知，如果，则至少是一个四位数，矛盾，所以． 若，则，且，这与（ⅰ）的结论矛盾． 若，则，故，但不能是一位数，矛盾！ 若，则，故，但不能是三位数，矛盾！ 若，则恒为22，符合题意．综上，． 方法二：设，不妨设，， 由（ⅰ）知和均为不超过9的自然数，因此恰有位，所以不能是一位数或者三位数， 所以只能是两位数．显然，否则，矛盾！ 若，则且，这与（ⅰ）的结论矛盾． 若，则，故，但不能是一位数，矛盾！ 若，则，故，但不能是三位数，矛盾！ 若，则． （a）若，则，所以由个构成，矛盾． （b）若，则，因此，所以， 所以，但不能是一位数，矛盾！ （c）若，则，因此，所以， 所以，但不能是三位数，矛盾！ （d）若恒等于22，符合题意．综上，． 4．（24-25高三上·广东广州·期末）若数列满足，则称为“螺旋递增数列”． (1)设数列是“螺旋递增数列”，且，求和； (2)已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)是“螺旋递增数列”，证明见解析(3)存在， 【分析】（1）应用数列是螺旋递增数列计算求解； （2）结合螺旋递增数列的定义及等比数列的通项公式证明即可； （3）结合等差数列的通项公式及螺旋递增数列定义结合裂项相消法分奇偶项分别求解. 【详解】（1）是以为首项，以4为公比的等比数列， ． 数列是“螺旋递增数列”，； （2）数列是“螺旋递增数列”，证明如下： 因为，则，所以，，则 所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，则． 数列的偶数项是以1为首项，2为公比的等比数列，则． 所以，故数列是“螺旋递增数列”． （3）是以为首项，以2为公差的等差数列， ，又数列是“螺旋递增数列”，故， ． ①当时， ， 又恒成立，恒成立，． ②当时， ，， 又恒成立，恒成立， 综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是． 5．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意的、都有，且，设数列满足． (1)写出，的值； (2)求数列的通项公式； (3)用表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)，证明见详解 【分析】（1）对取特殊值，由公式求得的值； （2）对等式两边同除得到等式，构造函数，证明得到，从而化简得到，从而得到的通项公式； （3）由作差法得到，通过化简得到，利用累加法求得，代入即可得到结论. 【详解】（1）在中，令，得，即， 令，得，即，故， 令，得，∴即，. （2）当时，， 令，则，∴， ∴，令有， ∵，∴，. （3）当时，由，可得， 即，则， ∴，，，∴， ∵，∴，∴. 故存在关于的整式，使等式对于一切小于的自然数恒成立. 6．（24-25高三上·广东·期末）记数列的前项的最小值为，称数列为的“数列”. (1)若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； (2)若数列都只有4项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； (3)若的“数列”为，记，从，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求. 【答案】(1)；(2)20个.(3) 【分析】（1）判断出数列的单调性，结合新定义可得答案； （2）分、且、且讨论可得答案； （3）求出、，及、、，，可得中能被2整除，但不能被4整除的有个，再求，可得. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，当时，，所以， 所以，当时，， 所以数列的“数列”所有项组成的集合为； （2）①若，则有1个， ②若且，则有种可能，有3个， ③若且，则两者相同有种， 两者不同，则共有种，所以共有种可能，有6个. ④若均不为1，则三者全相同， 共有种，三者有2个相同，因为顺序确定， 共有种，三者全不相同，因为顺序确定， 有种，共有种可能，有10个， 综上，符合条件的共有，综上得符合条件的有20个； （3）由题意得， 所以，所以，， 所以，能被4整除， ，为奇数，不能被2整除， ，能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有个， ， . 7．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知为有穷整数数列，共有项．给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列． (1)判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由； (2)若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列； (3)若为有界数列，证明：． 【答案】(1)为有界数列，不是有界数列；理由见解析 (2)的值为或(3)证明见解析 【分析】（1）根据有界数列定义判断即可； （2）由题意得的值只有6种情况，分别为，即从中任取2项的差值的绝对值分别对应．从而可得，再由，可得可能的值为，根据有界数列定义逐一分析即可求解； （3）由题意得，的值最少有10种情况，由，解得舍去．当时，，所以．根据有界数列定义分析可得，当时，不可能为有界数列，当时，存在为10—有界数列，即可得证. 【详解】（1），， ，所以为有界数列． 不存在，使得，所以不是有界数列． （2）因为为6—有界数列，所以的值最少有6种情况． 因为共有4项，从中任取2项，共种取法， 所以的值只有6种情况，分别为， 即从中任取2项的差值的绝对值分别对应． 若，则，与从中任取2项的差值的绝对值分别对应矛盾； 若，则，从中任取2项的差值的绝对值取不到6，所以． ①当时，若，不符合题意； 若，不符合题意； 若，符合题意； 若，不符合题意． ②当时，若，不符合题意； 若，不符合题意； 若，符合题意． ③当或5时，经检验，都不符合题意． 经验证，数列和数列均为6—有界数列． 综上，的值为或． （3）证明：因为为10-有界数列，所以，的值最少有10种情况，所以，解得舍去． 当时，，要使得为有界数列， 则从中任取2项的差值的绝对值分别对应． 因为为整数数列，且有界数列研究的是连续项中最大值与最小值的差值， 所以不妨设，且为单调递增数列． 因为，所以．要使得中有2项的差值为9，不妨取． 要使得中有2项的差值为8，可取，即． （若取或4，会使得，若取，会使得，均不满足题意） 剩下无论取何值，都无法满足从中任取2项的差值的绝对值分别对应1，， 所以当时，不可能为有界数列， 当时，存在为10—有界数列，如． 易得，当时，存在，使得为有界数列．综上，若为有界数列，则． 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）设等差数列的各项均为整数，其公差，. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，且，，，，…，，…（）成等比数列，求； （Ⅲ）若，，，，…，，…（）成等比数列，求的取值集合. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ），；（Ⅲ）. 【分析】（I）根据通项公式及，将表示为关于的一元二次不等式，解得，结合题设条件，且，则可解得或； （II）根据和得出等差数列的公差，从而得到其通项公式，则.等比数列，，，，…，，…公比为，，则由解得，； （III）由等差数列及得出公差，则根据通项公式可得，又由，，，，…，，…成等比数列得， 解得，根据且，，解得.逐一代入等差数列中验证是否满足各项均为整数，最终得符合题意，此时求得，即得结论. 【详解】（Ⅰ）因为等差数列的各项均为整数，所以. 由，得，即，解得. 注意到，且，所以，或. （Ⅱ）由，，得， 从而，故. 由，，，，…，，…成等比数列，得此等比数列的公比为， 从而.由，解得，. （Ⅲ）由，得. 由，，，，…，，…成等比数列，得. 由，化简整理得.因为，从而， 又且，从而是12的非6的正约数，故. ①当或时，， 这与的各项均为整数相矛盾，所以，且. ②当时，由， 但此时，这与的各项均为整数相矛盾，所以，. ③当时，同理可检验，所以，. 当时，由（Ⅱ）知符合题意.综上，的取值只能是，即的取值集合是. 9．（24-25高三上·广东广州·期末）已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. (1)若，，求； (2)若，求证：数列中有无穷多项为0； (3)若，求数列的通项公式. 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）依题意代入计算即可；（2）利用反证法证明即可； （3）①分与两种情况讨论，①当时，首先证明数列是递增数列，再证明即可，②当时，令，结合①的结论即可得解. 【详解】（1）取，则存在，使得， 因为，，所以 （2）假设中仅有有限项为0，不妨设，且当时，均不为0，则， 取，则存在，使得，与矛盾. （3）①当时，首先证明数列是递增数列，即可证，恒成立， 若不然，则存在最小的正整数，使得，且， 显然，取，则存在，使得， 因为， 所以这个不同的数恰为这项. 所以与矛盾，所以数列是递增数列， 再证明：，， 记，即证，当时，结论成立， 假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立， 但，则， 取，，则存在，使得， 因为数列是递增数列，所以， 所以， 因为这个数恰为这项， 所以， 这与矛盾，所以， 当时，令，，则，，且， 对于中任意两项， 因为对任意，存在，使得， 所以，即存在，使得， 因此数列满足题设条件，由①可知， 所以， 综上所述，，经检验，数列满足题设条件. 10．（24-25高三上·广东汕头·期末）设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； (3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 【答案】(1)（答案不唯一）；(2)证明见解析；(3)是无理数. 【分析】（1）既是等差数列又是等比数列的数列是非0常数列，由此可得； （2）用反证法证明其中任意三项都不可能成等比数列；（3）在（2）的提示下， 是无理数是其充分条件，利用反证法得是无理数时，假设其为等比数列不成立． 【详解】（1）既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列， 如，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列； （2）若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列， 下证的任意三项不能构成等比数列， 假设，其中且， 因为公差，所以， 从而， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等， 所以假设不成立，故的任意三项不能构成等比数列，从而的任意子列不是等比数列； （3）若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列， 设的公差为，则，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件． 假设，其中且， 因为，所以， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，有理数， 所以，当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，进而的任意子列不是等比数列，故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件． 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． (1)当时，证明：． (2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； (3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由已知可得，由累加法可证结论； （2）由累加法可求得，进而可得，结合已知可得，参变分离可求的最大值． （3）由（2）可得，进而利用错位相减法可求得，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则． 当时，，满足，故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以， 当时，满足上式，则． 因为，所以，整理得． 因为，所以．因为， 所以当且仅当时，等号成立．因为，所以． （3）由（2）可得，则． 设， 则， 所以， 所以，即． 因为对任意的，都有， 所以，即． 当为奇数时，，所以，易证为递减数列，则； 当为偶数时，，所以，易证为递增数列，则． 综上，的取值范围为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的递推式与通项公式 考点04 数列的前n求和的求法 考点05 数列的综合压轴问题 地 城 考点01 等差数列 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·广东广州·期末）记等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（    ） A． B．4 C．8 D．或4 4．（23-24高三上·广东·期末）已知数列为公差不为0的等差数列，若，，成等比数列，则（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 5．（24-25高三上·广东·校考期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了三百九十里 三、非选择题 6．（24-25高三上·广东潮州·期末）等差数列中，，则的前9项和 ． 7．（23-24高三上·广东·期末）已知等差数列的前项和为Sn(n∈N*),，则的最小值为 . 8．（23-24高三上·广东潮州·期末）设等差数列的前项和为，且，，若，则数列中最小项的值为 ． 9．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知数列的前项和为，当取最小值时， . 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 地 城 考点02 等比数列 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·期末）已知成等比数列，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（23-24高三上·广东深圳·期末）设等比数列的前项和为，已知，则（    ） A．80 B．160 C．121 D．242 3．（24-25高三上·广东·校考期末）数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（    ） A．2 B．3 C．5 D．11 4．（24-25高三上·广东清远·期末）在等比数列中，，则（    ） A．4 B． C．8 D．5 5．（23-24高三上·广东东莞·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·广东揭阳·期末）从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（    ） A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元 二、多选题 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是等比数列 B．若是等比数列，则 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，且，则 三、非选择题 8．（24-25高三上·广东深圳·期末）设等比数列的前项和为，若，且，则 . 9．（24-25高三上·广东·期末）已知数列是公比为的等比数列，且，则 . 10．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示） 11．（24-25高三上·广东·校考期末）若等比数列的前项和为，且，则 . 12．（23-24高三上·广东潮州·期末）公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 地 城 考点03 数列的递推式与通项公式 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·校考期末）若数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．7 2．（23-24高三上·广东湛江·期末）在数列中，，且，当时，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东·期末）数列的前项和，且，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·广东·校考期末）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数列的首项不为零，前项和为，若，则下列结论正确的为（    ） A．不可能为常数列 B． C．当时，为等差数列 D．若为等比数列，则的公比唯一 7．（24-25高三上·广东珠海·校考期末）已知数列的前项和为，，且对任意正整数，恒成立，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B． C． D． 三、非选择题 8．（24-25高三上·广东·期末）已知数列{an}满足其前2025项的和为，则 . 9．（24-25高三上·广东梅州·期末）函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如．已知数列满足，且，若，则数列的前2025项和为 ． 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 11．（24-25高三上·广东·校考期末）已知数列的前n项和为，且，，则 . 12．（23-24高三上·广东深圳·期末）第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵英丽的雪花————“科赫雪花”． 它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分， 以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线，重复上述两步， 画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线    设雪花曲线周长为，面积为，若 的边长为1，则= ， 13．（23-24高三上·广东佛山·期末）设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由． (3)若是递增数列，求的取值范围． 地 城 考点04 数列的前n项和的求法 一、非选择题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，数列满足．若，将满足题意的所有正整数的值由小到大组成一个数列，则该数列前5项之和为 ． 2．（24-25高三上·广东·期末）设有限项数列满足，则的前7项和为 ，的前7项和为 ． 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知在等差数列中，，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设求数列的前20项和． 5．（23-24高三上·广东深圳·期末）在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．（23-24高三上·广东汕头·期末）记等差数列的前项和为，首项为，已知，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 8．（23-24高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和． 9．（24-25高三上·广东·校考期末）已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 10．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知数列满足，，数列，的前n项和分别为． (1)求，并证明数列为等比数列； (2)当时，有恒成立，求正整数m的最小值． 11．（24-25高三上·广东·校考期末）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 地 城 考点05 数列的综合压轴问题 一、非选择题 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）设元正整数集合，集合为的任意一个非空子集，记中所有元素之和为. (1)若，求的所有可能取值； (2)已知数列为等比数列，且.（i）设是的任意两个非空子集，证明：； （ii）若将的所有可能取值按照从小到大的顺序排列可构成等差数列，求的通项公式. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则称与互为和等差数列．已知为数列的前项和． (1)若，，试问与是否互为和等差数列？说明你的理由． (2)设为等比数列，，且与互为和等差数列． ①求的通项公式；②设，求数列的前项和． 3．（24-25高三上·广东·期末）“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列是外观数列，将第n项的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为.例如：外观数列的首项为1时， (1)若数列是首项为12的外观数列，请直接写出以及. (2)设集合，若外观数列的首项. （i）探究的最大值，并证明你的结论；（ii）求所有的，使得存在有 4．（24-25高三上·广东广州·期末）若数列满足，则称为“螺旋递增数列”． (1)设数列是“螺旋递增数列”，且，求和； (2)已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由； (3)设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意的、都有，且，设数列满足． (1)写出，的值； (2)求数列的通项公式； (3)用表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 6．（24-25高三上·广东·期末）记数列的前项的最小值为，称数列为的“数列”. (1)若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； (2)若数列都只有4项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； (3)若的“数列”为，记，从，中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求. 7．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知为有穷整数数列，共有项．给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列． (1)判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由； (2)若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列； (3)若为有界数列，证明：． 8．（24-25高三上·广东湛江·期末）设等差数列的各项均为整数，其公差，. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，且，，，，…，，…（）成等比数列，求； （Ⅲ）若，，，，…，，…（）成等比数列，求的取值集合. 9．（24-25高三上·广东广州·期末）已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. (1)若，，求； (2)若，求证：数列中有无穷多项为0； (3)若，求数列的通项公式. 10．（24-25高三上·广东汕头·期末）设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； (3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 11．（24-25高三上·广东湛江·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． (1)当时，证明：． (2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； (3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $