8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积（第一课时）教学设计 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式，通过复习棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式导入，搭建前后知识联系，为新知推导提供学习支架，形成系统性认识。 特色在于类比与转化思想的运用，如圆台体积类比棱台推导，“还台为锥”突破难点，典例分析中旋转体问题转化培养数学建模与直观想象素养。学生自主探究与小组讨论结合，提升逻辑推理能力，教师可依托清晰流程落实素养目标。

8.3.2《圆柱、圆锥、圆台、球的体积和表面积》 （第一课时） 常德芷兰实验学校 高中数学 毛佳 学情分析： 1. 知识储备：前面已经学习过柱体和锥体的表面积和体积，对简单几何体表面积和体积公式的学习过程有一定的方法经验； 2.能力水平：本节课的授课班级是高一5班，是二类登峰班。学生的数学思维相对普通班来讲比较活跃，接受能力也相对较强，但部分同学的数学思维、听课效率、学习习惯等还是有待提高和改善； 3.心理特征：在经过高一第一学期的学习以后，大部分学生对于高中生活有了一定的认识，且具有较明确的学习目标，加上受月考成绩的影响，绝大部分学生的学习动力有所增强，但是男生多数比较浮躁，对学习效果也有一定的消极影响。 教材内容分析： 本节内容选自普通高中数学高一必修第二册（A版）第八章《立体几何初步》8.3.2节，本节课主要学习圆柱、圆锥、圆台的体积和表面积，是在上个课时的棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式的基础上展开的。圆柱、圆锥、圆台的表面积公式可以结合它们的平面展开图以及初中、小学已学知识给出。圆柱、圆锥的体积公式在初中已经学习过，教学时可以在学生复习的基础上给出，也可以类比棱柱和棱锥的体积公式获得。圆台体积公式可以让学生类比上节课的棱台体积公式的推导过程自行得出。 教学目标： 1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式； 2.能用公式解决简单的实际问题； 3.在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算和直观想象素养. 教学重难点： 重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式。 难点：利用相似三角形和圆锥的体积公式推导圆台的体积公式。 教学过程： （一）复习回顾 1、 棱柱、棱锥、棱台的表面积：各面面积之和； 2、 棱柱、棱锥、棱台的体积公式：①棱柱； ②棱锥 ③棱台 【活动】该题由一名学生口述完成 【设计意图】一方面是为圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式推导做铺垫，另一方面是为了概括总结柱体、椎体、台体的体积公式，对体积问题建立一个系统性的认识。 （二）新知探究 思考1：前面我们已经学习了三种多面体的表面积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台的表面积呢? 启示：圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即。 请同学回顾下面公式：①扇形弧长公式：； ②扇形面积公式：； ③圆的面积公式：； ④扇环的面积公式：。 1、 圆柱的表面积O′ O r (r是底面半径，l是母线长) 思考2：圆锥的侧面展开图是什么？你能联系圆柱和圆锥的侧面展开图，想象圆台的侧面展开图并且画出它吗？ 2、圆锥的表面积 r O S (r是底面半径，l是母线长) 3、圆台的表面积 O′ O (r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长) （三）典例分析 探究点一：求圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】（1）若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　C　) A. π B.2π C.3π D.4π （2）圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆 柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解析：（1）设圆锥的母线长为l，则l＝＝2， 所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π. （2）如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R， 则有＝，即＝，∴R＝2r，圆锥的母线长l＝R， ∴＝＝＝＝＝－1. 【活动】该组题先给学生2-3分钟时间思考，然后请两名学生分享其解题思路，最后由教师板书完整的解题过程，并强调作图的注意事项。 小结：求圆柱、圆锥、圆台的表面积的要点 (1)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法； (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程； (3)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键。 思考3：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？O' O r' r l O S r r' l O O' r ＝r ＝0 l r r r 上底缩小 上底扩大 所用的数学思想：空间问题“平面”化 （四）新知再探究 我们以前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式： 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式，类比上节课的棱台的体积公式的推导过程，同步推导出圆台的体积公式。 思考4：如果圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为 l，你能推导它的体积公式吗？ r 【活动】此题的推导先给2-3分钟思考，再请一名同学上台展示推导过程。 【设计意图】因为圆台可以看成是由圆锥截得的，利用圆锥的表面积和体积公式来推导圆台的公式，在巩固圆锥公式的同时更容易理解圆台公式的推导，培养逻辑推理和直观想象的核心素养。 （5） 典例分析 探究点二：求圆柱、圆锥、圆台的体积 【例2】(1)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ (2)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　) A.1 B.1∶2 C.∶2 D.3∶4 【解析】（1）由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示， 两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD， 且BD＝＝，两个圆锥的高分别为AD和DC， 所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD ＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC＝π××5＝π. （2） 设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R， 则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h， V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4. 【活动】该题请两名学生上台在黑板上展示解答过程，完成后另请一名学生对解题步骤做出评价。O S l r 思考5：圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？l O O' r O r l r' r’＝r r’＝0 O S l r r r r 上底缩小 上底扩大 r’＝0 上底缩小 所用的数学思想：类比 思考6：结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？ 【设计意图】通过观察棱柱、棱锥棱台和圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式，归纳出柱体、锥体、台体的表面积和体积公式，体会从特殊到一般的数学思想方法。 探究点三：求组合体的表面积和体积 【例3】　如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次 是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积. 解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为. 表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面 S圆锥底面＝4π，S圆锥侧＝8π，S圆柱侧＝2π， 故所求几何体的表面积为： 4π＋8π＋2π＝12π＋2π. 所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积， 即V旋转体＝×π×22×2－π×12×＝π， 故所求旋转体的体积为π. 【活动】该题给学生5分钟时间独立求解，教师在巡视的过程中注意观察学生的共性问题，之后通过投影仪展示多名学生的解题过程，同时解决共性问题。 【设计意图】提高对圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式的应用能力。 小结：组合体体积与表面积的求解策略 (1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减. (2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏. 【活动】学生以小组为单位讨论总结组合体体积与表面积的解题策略，1-2分钟后请一名学生代表分享自己小组的成果，不足之处由其他小组补充完整。 （六）课堂小结： 1、圆柱 2、圆锥 3、圆台 【活动】课堂小结部分先请一名代表学生进行总结，不足之处由其他学生补充。 【设计意图】对本节课程的知识点和数学方法有一个系统性地认识，便于课后的理解记忆和复习。 （七）课后作业 【练习1】设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面 直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________. 【练习2】如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC， BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.π B.π C.π D.2π 【设计意图】巩固本节课所学的数学知识和思想方法。 板书设计： 8.3.2《圆柱、圆锥、圆台、球的体积和表面积》（第一课时） 1、 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 二、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 三、典例分析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $