专题1.2 二次函数的图像（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题1.2 二次函数的图像 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象 1 知识点梳理02：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法 2 知识点梳理03：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象 3 知识点梳理04：二次函数y=a（x+m)²的图像 3 知识点梳理05：二次函数y=a（x+m)²+k的图像 3 知识点梳理06：二次函数y=ax²+bx+c的图像 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：y=ax²的图象和性质 4 考点2：y=ax²+k的图象和性质 5 考点3：y=a(x-h)²的图象和性质 7 考点4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 17 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点梳理02：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点梳理03：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点梳理04：二次函数y=a（x+m)²的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点梳理05：二次函数y=a（x+m)²+k的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点梳理06：二次函数y=ax²+bx+c的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 考点1：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，的值随值的增大而减小 B．当时，的值随值的增大而减小 C．的值随值的增大而减小 D．的值随值的增大而增大 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小； 故选：B． 【变式训练01】（25-26九年级上·河南周口·期中）写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式的性质是解题的关键； 由于抛物线以原点为顶点且开口向上，可设解析式为，其中，取 即可． 【规范解答】解：根据抛物线顶点式，设解析式为，由于开口向上，故，取，得， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26九年级上·河南周口·期中）二次函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入函数，计算对应的值，并与点的坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【规范解答】选项中， 时，，则点不在图象上； 选项中，时，，则点不在图象上； 选项中，时，，与点的纵坐标相等，则点在函数的图象上； 选项中，时，，则点不在图象上。 因此，一定经过的点是． 故选． 考点2：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·广东中山·阶段练习）若点和是二次函数图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．通过代入点和点的横坐标计算纵坐标值，并比较大小． 【规范解答】解：由二次函数解析式， 对于点，有， 对于点，有， 所以 ， 故答案为：． 【变式训练01】（25-26九年级上·北京延庆·期中）二次函数的图象过点和，则 (填“>”或“<”)． 【答案】< 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，通过代入点A和点B的横坐标到二次函数解析式中，计算对应的纵坐标的值，比较大小即可． 【规范解答】对于二次函数， 当时，． 当 时，． 由于， 因此． 故答案为：<． 【变式训练02】（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【答案】A 【思路点拨】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 根据二次函数的解析式，由于，抛物线开口向上，且最小值为4，因此始终为正，图象不经过的象限． 【规范解答】∵ ，， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， ∴函数值始终为正数， ∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限． 故选A． 考点3：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）函数中，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【思路点拨】本题考查二次函数的性质和图象，函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，当时，函数值随自变量的增大而增大，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 【变式训练01】（25-26九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小． 【规范解答】解：对于点，代入，得； 对于点，代入得． 因为，所以． 故答案为：<． 【变式训练02】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握顶点解析式的性质． 根据二次函数的增减性，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，可知函数在处取得最小值，因此抛物线开口向上且对称轴为直线． 【规范解答】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 二次函数在处有最小值，抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵ 二次函数的标准形式为，其中对称轴为， ∴，且． 选项B中，，对称轴为，，满足条件． 其他选项：A和C对称轴为，不符合；D对称轴为但，开口向下，不满足增减性要求． ∴ 该二次函数的解析式可以是； 故选：B． 考点4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而减小 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【规范解答】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大即有增大部分也有减小部分，故D错误； 故选：C． 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，其中顶点坐标为，直接由函数表达式写出顶点坐标． 【规范解答】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26九年级上·四川广元·阶段练习）抛物线，当x 时，y随x的增大而增大． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大． 故答案为：． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解：①时，二次函数图象开口向上， ∵， ， ∴ 无法确定的正负情况， ∵ ∴， ②时，二次函数图象开口向下， ∵， ， ∴ 无法确定的正负情况， ∵ ∴， 综上所述，表达式正确的是， 故选：C． 2.（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 3．（2024·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标． 【规范解答】解：∵A点坐标为， ∴直线为， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴ …， 故选：B． 4．（2024·江苏南通·中考真题）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴是解题关键． 先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，求解即可得答案． 【规范解答】解：∵抛物线，二次项系数为， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线． ∴在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大． ∵当时，随的增大而减小， ∴． 解得． 故答案为：． 5．（2024·广西南宁·中考真题）如图，分别过点作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数图象与性质，根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【规范解答】解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 2．（25-26九年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性； 先求出二次函数的增减性，再根据增减性即可得解． 【规范解答】解：， ∴对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，， ， ， 故选：． 3．（25-26九年级上·天津河东·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【规范解答】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：则 ． ①与函数图象开口大小相同、方向相反；②当时，y随x的增大而增大． 【答案】 【思路点拨】利用二次函数的性质可设对称轴为直线，二次项系数为，据此即可写出满足条件的二次函数表达式． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 【规范解答】解：∵，且与函数图象开口大小相同、方向相反； 时，y随x的增大而增大． ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·福建厦门·期中）抛物线的开口方向 ． 【答案】下 【思路点拨】根据二次函数的性质，二次项系数的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下． 【规范解答】解：在抛物线 中，二次项系数 ， 由于， 因此抛物线的开口方向向下． 故答案为：下． 6．（25-26九年级上·北京·期中）若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性解答． 【规范解答】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·北京延庆·期中）二次函数的最大值是 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 由二次函数的顶点式可知，当二次项系数为负数时，函数有最大值，且最大值为顶点纵坐标． 【规范解答】解：二次函数 的顶点坐标为 ， 由于二次项系数 ，抛物线开口向下， 因此函数有最大值，最大值为 ． 故答案为 7． 8．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1)4 (2)16 【思路点拨】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 9．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【思路点拨】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【规范解答】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 10．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【规范解答】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京密云·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（    ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线对称轴为直线，因此原抛物线与平移后的抛物线与轴的交点横坐标之和均等于，即，当时，抛物线开口向上，向上平移后与轴的交点距离对称轴更近，因此根差减小，即；当时，抛物线开口向下，向上平移后与轴的交点距离对称轴更远，因此根差增大，即，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴ 原抛物线与轴交点和关于对称，即， 同理，向上平移后抛物线与轴交点和也关于对称，即， ∴， 当时，抛物线开口向上，向上平移后，与轴交点向对称轴靠近， ∴ 根差减小，即； 当时，抛物线开口向下，向上平移后，与轴交点远离对称轴， ∴ 根差增大，即， 综上，只有选项符合题意， 故选：． 12．（2024·上海浦东新·二模）已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【规范解答】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 13．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，求得二次函数解析式是解题的关键． 根据题意，先得出抛物线解析式为，设，则，根据题意得出，代入抛物线解析式，即可求解． 【规范解答】解：∵点在抛物线上， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为， 依题意，的纵坐标为， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在上， ∴ 解得：或（舍去） ∴． 故选：A． 14．（25-26九年级上·吉林白山·期中）已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【规范解答】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，抛物线：与抛物线：相交于点T．过点T作x轴的平行线交抛物线于点A，交抛物线于点B，则线段AB的长度为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 由题意，得抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，设点横坐标为，可得，，再求的长即可． 【规范解答】解：设点横坐标为， 由题意，得抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴，， ． 故答案为：． 16．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键； 已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离． 【规范解答】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，解含有的直角三角形，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的点B的坐标是解决本题的关键． 设点，根据，可得，再根据勾股定理与含有的直角三角形求解出a与b的关系，由此可得与的长度，再由菱形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：连接交于点D，如图， 设点，即，， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，即点， ∵点B在二次函数上， ∴，解得，（舍）， 即，， ∴，， ∴菱形的面积为． 故答案为： ． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 【答案】(1) (2)或或 【思路点拨】（1）根据抛物线经过点时，可得抛物线中的值最大，抛物线经过点时，可得抛物线中的值最小； （2）根据抛物线与正方形没有公共点，可得抛物线中值大于抛物线经过点时的值，抛物线中值小于抛物线经过点时的值． 【规范解答】（1）解：由越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点时，的值最大；拋物线经过点时，的值最小． ，解得． ，解得． 综上所述，当抛物线与正方形有公共点时，的取值范围是． （2）解：由（1）得，当或时，开口向上的抛物线与正方形没有公共点； 当时，抛物线开口向下，抛物线与正方形没有公共点， 综上所述：当或或时，抛物线与正方形没有公共点． 19．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，将正方形纸片沿对角线对折后，点与点重合，打开后，再将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，且折痕与折痕交于点，展开铺平，连接，且，求的度数； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块菱形草坪，，．园区管理员计划在草坪中修建小路和，使得点在上，点在上，且．请问，小路所围成的的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计） 【答案】（）；（）存在，的面积存在最小值，为 【思路点拨】（）先证明垂直平分线，即得，，进而得，再根据折叠的性质即可求解； （）过点作于，于，可得，可证，可得；过点作于，设，则，，利用勾股定理可得，即得，当最小时，面积最小，可知当时，的面积最小，求出的最小值即可求解． 【规范解答】解：（）设于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由折叠可得，， ∴； （）存在，理由如下： 过点作于，于， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当最小时，面积最小， ∴当时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 20．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【思路点拨】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 二次函数的图像 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象 1 知识点梳理02：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法 2 知识点梳理03：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象 2 知识点梳理04：二次函数y=a（x+m)²的图像 3 知识点梳理05：二次函数y=a（x+m)²+k的图像 3 知识点梳理06：二次函数y=ax²+bx+c的图像 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：y=ax²的图象和性质 4 考点2：y=ax²+k的图象和性质 5 考点3：y=a(x-h)²的图象和性质 5 考点4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 8 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点梳理02：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点梳理03：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点梳理04：二次函数y=a（x+m)²的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点梳理05：二次函数y=a（x+m)²+k的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点梳理06：二次函数y=ax²+bx+c的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 考点1：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，的值随值的增大而减小 B．当时，的值随值的增大而减小 C．的值随值的增大而减小 D．的值随值的增大而增大 【变式训练01】（25-26九年级上·河南周口·期中）写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·河南周口·期中）二次函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 考点2：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·广东中山·阶段练习）若点和是二次函数图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【变式训练01】（25-26九年级上·北京延庆·期中）二次函数的图象过点和，则 (填“>”或“<”)． 【变式训练02】（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 考点3：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）函数中，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【变式训练01】（25-26九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【变式训练02】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 考点4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而减小 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）二次函数的顶点坐标是 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·四川广元·阶段练习）抛物线，当x 时，y随x的增大而增大． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的顶点坐标为 ． 3．（2024·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·中考真题）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 5．（2024·广西南宁·中考真题）如图，分别过点作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点，则 ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 2．（25-26九年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）已知抛物线上的两点，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津河东·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：则 ． ①与函数图象开口大小相同、方向相反；②当时，y随x的增大而增大． 5．（25-26九年级上·福建厦门·期中）抛物线的开口方向 ． 6．（25-26九年级上·北京·期中）若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是 （填“”、“”或“”）． 7．（25-26九年级上·北京延庆·期中）二次函数的最大值是 ． 8．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 9．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 10．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京密云·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（    ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 12．（2024·上海浦东新·二模）已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·吉林白山·期中）已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为 ． 15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，抛物线：与抛物线：相交于点T．过点T作x轴的平行线交抛物线于点A，交抛物线于点B，则线段AB的长度为 ． 16．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 17．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 19．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，将正方形纸片沿对角线对折后，点与点重合，打开后，再将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，且折痕与折痕交于点，展开铺平，连接，且，求的度数； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块菱形草坪，，．园区管理员计划在草坪中修建小路和，使得点在上，点在上，且．请问，小路所围成的的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计） 20．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $